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Batanero, et al. (1994) afirmam que ―atrasar o ensino da Combinatória, ou, por outras palavras, não cultivar o raciocínio combinatório quando os alunos reúnem as condições adequadas para o exercitarem, pode significar uma limitação séria ao desenvolvimento do seu pensamento formal‖ (p.80). O ensino da Estocástica deveria ocorrer desde o início da escolaridade, pois modelos explicativos inadequados, adquiridos cedo, podem transformar-se em intuições erróneas fortemente enraizadas – que são difíceis de erradicar e que podem impedir a aquisição de conhecimento correcto (Fischbein, 1975; Heitele, 1975). Fernandes (1990), corroborando esta opinião, afirma: ―estas concepções erradas conduzem a resultados errados,

elas assumem-se como uma barreira à aprendizagem, pelo que será vantajoso identificar, compreender e vencer tais concepções, se pretendermos facilitar a aprendizagem‖ (p. 2).

Para Fischbein (1975), as intuições são componentes da inteligência sobre as quais se pode e deve construir e relacionar o conhecimento, intervindo nas acções de forma imediata. No entanto, a imediaticidade de uma intuição ―não implica improvisação, pois é o resultado da maturação de muitas experiencias anteriores‖ (Godino, et al., 1997, p. 37).

A contribuição de Bruner, segundo Heitele (1975), foi imprescindível para o ensino da estocástica, que actualmente faz parte dos currículos da Matemática escolar. O mesmo autor considera necessário ligar o ensino da estocástica às experiências intuitivas dos alunos. Por outro lado, na realidade complexa em que vivemos, ―a necessidade de tomar decisões obriga- nos a fazer estimativas intuitivas de possibilidades (na maioria das vezes do tipo subjectivo)‖(Godino, et al., 1997, p.37).

Assim, Heitele (1975) sustenta,

aperceber-me-ei daquelas ideias que fornecem ao indivíduo, em cada nível do seu desenvolvimento, os modelos explicativos, que são tão eficientes quanto possível, e que diferem nos vários níveis cognitivos, não de uma forma estrutural, mas somente através da sua forma linguística e dos seus níveis de elaboração. (p. 188)

Ainda segundo Bruner, referido pelo mesmo autor, a transição para um nível cognitivo mais elevado é preparada pelos estádios cognitivos anteriores. Exemplificando, os modelos explicativos intuitivos têm duas funções:

(a) Como modelos em estádios iniciais, têm um valor explicativo autónomo e ajudam a criança a compreender o ambiente pelos seus próprios meios, muito antes de poder compreender a sua complexidade linguística e sofisticação dos modelos matemáticos subjacentes na sua forma analítica.

(b) Estão a pré-estabelecer o conhecimento analítico vindouro, de uma forma que o professor, num nível mais elevado, pode pressupor um domínio intuitivo favorável, quando lidar com operações combinatórias. (p. 190)

O esquema realiza uma função essencial no pensamento produtivo, conciliando o abstracto com o concreto. O esquema, que é uma simplificação e uma ―destilação‖ do concreto, prepara o terreno para o conceptualismo, fornecendo relações abstractas à representação espacial, dando-lhe significado dinâmico e, consequentemente, um potencial construtivo e criativo (Fischbein, 1975). Tais esquemas podem-se tornar uma fonte de erros, sendo desejável, por isso, que o processo seja sistematicamente guiado pelo professor, nomeadamente através de um questionamento apropriado, quando os alunos se encontram a trabalhar nos problemas.

Por exemplo, pedir aos alunos que expliquem e justifiquem as suas soluções pode levá-los a rejeitarem algumas das suas ideias originais, ou modificar, refinar, ou consolidar os seus argumentos originais (Maher & Martino, 1996).

É importante que os alunos tenham liberdade de usar representações e abordagens diferentes, e que sejam encorajados a descrever e a explicar as suas acções. Ao fazê-lo, os alunos conseguem identificar as semelhanças e as diferenças entre as suas próprias formas de representação e as dos outros. Batanero et al. (1994) enfatizam que ―a apresentação das soluções encontradas pelos alunos, conjuntamente com a sua discussão colectiva, permitirá criar uma atmosfera de aprendizagem eficaz‖ (p. 118).

Um dos maiores objectivos da instrução matemática é que as crianças vejam as conexões e relações entre as ideias matemáticas (NCTM, 1991) e apliquem esta compreensão às soluções a aplicar a novos problemas — raciocínio analógico (English, 1998, 2005). Se partimos do princípio que as crianças devem estabelecer ligações apropriadas com as novas aprendizagens, então precisam de construir uma compreensão que abranja as relações estruturais entre as ideias. Quando se apresentam novos problemas combinatórios, os alunos, naturalmente, exibirão um número de soluções resultantes de abordagem diferentes, pois poderão tentar resolver o novo por analogia com o anterior, como evidenciou uma investigação feita por English (1998, 2005).

Com o diagrama de árvore pretende-se que os alunos construam sequências e de seguida identifiquem regularidades a aplicar, por transferência e generalização, a outras sequências (Fischbein, Pampu & Mînzat, 1970). Este modelo generativo possibilita a transferência da técnica de resolução de um problema prévio para outro semelhante – generalização iterativa – e também permite a construção de novos modelos para resolver problemas de diferente natureza, mas relacionados – generalização construtiva do raciocínio recursivo (Fischbein, 1975).

Uma descoberta comum em muitos dos estudos de combinatória é que os alunos têm dificuldade em identificar estruturas comuns de problemas que se relacionam. Como consequência, a habilidade dos alunos em transferirem a sua aprendizagem para novas situações combinatórias é limitada.

English (2005) aponta os benefícios de incorporar experiências em que os alunos constroem os próprios problemas dentro do currículo da matemática. A habilidade de construir problemas, para além da sua resolução, está-se a tornar extremamente importante na sociedade de hoje em dia. Os problemas gerados pelos alunos têm mais possibilidades de ligar a

matemática com os seus interesses, pois, segundo Fernandes (1990), evocando Moreno e Moreno (1988), ―O próprio ensino (…) constitui-se como uma outra fonte de dificuldade na medida em que muitos professores desconhecem as ideias prévias dos alunos e eles mesmos, por vezes, veiculam ideias semelhantes às dos alunos‖ (p. 3).

Assim, os alunos sentir-se-ão mais motivados para ―inventar‖ e resolver problemas nos quais eles tenham um interesse inerente. Ao mesmo tempo, estas experiências podem diminuir a ansiedade matemática dos alunos e levar a uma predisposição mais positiva para a disciplina, como é referido nos estudos de English ( 2005).

Incluir o ―inventar‖ problemas nas experiências dos alunos, quando trabalham com a Combinatória, dá-lhes acesso aos conceitos e procedimentos combinatórios, e potencia a sua compreensão das estruturas do problema combinatório.

Relativamente à enumeração, esta sistematização favorece a exploração de diversos caminhos possíveis para chegar às fórmulas. As sistematizações intuitivas das configurações combinatórias, que se estabelecem ao nível concreto, encontram-se ao nível abstracto, permitindo o ajustamento de corroborar e de precisar os aspectos relacionais. A sua exploração tornará significativas, para o aluno, as noções abstractas de aplicação, de produto cartesiano, de relação de ordem, de relação de equivalência, de conjunto quociente e muitos outros, que são conceitos essenciais a uma verdadeira formação matemática escolar contemporânea (Dubois, 1984).

Do ponto de vista de Fischbein (1975), quando as crianças compreenderam como funciona o diagrama de árvore na construção de permutações, elas têm de necessariamente já ter compreendido como o passo de k –1 objectos para k objectos é feito por multiplicação por k. A demonstração recursiva não pode, de facto, fazer mais do que isto, uma vez que mesmo a demonstração recursiva não elimina, mas incorpora, a intuição de génese indutiva.

Nenhuma construção dedutiva pode existir completamente sem um apelo à intuição, uma vez que a intuição está envolvida na selecção de axiomas e nas direcções do raciocínio.

O cálculo combinatório não está restrito a combinações e problemas de arranjos, mas inclui uma variada gama de conceitos e de competências utilizadas na resolução de problemas. Johnson (1991) advoga que as técnicas de contagem têm aplicações directas como instrumentos para a resolução de problemas. Os alunos ficam com uma apreciação do domínio dos utensílios matemáticos que sustentam o raciocínio combinatório, tais como as permutações,

combinações, teoria dos grafos, algoritmos e técnicas gerais de resolução de problemas. Em suma, os alunos são apresentados de forma autónoma ao raciocínio combinatório.

A maior parte destas componentes é um instrumento fundamental no desenvolvimento de cálculo probabilístico e na consecução de objectivos probabilísticos curriculares para o ensino básico e secundário. Com a ajuda de materiais manipuláveis e de diagramas de árvore podem ser propostas actividades ligadas às Probabilidades, mesmo para crianças muito jovens (Batanero et al., 1994, 1997a).

Estas actividades podem, também, servir para desenvolver e avaliar a resolução de problemas, capacidades de comunicação e ligação a outros tópicos matemáticos.

Na opinião de Heitele (1975), a Combinatória deveria ser um tema transversal no currículo da matemática, afirmando que,

é necessário integrar a actividade estocástica tão cedo quanto possível nas actividades da aritmética, e ainda mais, na geometria, e em todos os casos respeitar e desenvolver conexões significativas com a realidade, com o mundo do aluno. Para esta finalidade precisamos de professores que saibam o que realmente é fundamental em estocástica. (p. 203)