Neste capítulo, foram apresentadas as teorias que embasam a presente pesquisa. Entre estas, descreve-se, inicialmente, o foco no desenvolvimento das estruturas geométricas segundo Piaget & Garcia (1987), em especial, a transição entre a etapa intrafigural (onde são enfocadas as propriedades internas de uma figura) e interfigural (foco nas relações entre figuras). No restante do capítulo, foram realizadas considerações relevantes sobre os DGS abordando seu
potencial no ensino e aprendizagem de prova. Destacou-se a importância dos
aspectos pragmáticos – principalmente ligados ao raciocínio indutivo – e de aspectos conceituais - com sua ênfase no raciocínio dedutivo - e a transição entre ambos na construção de provas válidas e significativas. Simon (1996) descreve o que para ele, representa um terceiro tipo de raciocínio, não inerentemente indutivo ou dedutivo, ao qual tem sido atribuído um importante papel no processo de prova – o raciocínio transformacional:
"a execução física ou mental de uma operação ou conjunto de operações num objeto ou conjunto de objetos que permitem conceber as transformações que estes objetos sofrem e o conjunto de resultados destas operações. Central para o raciocínio transformacional é a habilidade de considerar, não um estado estático, mas um processo dinâmico pelo qual um novo estado ou um contínuo de estados são gerados." (p.199)
Nesta citação, Simon (1996) talvez não esteja se referindo a uma (nova) forma de raciocínio com um papel particular em relação à prova, mas sim a uma característica de adoção de uma perspectiva interfigural na análise matemática pelo aprendiz. Uma conjectura dirigindo esta pesquisa, é então se, o uso de transformações como ferramentas para prova privilegia exatamente o tipo de raciocínio que Simon está descrevendo, favorecendo assim a transição tão
complexa entre o pragmático e o conceitual.
O objetivo deste trabalho é explorar uma abordagem para a introdução dos aprendizes aos complexos processos de prova por meio de atividades que pretendem auxiliar movimentos espontâneos entre as abordagens dedutiva e indutiva num ambiente informatizado – Cabri-géomètre.
As principais questões a serem investigadas são:
♣ Em que medida os alunos conseguem desenvolver estratégias envolvendo os campos de ação e percepção (pragmáticos) com o campo teórico (conceitual)?
♣ Quais são as características das atividades que favorecem esse movimento? O próximo capítulo apresenta as opções metodológicas escolhidas para responder a estas questões.
CAPÍTULO 3
METODOLOGIA
“Não há, talvez, nenhum outro tipo de pesquisa que ilustra mais claramente características distintas da pesquisa em educação matemática e ciências.” (Kelly & Lesh, 2000)
Neste capítulo serão apresentadas as escolhas metodológicas para o desenvolvimento desta pesquisa assim como todo o processo envolvido na elaboração das atividades e ainda, os critérios para análise dos dados obtidos.
3.1. EXPERIMENTO DE ENSINO
A metodologia escolhida para o desenvolvimento desta pesquisa baseia-se na noção de experimento de ensino de Kelly & Lesh (2000). Segundo estes autores, uma das características que distingue esta metodologia das demais é a insolubilidade entre os papéis de pesquisador e professor, sendo que, muitas vezes os papéis são redistribuídos de forma a atribuir ao pesquisador o papel de professor ou de co-aprendiz. No experimento de ensino, objeto desta pesquisa, o papel que é assumido pelo pesquisador será também o de professor, e raramente de co-aprendiz.
Diversas variáveis podem ocorrer num experimento de ensino, desde o número de aprendizes (uma sala inteira, pequenos grupos ou individual), o tempo de duração (poucas horas, semanas, um semestre ou mais) e o ambiente (sala de aula, laboratório de informática entre outros). Por esta razão, pode-se dizer que o experimento de ensino é extremamente sensível a pequenas alterações em suas condições. Destacam-se, em particular, uma variação dos experimentos de ensino descrito em Cobb, Confrey, diSessa, Lehrer e Schauble (2003) com o objetivo de criar “uma versão, em escala reduzida, de uma ecologia de
aprendizagem, de forma que ela possa ser estudada em profundidade e detalhe” (p.9).
A singularidade dos experimentos de ensino evoca o questionamento sobre a generalização dos resultados obtidos. Para Steffe & Thompson (2000):
“não faz sentido a demanda por experimentos de ensino que "generalizem", de forma que se possa esperar que as pretensões pensadas para serem verdadeiras sobre uma amostra aleatória fossem verdadeiras também sobre a população da qual a amostra foi extraída” (Steffe & Thompson, 2000; p.304).
O objetivo de um experimento de ensino é a construção de modelos explanatórios para interpretar os processos de aprendizagem de alunos, a questão então é sobre a aplicabilidade dos modelos construídos a partir de um experimento de ensino para a compreensão do comportamento de outros aprendizes sob condições semelhantes.
O objetivo do experimento de ensino, segundo Steffe & Thompson (2000), é estabelecer um modelo vivo da atividade matemática dos aprendizes em diferentes ambientes de aprendizagem. Por esta razão, segundo Kelly & Lesh (2000): “não há, talvez, nenhum outro tipo de pesquisa que ilustra mais claramente características distintas da pesquisa em Educação Matemática e Ciências” (p.192).
Um experimento de ensino pode apresentar diferentes focos: o ambiente que deve permitir aos estudantes participarem ativamente das atividades propostas; a
atividade do professor e dos alunos; e a seqüência de atividades elaboradas
através de um processo cíclico envolvendo teoria e prática, chamado processo de design. Neste trabalho, o foco abrange a atividade dos alunos na resolução da seqüência de atividades proposta num ambiente computacional (Cabri- Géomètre).
Para Cobb (2000), o processo de design pode ser caracterizado segundo o modelo de Gravemeijer que contém dois aspectos relacionados: o primeiro consiste no desenvolvimento instrucional e planejamento envolvendo a teoria; o segundo, envolve a análise das atividades de classe através da estrutura interpretativa emergente (Figura 3.1).
Figura 3.1: Fases de desenvolvimento de um experimento de ensino
No início de um experimento de ensino tem-se a formulação de uma hipótese de aprendizagem através de três componentes: metas de aprendizagem para estudantes, planejamento das atividades de ensino e conjectura do processo de aprendizagem no qual o pesquisador antecipa o pensamento do aluno (Cobb, 2000).
Para observar os experimentos de ensino é necessário interagir com o ambiente, com os alunos e professores de forma a moldar o experimento. Isto envolve interações complexas e diversos ciclos de adaptação. Abaixo, serão descritos os ciclos que caracterizam este projeto.
3.1.1. FASE DE DESENVOLVIMENTO
Com o objetivo de determinar o sistema final de aprendizagem, neste tópico serão descritos as atividades e todo seu ciclo de desenvolvimento. Serão mostradas as atividades elaboradas inicialmente, as alterações realizadas durante o processo até a obtenção da configuração final a ser utilizada na coleta de dados. Também será relatado qual o papel que o professor deverá assumir durante o experimento, assim como o processo de seleção dos alunos participantes.
Durante a fase de desenvolvimento construiu-se uma seqüência composta por três conjuntos de atividades, através de um processo iterativo no qual as
FASE DE DESENVOLVIMENTO
(guiada pela teoria instrucional específica da
disciplina)
FASE DE EXPERIMENTAÇÃO
(guiada pela metodologia empírica específica)
atividades propostas foram testadas com uma dupla de alunos e a partir da análise das interações destes alunos, as atividades foram modificadas e testadas novamente num processo cíclico. A análise constante neste capítulo, refere-se às interações e produções de um sistema de aprendizagem composto por um computador, a professora/pesquisadora e uma dupla de alunos da 8ª série sem conhecimentos prévios em Cabri e com disponibilidade para realizar as sessões fora do horário escolar.
3.1.1.1. AS ATIVIDADES
O grupo de atividades apresenta-se dividido em três conjuntos: introdução às transformações: reflexão, translação e rotação; identificação das propriedades associadas ao uso das ferramentas das transformações; construção de quadriláteros usando estas ferramentas, acompanhada por provas de que as construções realizadas garantem as propriedades requeridas.
Segundo o modelo de Arzarello abordado no Capítulo 2, podemos classificar cada um dos três conjuntos como pertencentes às fases apresentadas por este modelo: o primeiro conjunto pertence, à fase de exploração; o segundo conjunto com o início da fase dedutiva; enquanto o terceiro conjunto oferece situações pertencentes às fases 3 e 4 de Arzarello, ou seja, situações onde a ênfase no pragmático diminui e conseqüentemente, ocorre o predomínio do conceitual.
3.1.1.1.1. CONJUNTO 1: INTRODUÇÃO ÀS TRANSFORMAÇÕES: REFLEXÃO, TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO
Este primeiro conjunto de atividades foi desenvolvido visando três objetivos: a introdução da interface Cabri-Géomètre, da noção de construção em Geometria Dinâmica e das principais ferramentas utilizadas ao longo do experimento, em especial, as transformações geométricas de reflexão (simetria axial), rotação e translação, enfatizando as primitivas necessárias para cada uma das construções (para a reflexão: o eixo; para a translação: o vetor; para a rotação: o ângulo e o centro de rotação). Em particular, estas atividades envolveram os alunos em suas
primeiras análises dos elementos relacionados ao uso das ferramentas de isometrias.
Tendo em vista que o professor/pesquisador deva “efetuar não a simples comunicação de um conhecimento, mas a devolução de um bom problema” (Freitas, 1999), as atividades propostas nesse conjunto possuem características visualmente agradáveis, com o objetivo de tornar o aprendiz responsável pela execução da tarefa proposta.
A atividade 1 (Figura 3.2) possui, como objetivo principal, a introdução da ferramenta reflexão (simetria axial ortogonal). Além da percepção das primitivas necessárias para esta construção - a própria figura e o eixo de simetria – os alunos também deveriam habituar-se à ordem de entrada destes dados - inicialmente deve-se clicar na figura e em seguida, no eixo de reflexão.
Figura 3.2: Atividade 1 sobre reflexão
Depois de realizada a construção, os alunos deveriam escrever na tela os resultados de suas observações durante a manipulação do figura obtida, ou seja, manipulando o triângulo original ou os eixos formados pelas diagonais do octógono regular.
Neste primeiro conjunto de atividades, os alunos da dupla de teste não realizaram nenhuma anotação por escrito de suas observações. A partir do segundo conjunto, a dupla passou a escrever suas observações, inicialmente na própria tela do computador e posteriormente no papel, visando disponibilizar material para consulta durante a execução das atividades posteriores.
Complete todos os espaços que faltam do octógono com triângulos utilizando a ferramenta Reflexão. Agora movimente o triângulo original e observe os resultados.
O resultado obtido nesta atividade pode ser interpretado através do aspecto intrafigural pois, devido às características da figura obtida, ou seja, quando deslocado o triângulo inicial, percebe-se que suas imagens sofrem o mesmo deslocamento. Neste caso, a observação realizada restringe-se à congruência dos triângulos obtidos. Outra análise possível baseia-se no aspecto interfigural, pois, focalizando nas relações que definem a construção, pode-se perceber a relação entre o eixo de reflexão e as imagens dos triângulos obtidos.
A atividade seguinte (Figura 3.3) apresenta uma situação similar à atividade anterior. Seu objetivo principal também coincidia com a da Atividade 1.
Figura 3.3: Segunda atividade sobre reflexão
A dupla de teste teve facilidade ao resolvê-la e como a ferramenta reflexão foi facilmente apreendida pela dupla durante a execução da Atividade 1, esta atividade acabou sendo excluída da coleta de dados, ou seja, o primeiro grupo de atividades acabou contendo apenas três atividades: uma para cada uma das transformações (reflexão, translação e rotação) ao invés de quatro como originalmente criado.
A Atividade 2 tem como objetivo introduzir a ferramenta translação. Para isso foi necessário introduzir a noção de vetor como sendo um objeto que possui sentido e direção. Ao utilizarem esta transformação, os alunos deveriam perceber as primitivas necessárias para a construção - figura e vetor, sendo essa a ordem
em que os mesmos deveriam ser clicados.
Para execução desta tarefa, os alunos encontraram expostos na sala vários quadros de Volpi conforme mostra a Figura 3.4.
A partir da figura abaixo construa uma bandeira de festa junina.
Fi gura 3.4: Quadros de Volpi
A execução da atividade constava da construção, na tela, de um quadro semelhante aos da Figura 3.4 a partir das duas bandeirinhas iniciais e do vetor conforme mostra a Figura 3.5.
Figura 3.5: Atividade 2 sobre translação
Para obter a figura final, semelhante aos quadros apresentados, era necessário efetuar a translação das bandeirinhas e, em seguida, manipular o vetor, de forma a alinhar a posição das bandeirinhas transladadas e ainda construir um novo vetor para que se obtivesse uma segunda linha, ou seja, os aprendizes deveriam verificar que, usando apenas um vetor, não haveria possibilidade de elaboração da construção pedida.
Que propriedades você percebe?
Volpi foi um grande pintor. Em várias de suas obras ele pintou bandeirinhas. Complete a tela montando um quadro semelhante aos de Volpi através da ferramenta translação. Para isso, complete a primeira fileira de bandeirinhas e crie uma nova fileira abaixo desta.
Solicitou-se aos alunos que escrevessem suas observações sobre a manipulação da figura obtida (tanto da bandeirinha original quanto o vetor eram passíveis de manipulação). Esta escrita poderia enfatizar: o aspecto intrafigural (focalizando apenas na congruência das figuras obtidas) ou o aspecto interfigural (verificando que o vetor determina a distância entre as bandeirinhas).
A terceira atividade visa introduzir a transformação geométrica rotação (figura 3.6). Para isso, introduziu-se a ferramenta destacando as primitivas necessárias para esta construção: o ângulo de rotação e o ponto em que a mesma é realizada. Durante a fase de teste, o ângulo foi apresentado através da edição numérica, isto dificultou ou até mesmo impossibilitou a alteração do valor dado. Por essa razão, para a realização da atividade na coleta de dados, foi realizada a alteração referente a apresentação do ângulo que passou a ser feita através de dois segmentos de mesmo vértice e da medida do ângulo formado entre eles, conforme ilustra a Figura 3.6. Esta alteração, tem como objetivo, facilitar a manipulação do ângulo durante a realização das observações, tornando possível tanto a manipulação do triângulo original quanto do centro de rotação e do ângulo.
Figura 3.6: Atividade 3 sobre rotação
Esta atividade pode abordar apenas o aspecto intrafigural quando se observa apenas a congruência das figuras obtidas. No caso da percepção da relação entre o ângulo e o ponto de rotação em relação a distância entre os pontos da figura original e da imagem, observa-se então o foco no aspecto interfigural.
Usando a ferramenta rotação, complete o desenho abaixo. Aumente ou diminua o ângulo. Agora movimente a figura inicial.
3.1.1.1.2. SUMÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES DO CONJUNTO 1
Todas as atividades do conjunto 1, conforme ilustrado acima, são abertas,
possibilitando análises intra, inter e talvez até transfigural. Durante o teste percebeu-se que durante esta primeira fase, os alunos concentraram-se apenas no aspecto intrafigural ou seja, na congruência das figuras. Em termos do processo de construção, as instruções que acompanham as atividades do primeiro conjunto, implicam na produção de figuras robustas, ou seja, apesar da alteração na figura original, suas imagens permanecem congruentes à esta, apesar da mudança de posição dos elementos (eixo no caso da reflexão, vetor no caso da translação, ponto e ângulo no caso da rotação).
3.1.1.1.3. CONJUNTO 2: LEVANTAMENTO DE PROPRIEDADES
O segundo conjunto contém atividades cujo objetivo é o levantamento das propriedades invariantes associadas às transformações de reflexão, translação e rotação. Na elaboração destas atividades houve a tentativa de favorecer a passagem intra-inter, ou seja, que os alunos, além de perceber a congruência entre as figuras originais e suas respectivas imagens (conforme o primeiro conjunto de atividades), começassem a relacioná-las através das propriedades geométricas. Um segundo objetivo era que os alunos iniciassem suas considerações sobre o domínio de validade das propriedades – ou pelo menos, sobre a generalidade de suas observações – sempre, às vezes ou nunca – na tentativa de iniciar o discurso sobre prova.
A primeira atividade deste conjunto é a Atividade 4, conforme ilustra a Figura 3.7. Seu objetivo é a verificação empírica de quais transformações permitem a construção de uma imagem congruente à figura original. Para isso, os alunos deveriam verificar o domínio de validade associado a esta propriedade para cada uma das transformações, através da manipulação de suas primitivas (eixo para a reflexão, vetor para a translação, ponto e ângulo para a rotação).
Figura 3.7: Atividade 4 sobre propriedades das isometrias
Esperava-se como resultado desta atividade que os alunos verificassem que as figuras construídas através das transformações sempre têm a mesma distância da figura original. Para verificar este fato, os alunos foram instruídos a utilizar a ferramenta Distância e Comprimento que fornece a medida em centímetros da distância entre dois pontos. Esta observação resulta de uma abordagem que enfatiza o aspecto intrafigural.
A Atividade 5 tem como objetivo que os alunos encontrem as condições para que a figura original e sua imagem possuam pelo menos um segmento paralelo, ou seja, os alunos deveriam determinar o domínio de validade para cada uma das transformações (reflexão, translação e rotação) para que as figuras apresentassem pelo menos um segmento paralelo. Para esse fim, os alunos foram introduzidos à ferramenta paralelo? que verifica o paralelismo dos segmentos (Figura 3.8).
Durante a elaboração desta atividade algumas escolhas que influenciaram nos resultados foram feitas: primeiro foi escolhido que ao invés da ferramenta polígono, a figura seria construída através de segmentos, tendo, cada um deles, uma cor distinta. Esta escolha visava facilitar a identificação do segmento original
Atividade 4 (Propriedades):
É possível construir uma imagem da figura-original na qual pelo menos uma das distâncias entre dois pontos da figura-original não é igual à distância entre suas imagens?
Abra o arquivo ativ5 e investigue as hipóteses para completar as frases corretamente usando os termos sempre, nunca ou às vezes (neste caso escreva as condições necessárias):
Usando simetria axial é possível? Usando rotação é possível? Usando translação é possível?
e sua respectiva imagem. A segunda escolha, refere-se à posição vertical de um dos lados da figura (observe o segmento roxo na Figura 3.8) visando facilitar a identificação da condição de paralelismo, isso porque no Cabri, ao manipular o eixo de reflexão, a resposta do comando paralelo? altera com muita rapidez dificultando a identificação da posição exata.
Figura 3.8: Atividade 5 realizada durante o teste
Porém, como conseqüência desta escolha sobre a posição vertical do segmento roxo, obteve-se, como resposta para a questão envolvendo reflexão, que a posição do eixo também deveria ser vertical ao invés de atingir o resultado esperado, ou seja, a observação do paralelismo ou perpendicularismo do lado ao eixo de reflexão.
No caso das outras transformações, a intenção era que os alunos percebessem que, através da translação, a imagem obtida é sempre paralela à original. Também poderia ser observado que as imagens obtidas através da translação sempre são paralelas ao vetor (fato que poderia ser visto com mais facilidade através da Atividade 2). No caso da rotação, a intenção era que os alunos observassem que a imagem é paralela para os casos particulares quando a medida do ângulo é 0, 180 ou 360 graus.
Semelhantemente a Atividade 5, na Atividade 6 os aprendizes deveriam investigar as condições necessárias para o perpendicularismo entre os lados da figura
original e sua respectiva imagem. Para isso, os alunos foram introduzidos à ferramenta perpendicular?.
A expectativa com esta atividade era que os alunos percebessem que as figuras obtidas têm pelo menos um segmento perpendicular quando o eixo forma 45 ou 135 graus com o lado da figura; no caso da translação que nunca seria possível; e na rotação quando os ângulos medem 90 e 270 graus.
Figura 3.9: Atividade 6 realizada no teste
As respostas obtidas pela dupla teste nas Atividades 5 e 6, acrescentadas ao uso da linguagem informal e da limitação de possibilidades investigativas decorrentes do uso das ferramentas paralelo? e perpendicular?, levaram à modificação destas atividades. A Atividade 5 passou a apresentar sugestões de posições a serem investigadas através das falas de alunos fictícios conforme ilustra a Figura 3.10. Envolvendo o processo cíclico de elaboração das atividades de um experimento de ensino, a nova Atividade 5 também foi realizada pela dupla teste.
Atividade 5 (Propriedades):
Ana Paula, Bruna e Carol estavam trabalhando no seguinte problema:
Usando simetria axial é possível fazer uma construção na qual um dos segmentos da figura-original é paralelo à sua imagem?
Leia abaixo a conversa entre elas:
Ana Paula diz Bruna diz
Acho elas estão loucas – tentei várias posições e parece impossível
Carol pensa
Abra o arquivo ativ5 e investigue as idéias das meninas para ajudar a completar a frase abaixo:
Usando simetria axial é possível construir uma figura na qual um dos segmentos do polígono original é paralelo à sua imagem...
...sempre ...nunca
...às vezes, quando ... Verifique se os segmentos continuam paralelos quando você movimenta a figura. Salve o seu arquivo com o nome ativ51XY onde X é a inicial do seu nome e Y a