A tabela 6.1 mostra as teorias adotadas para o desenvolvimento das formu- la¸c˜oes desta Tese e, em seguida, s˜ao apresentadas algumas justificativas para cada uma destas escolhas.
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Tabela 6.1: Teorias adotadas
Teorias Tipo adotado
Micropolar Cont´ınuo
com Microexpans˜ao Modelagem Constitutiva Microplanos
Formula¸c˜ao Termodinˆamica Medida de dano Deforma¸c˜ao Equivalente
1) Cont´ınuos Micropolar e com Microexpans˜ao
Modelar o fenˆomeno de amolecimento por meio do cont´ınuo cl´assico pode re- sultar numa escolha pouco representativa da realidade f´ısica. Numericamente, isto se manifesta na dependˆencia patol´ogica da malha de elementos finitos, ou seja, lo- caliza¸c˜oes que inevitavelmente acompanham os processos de falha nos materiais parcialmente fr´ageis tendem a ser determinadas inteiramente pelo espa¸camento da malha de elementos finitos (de Borst, 1993).
In´umeras aproxima¸c˜oes tˆem sido propostas para enriquecer a descri¸c˜ao do con- t´ınuo tal que a localiza¸c˜ao possa se desenvolver corretamente (Bazant e Pijaudier- Cabot, 1988; M¨uhlhaus e Vardoulakis, 1987; de Borst, 1991, 1993). A mecˆanica generalizada de Cosserat tem sido aplicada com ˆexito na modelagem cont´ınua de problemas referentes a meios com algum tipo de microestrutura¸c˜ao intr´ınseca, tais como materiais granulares de qualquer esp´ecie (Figueiredo e Vargas, 2002). Em pro- blemas onde a heterogeneidade ´e originada pela evolu¸c˜ao das pr´oprias deforma¸c˜oes do meio, como no caso de bifurca¸c˜oes com localiza¸c˜ao de deforma¸c˜oes, a mecˆanica de Cosserat tamb´em tem sido empregada como estrat´egia para remediar a dependˆencia das solu¸c˜oes computacionais obtidas por elementos finitos com rela¸c˜ao `a discretiza- ¸c˜ao adotada (Lages, 1997).
O aspecto que diferencia a mecˆanica generalizada de Cosserat e a torna apropri- ada `a modelagem de tais problemas ´e a existˆencia, na cinem´atica do meio, de graus de liberdade rotacionais adicionais, independentes dos translacionais cl´assicos. Na
est´atica, por sua vez, tem-se grandezas denominadas tens˜oes-momento conjugadas energeticamente com os gradientes dessas rota¸c˜oes. Como conseq¨uˆencia, aparecem parˆametros com dimens˜ao de comprimento nas rela¸c˜oes constitutivas, que permi- tem contemplar a influˆencia das dimens˜oes e a forma da microestrutura na resposta macrosc´opica do meio (Figueiredo e Vargas, 2002).
As estrat´egias micropolar tˆem apresentado resultados satisfat´orios para a mo- delagem de localiza¸c˜ao de deforma¸c˜oes com predominˆancia do modo de cisalhamento (ou modo II). Entretanto, alguns autores comentam a respeito de sua inaplicabili- dade no caso de predominˆancia do mecanismo de localiza¸c˜ao no modo de abertura (ou modo I), muito importante no caso de concreto e materiais geol´ogicos (Lages, 1997). Neste caso, o cont´ınuo com microexpans˜ao surge como uma alternativa, pois al´em de conter a teoria micropolar, tamb´em possui a microexpans˜ao volum´etrica como grau de liberdade adicional, tornando-se capaz de representar tamb´em o modo I de abertura de fissuras. Isso ocorre porque este cont´ınuo possui comprimentos caracter´ısticos `a flex˜ao e `a tra¸c˜ao.
A vantagem de se poder optar entre o cont´ınuo com microexpans˜ao e micropo- lar est´a na possibilidade de adequ´a-lo `as deforma¸c˜oes da microestrutura do material, quando conhecidas a priori. Outro fato que deve ser considerado ´e o aspecto com- putacional, pois, como visto no cap´ıtulo 4, em problemas bidimensionais, o cont´ınuo com microexpans˜ao possui 6 grandezas internas adicionais em rela¸c˜ao ao cont´ınuo micropolar (uma microexpans˜ao, seus dois gradientes, uma microtens˜ao e duas mi- crofor¸cas), o que acarreta um esfor¸co computacional maior no c´alculo das tens˜oes e deforma¸c˜oes e principalmente no armazenamento dessas grandezas. Logo, a utili- za¸c˜ao do cont´ınuo micropolar deve ser preferida quando n˜ao houver necessidade do uso do cont´ınuo com microexpans˜ao.
2) Modelo de Microplanos
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em problemas n˜ao-lineares (Adhikary e Dyskin, 1998; Jog, 2004; Li e Tang, 2005; Liu e Hu, 2005; Voyiadjis et al., 2005; Hu et al., 2005) e esta ´ultima apresenta algumas limita¸c˜oes quando se refere a materiais parcialmente fr´ageis. A ocorrˆencia de “strain-softening”, muito comum na descri¸c˜ao do comportamento destes materiais, viola as hip´oteses b´asicas da teoria da plasticidade, geralmente expressadas como postulados de Drucker. A presen¸ca de atrito nas microfissuras e a degrada¸c˜ao da rigidez el´astica devido `a microfissura¸c˜ao progressiva tamb´em invalidam os postulados de Drucker. Assim, as teorias que utilizam superf´ıcies de carregamento e potenciais inel´asticos, sem considerar o comportamento anisotr´opico do material, dificilmente podem produzir um bom modelo para a microfissura¸c˜ao progressiva. Seu uso ´e mais complicado pelo fato de que as microfissuras fazem a rigidez el´astica tornar- se anisotr´opica (Bazant e Gambarova, 1984). Por estas raz˜oes, parece prefer´ıvel descrever as propriedades inel´asticas n˜ao globalmente, mas individualmente para planos de orienta¸c˜oes arbitr´arias dentro do material.
Para a descri¸c˜ao est´atica de meios parcialmente fr´ageis heterogˆeneos, o modelo constitutivo de microplanos tem se apresentado como uma alternativa.
A teoria de microplanos apresenta quatro caracter´ısticas relevantes que a torna uma das teorias constitutivas de maior sucesso na ramo da engenharia. S˜ao elas:
1. Incorpora a informa¸c˜ao microsc´opica na formula¸c˜ao macrosc´opica do material de forma natural;
2. Apresenta equa¸c˜oes constitutivas muito simples para os microplanos que levam a resultados macrosc´opicos altamente precisos do comportamento do material;
3. ´E capaz de modelar o comportamento anisotr´opico do material, uma vez que cada microplano est´a sujeito a diferentes hist´oricos de carregamento e pode exibir diferentes deforma¸c˜oes e rigidezes;
as rela¸c˜oes tens˜ao-deforma¸c˜ao (como ´e o caso, por exemplo, da teoria da plas- ticidade), uma vez que estas rela¸c˜oes na teoria de microplanos referem-se a um ´unico plano que n˜ao pode ser rotacionado por defini¸c˜ao. As exigˆencias de invariˆancia tensorial s˜ao satisfeitas `a posteriori, isto ´e feito simplesmente pela combina¸c˜ao adequada dos planos de v´arias orienta¸c˜oes arbitr´arias (Bazant e Prat, 1988).
3) Formula¸c˜ao Termodinˆamica
Todos os modelos constitutivos devem obedecer `as leis da termodinˆamica. Na maioria dos casos, entretanto, esta exigˆencia b´asica ´e imposta retroativamente, isto ´e, primeiramente as leis constitutivas s˜ao propostas e as limita¸c˜oes termodinˆamicas s˜ao, ent˜ao, aplicadas como uma restri¸c˜ao. H´a duas desvantagens nesta aproxima¸c˜ao: a) as restri¸c˜oes adicionadas podem indevidamente limitar o comportamento do mo- delo; ou b) as condi¸c˜oes impostas podem n˜ao restringir o modelo adequadamente, conduzindo a resultados sem sentido f´ısico (Walsh e Tordesillas, 2004b).
A descri¸c˜ao matem´atica n˜ao ´e o todo de um modelo constitutivo. Em com- portamentos descritos pela mecˆanica do dano, sem a considera¸c˜ao termodinˆamica equivalente, a lei de evolu¸c˜ao do dano n˜ao pode ser consistentemente estabelecida e as caracter´ısticas convenientes que acompanham esta teoria s˜ao perdidas (Wu e Li, 2008).
Embora implementados com sucesso e excessivamente verificados com resulta- dos experimentais, os modelos tradicionais de microplanos foram baseados at´e certo ponto em argumentos intuitivos, e sua consistˆencia termodinˆamica n˜ao pˆode ser ga- rantida em todas as situa¸c˜oes de carregamento. Al´em disso, da forma com que foram introduzidas, algumas das tens˜oes nos microplanos n˜ao s˜ao quantidades conjugadas `as suas correspondentes deforma¸c˜oes. Estas deficiˆencias foram detectadas quando a base termodinˆamica para formula¸c˜oes de microplanos foi estabelecida pelos auto- res Carol et al. (2001). A id´eia principal consiste em um potencial de energia livre
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introduzido para cada microplano, cuja integral sobre todas as orienta¸c˜oes poss´ı- veis conduz `a energia livre macrosc´opica cl´assica, permitindo que todos os tipos de comportamento constitutivo sejam impostos aos microplanos e que os parˆametros do material necess´arios `a sua descri¸c˜ao tenham sentidos f´ısicos mais claros. Este conceito, combinado com a restri¸c˜ao cinem´atica, fornece um procedimento termodi- namicamente consistente para definir esfor¸cos conjugados nos microplanos, e para desenvolver as corretas rela¸c˜oes integrais est´aticas necess´arias. Isto tornou poss´ıvel, por exemplo, o desenvolvimento consistente e racional de formula¸c˜oes de microplanos com deforma¸c˜ao finita, que exigem total consistˆencia termodinˆamica (Carol et al., 2004).
4) Deforma¸c˜ao Equivalente
As vari´aveis de dano devem relacionar as quantidades efetivas `as suas contra- partes nominais ou aparentes, que s˜ao aquelas medidas externamente e que satisfa- zem o equil´ıbrio e a compatibilidade em n´ıvel estrutural. As quantidades efetivas s˜ao aquelas que o material, entre as microfissuras, est´a sujeito, isto ´e, s˜ao as grande- zas relacionadas `as regi˜oes do material que ainda conseguem resistir a alguma a¸c˜ao externa. A deforma¸c˜ao equivalente ´e uma das formas utilizadas para descrever a evolu¸c˜ao do dano e relacionar as quantidades nominais e efetivas.
A deforma¸c˜ao equivalente mapeia o estado tensorial de deforma¸c˜ao em uma vari´avel escalar. Ela reflete os diferentes efeitos de cada componente de deforma¸c˜ao no crescimento do dano, pela pondera¸c˜ao dessas componentes (Peerlings et al., 1998). Uma vez que a degrada¸c˜ao pode ser compreendida como o efeito m´edio de microfissuras distribu´ıdas, e cada uma destas pode estar sofrendo a influˆencia de certas componentes de deforma¸c˜ao, ´e mais sensato que o dano seja descrito por uma deforma¸c˜ao equivalente.
para o cont´ınuo de Cosserat e de microplanos para o cont´ınuo com microexpans˜ao. As formula¸c˜oes s˜ao descritas para o caso tridimensional. Utilizar-se-´a a palavra “macrosc´opica” para indicar o n´ıvel que corresponde ao ponto material e a palavra “generalizada” para referir-se a todos os tipos de deforma¸c˜ao ou tens˜ao existentes
num cont´ınuo generalizado.
Para cada formula¸c˜ao, s˜ao definidas as restri¸c˜oes cinem´aticas para a obten¸c˜ao das componentes de deforma¸c˜ao generalizadas nos microplanos. Em seguida, as rela¸c˜oes constitutivas nos microplanos e a aplica¸c˜ao das leis da Termodinˆamica para obten¸c˜ao das grandezas macrosc´opicas s˜ao desenvolvidas para um material linear, el´astico e isotr´opico e para um material que sofre dano progressivo, quando s˜ao definidas as deforma¸c˜oes equivalentes que controlam o crescimento do dano.