6.1 South Sudan
6.2.1 Historical background
O método de absorção de ondas proposto por Schäffer (2001) requer a síntese de um filtro digital recursivo com especificação de módulo e fase. Este é um problema complicado devido à dependência não linear dos coeficientes do filtro com sua resposta em frequência, adicionado à restrição de estabilidade que aumenta a complexidade do problema (LANG, 1999).
Como alternativa pode ser utilizado um filtro não recursivo que além de ter a vantagem de ser sempre estável, pode ser sintetizado através de programação linear (PARKS; BURRUS, 1987). Filtros não recursivos já foram aplicados anteriormente para absorção de ondas por Christensen e Frigaard (1994), porém utilizando dois sensores de nível a uma certa distância do gerador de ondas.
Os filtros não recursivos costumam apresentar um grande atraso de fase. Quando os sensores são posicionados a uma certa distância do gerador de ondas esse atraso não é significativo, pois o tempo da propagação da onda até o gerador possibilita ao filtro o tempo necessário para calcular o sinal de comando. No caso dos sensores solidários ao gerador de ondas esse atraso se torna mais crítico, mesmo assim foi possível obter neste trabalho uma resposta em frequência adequada através de otimização, conforme é descrito a seguir.
A resposta em frequência do filtro digital de absorção de ondas na forma não recursiva é dada pela equação 5.23:
e F (ω) = M1 X k=0 akz1−k; z1 = eiω∆t (5.23)
Nesta etapa do trabalho foi utilizado o programa de otimização convexa disciplinada CVX (GRANT; BOYD, 2011a) baseado no Matlab para a síntese doR
filtro não recursivo. Dentro do contexto de otimização convexa, o CVX pode resolver diversos problemas, como por exemplo problemas de programação linear, programação quadrática, programação semi-definida, entre outros, com uma interface simplificada para a especificação do problema. A vantagem de se trabalhar com um problema de otimização convexo é a garantia da convergência para o mínimo global, mas para isso uma série de regras devem ser satisfeitas para assegurar a convexidade do problema, conforme apontado por Grant e Boyd (2011b).
Na síntese do filtro recursivo descrita anteriormente, a função objetivo a ser minimizada foi formulada em função do erro do módulo e da fase entre as respostas em frequência teórica de absorção de ondas e do filtro otimizado ou ainda diretamente
em função do coeficiente de reflexão. Nessas formulações a dependência da função objetivo com os coeficientes do filtro é não linear, caracterizando em um problema não convexo.
A função objetivo pode ser reformulada como um problema convexo, por exemplo ao separar a resposta em frequência do filtro em suas parcelas real e imaginária em vez de módulo e fase. Para isso, a resposta em frequência do filtro não recursivo é escrita na forma apresentada na equação 5.24 (MURALI, 2004), em função da frequência
normalizada ωi = 2πfi/fa, sendo fa a frequência de amostragem:
e F (ωi) = M1 X k=0 ake−iωik = M1 X k=0 akcos(ωik) − i M1 X k=0 aksen(ωik) (5.24)
O erro complexo da resposta em frequência do filtro pode ser expresso por:
E(ωi) = FM(ωi) − eF (ωi) = ER(ωi) + iEI(ωi) (5.25)
onde, ER e EI são respectivamente as partes real e imaginária do erro E.
A soma dos quadrados dos erros da resposta em frequência do filtro é dada por:
N −1X i=0 |E(ωi)|2 = N −1X i=0 [E2 R(ωi) + EI2(ωi)] = kEk22 (5.26)
onde, kEk2 é a norma euclidiana do vetor de erro E que pode ser facilmente definida
no programa CVX. O vetor de erro pode ser obtido através da forma matricial a seguir:
E = " ER EI # = " Re(Fd) Im(Fd) # − " C1 S1 # a (5.27)
onde, ER e EI são respectivamente as partes real e imaginária do erro E, Re(Fd)
e Im(Fd) são respectivamente as partes real e imaginária do vetor de resposta em
frequência desejada Fd na na região de interesse de absorção de ondas:
Fd= [FM(ω0) FM(ω1) ... FM(ωN −1)]T (5.28)
a é o vetor com os coeficientes do filtro:
a = [a0 a1 ... aM1)]
T (5.29)
C1(i, j) = cos(mωi) com m = 0, 1, 2, ..., M1 (5.30)
S1(i, j) = −sen(mωi) com m = 0, 1, 2, ..., M1 (5.31)
Porém, seguindo procedimento semelhante ao adotado na otimização do filtro e
FM6A de minimizar máximo CR em vez de seu valor médio, aqui foi escolhido
minimizar o erro máximo da resposta em frequência na região de interesse de absorção de ondas, que é equivalente à norma infinita do vetor de erro E:
max
1≤i≤N|E(ωi)| = kEk∞ (5.32)
Na banda de rejeição, a imposição de máximo módulo da resposta em frequência do filtro ou mesmo o máximo valor da soma dos quadrados das partes real e imaginária da resposta em frequência do filtro se mostrou muito restritiva. Com essas imposições não foi possível sintetizar um filtro com uma boa relação entre CR e rejeição de
ruído. Dependendo do valor da restrição ou o coeficiente de reflexão obtido é muito alto (CR ≫ 10%) ou o módulo do filtro na banda de rejeição obtido é muito alto,
deixando o sistema de controle instável. Por outro lado, verificou-se que com uma restrição considerando o máximo valor da soma dos quadrados apenas da parte real da resposta em frequência do filtro na banda de rejeição era possível obter um filtro com as características desejadas e assegurar a estabilidade do sistema de controle, verificado através do Diagrama de Nyquist.
Assim, o filtro não recursivo foi obtido minimizando a função objetivo descrita na equação 5.33 com a restrição dada pela equação 5.34:
Fobj(ak) = kEk∞ (5.33)
kFRk2 <√ǫ (5.34)
onde, ǫ é o limite da soma dos quadrados dos erros e FR é a parcela real da resposta
em frequência do filtro na banda de rejeição, dado por:
FR= C2a (5.35)
onde C2 é uma matriz semelhante à matriz C1 porém considerando as frequências ωi
na banda de rejeição.
O valor de √ǫ adotado nas otimizações foi de 0,01. As otimizações com valores menores do que o adotado não apresentaram uma melhora significativa na redução do módulo da resposta na banda de rejeição, mas pioravam muito o CR obtido.
Diversos filtros foram otimizados variando seu tamanho (M1), foi observada a
tendência de um menor CR quanto maior o filtro até um valor a partir do qual a
variação é muito pequena. Conforme pode ser observado na figura 5.45, a partir do filtro de M1 = 150 o máximo CR é aproximadamente constante.
60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 C R (%) M 1
Figura 5.45: Máximo coeficiente de reflexão em função do tamanho do filtro.
O filtro com menor CR foi obtido com M1 = 178. A figura 5.46 apresenta os
coeficientes ak desse filtro, denominado como eFM8. Pode-se observar a tendência da
diminuição do valor de ak quanto maior o k, o que significa que as leituras anteriores
do sensor de nível influenciam cada vez menos na resposta do filtro com o passar do tempo. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 k a k
A figura 5.47 apresenta uma comparação do coeficiente de reflexão teórico do filtro recursivo eFM7 com o filtro não recursivo eFM8. O filtro não recursivo tem um
resultado melhor em quase toda a faixa de frequências de interesse, apresentando CR
máximo de 6,34% e entre as frequências de 0,4 a 1,0 Hz o máximo CR é de 3,63%.
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 frequência (Hz) C R (%) F M7 F M8 ~ ~
Figura 5.47: Comparação do coeficiente de reflexão teórico dos filtros eFM7 e eFM8.
A seguir os experimentos de absorção de ondas regulares da tabela 5.4 foram repetidos com o filtro eFM8. O lado 1 do tanque foi configurado com absorção e
geração simultâneas e o lado 3 apenas com absorção de ondas. O CR experimental
estimado com o método proposto por Schäffer (2001) é apresentado na figura 5.48. Todos os resultados obtidos com o filtro eFM8 foram melhores que os obtidos com
o filtro recursivo (tabela 5.5). Os resultados experimentais apresentaram uma boa aderência ao valor teórico com diferença máxima de 2,5% para a onda de 0,7 Hz (tabela 5.10). Novamente não ocorreu variação significativa do CR em função da
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 frequência (Hz) C R (%) C R teórico declividade 2,5% declividade 3,3% declividade 5,0%
Figura 5.48: Coeficiente de reflexão experimental nos ensaios com o filtro eFM8.
Tabela 5.10: Coeficiente de reflexão experimental nos ensaios com o filtro eFM8.
Caso CR teórico (%) CR experimental (%)
RE1 3,02 5,54 RE2 3,02 5,56 RE3 3,02 5,44 RE4 2,80 2,86 RE5 2,80 2,84 RE6 2,80 2,86 RE7 5,74 5,82 RE8 5,74 5,88 RE9 5,74 5,95
A figura 5.49 apresenta fotos durante o ensaio de absorção da onda de frequência 1Hz e amplitude 26 mm comparado com a mesma onda com o sistema de absorção de ondas desligado. No instante de 10 s, a onda gerada pelo lado 1 atingiu o centro do tanque. No tempo de 27 s, a onda se propagou até o lado 3 e a onda refletida retornou até o centro do tanque. Com o sistema de absorção desligado, forma-se uma onda estacionária decorrente da soma das ondas incidente e refletida, com aproximadamente o dobro da amplitude da onda gerada. Esse efeito pode ser observado nas fotos (d) e (f). Já com a absorção ligada, a onda continua se propagando no sentido do lado 3 do tanque (fotos (c) e (e)). A geração de ondas foi finalizada no tempo de 40 s. No instante de 60 s, a foto (i) mostra que toda a onda já foi absorvida, restando apenas componentes de frequência mais alta, enquanto que na foto (j) sem a absorção de ondas, a onda estacionária continua presente.
(a) Com absorção, t = 10 s (b) Sem absorção, t = 10 s
(c) Com absorção, t = 27 s (d) Sem absorção, t = 27 s
(e) Com absorção, t = 27,25 s (f) Sem absorção, t = 27,25 s
(g) Com absorção, t = 40 s (h) Sem absorção, t = 40 s
(i) Com absorção, t = 60 s (j) Sem absorção, t = 60 s
Figura 5.49: Comparação de ensaio com e sem absorção de ondas (frequência 1Hz e amplitude 26 mm.