A termo-elasticidade pode ser definida como a parte da termo-mecˆanica que se ocupa em determinar a resposta de um corpo de comportamento el´astico a esfor¸cos t´ermicos e mecˆanicos. Na teoria introduzida em Duhamel (1837), diferenciais de tem- peratura, seja a partir de um referencial, seja entre um ponto do corpo e outro, geram esfor¸cos internos (BOLEY; WEINER, 1960).
Isso significa dizer que, se um s´olido inicialmente a uma temperatura θ0, ao ser
aplicada uma varia¸c˜ao de temperatura θ, vai variar seu volume na propor¸c˜ao do seu coeficiente de expans˜ao t´ermica α, sem gerar cisalhamento. Este mesmo s´olido, ao receber uma tens˜ao aplicada em uma dire¸c˜ao, passa por uma deforma¸c˜ao no sentido de aplica¸c˜ao desta tens˜ao e contra¸c˜ao nas dire¸c˜oes perpendiculares. Assim, seguindo o enunciado da Lei de Hooke e a deforma¸c˜ao volum´etrica isotr´opica decorrente da varia¸c˜ao da temperatura, a rela¸c˜ao tens˜ao-deforma¸c˜ao ´e dada por
ǫij = 1 2G σij− ν 1 − ν σkkδij + α θ δij , (2.12)
onde G ´e o m´odulo de elasticidade transversal, ν ´e o coeficiente de Poisson, e δij ´e o delta
de Kronecker, definido como 1 quando i = j e 0 quando i 6= j. A inversa desta rela¸c˜ao, visando isolar as tens˜oes, ´e vista na equa¸c˜ao 2.13.
σij = 2G ǫij + ν 1 − 2νǫkkδij − 1 + ν 1 − 2να θ δij , (2.13)
onde ǫkk ´e o tra¸co do tensor de deforma¸c˜oes, que d´a a varia¸c˜ao relativa de volume do
corpo deformado. Definindo σij como sendo o tensor de tens˜oes, Fi as for¸cas de corpo e
¨
yi a acelera¸c˜ao, a equa¸c˜ao de equil´ıbrio dinˆamico local ´e dada por
Considerando a rela¸c˜ao constitutiva dada pela equa¸c˜ao 2.13, a equa¸c˜ao de equi- l´ıbrio 2.14 pode ser escrita na forma
" 2G ǫij + ν 1 − 2νǫkkδij − 1 + ν 1 − 2να θ δij ,j # + Fi− ρ ¨yi = 0 (2.15)
A equa¸c˜ao 2.15, associada `a rela¸c˜ao de deslocamento e deforma¸c˜ao, define o campo de deslocamentos, dependente da temperatura. Com rela¸c˜ao ao campo t´ermico, a equa¸c˜ao de calor n˜ao estacion´aria (equa¸c˜ao 2.11) ´e utilizada para completar as equa¸c˜oes da teoria da termo-elasticidade desacoplada.
Estas equa¸c˜oes s˜ao utilizadas para resolver diversos problemas de engenharia, visto sua relativa facilidade de aplica¸c˜ao, j´a que cada vari´avel (temperatura e deforma¸c˜ao) s˜ao determinadas separadamente. Um exemplo est´a no artigo Rossit e Laura (1997), em que, sendo conhecido o carregamento t´ermico, busca-se a deflex˜ao e as tens˜oes em uma placa retangular. Um caso parecido ´e apresentado no artigo Xia e Ding (2001), que apresenta a formula¸c˜ao de casca cil´ındrica, quando submetida a cargas t´ermicas.
Outro exemplo pode ser visto em Ribeiro e Manoach (2005) onde s˜ao tratadas as mudan¸cas no comportamento dinˆamico na vibra¸c˜ao de grande amplitude de vigas curvas causadas por varia¸c˜oes de temperatura.
A resolu¸c˜ao de um problema inverso, em que s˜ao conhecidos os deslocamentos e busca-se a temperatura em uma placa circular fina, pode ser visto em Gaikwad e Desh- mukh (2005). Outro problema interessante ´e apresentado em Vel e Batra (2001), em que estudam-se placas laminadas sendo que cada lˆamina pode ter sua pr´opria condi¸c˜ao de contorno, tanto t´ermica quanto mecˆanica.
Por´em grande parte dos estudos atuais na teoria da termo-elasticidade desaco- plada est´a na aplica¸c˜ao do m´etodo dos elementos de contorno na resolu¸c˜ao de diversos problemas, em geral considerando o problema quase-est´atico. Problemas transientes s˜ao tratados em Park e Banerjee (2002), por exemplo, na resolu¸c˜ao de problemas bi e tridi- mensionais.
No artigo Rand e Givoli (1995) busca-se a otimiza¸c˜ao de estruturas de barra para estruturas espaciais, no caso considerando tamb´em radia¸c˜ao. A otimiza¸c˜ao de estruturas tamb´em ´e objeto de estudo no artigo Bialecki et al. (2005), contudo considerando as trˆes formas de troca de calor (condu¸c˜ao, convec¸c˜ao e radia¸c˜ao).
J´a no artigo Raveendra (2000) se trata a otimiza¸c˜ao do grau de fun¸c˜oes poli- nomiais para aproxima¸c˜ao dos resultados por meio de uma an´alise de erro. Problema
parecido ´e solucionado em Koshelev e Ghassemi (2004) e em Miranda-Valenzuela, Muci- Kuchler e Soriano-Soriano (2000), que ao inv´es de utilizarem fun¸c˜oes polinomiais, utilizam fun¸c˜oes de vari´aveis complexas e elementos Hermitanos, respectivamente.
Afora o m´etodo dos elementos de contorno, em Miranda e Ubertini (2001) estuda- se o movimento esp´urio causado pela considera¸c˜ao da temperatura como deforma¸c˜ao ini- cial, por meio do m´etodo dos elementos finitos. Como solu¸c˜ao, ´e proposto fazer a apro- xima¸c˜ao do funcional de energia agregando uma vari´avel, a tens˜ao, gerando um modelo misto entre deslocamentos e tens˜oes.
Contato ´e considerado no trabalho Alonso, Garrido e Foces (1998), sendo que a condu¸c˜ao de calor depende da press˜ao de contato, o que poderia ser considerado um acoplamento termo-mecˆanico secund´ario. O problema ´e resolvido por meio de uma apro- xima¸c˜ao pelo m´etodo dos elementos de contorno.
Al´em do contato, os artigos Stromberg (1999) e Ireman, Klarbring e Stromberg (2002) tamb´em consideram a fric¸c˜ao e o desgaste do material. Ambos artigos buscam a solu¸c˜ao utilizando o m´etodo dos elementos finitos. O primeiro dos artigos citados acima, o Stromberg (1999), trata a temperatura de forma “n˜ao expl´ıcita”, ou seja, atrav´es de manipula¸c˜oes alg´ebricas elimina a temperatura do equacionamento, podendo ent˜ao resolver ambos os campos (t´ermico e mecˆanico) simultaneamente.
J´a o artigo Ireman, Klarbring e Stromberg (2002) faz uma considera¸c˜ao n˜ao reali- zada no anterior: os esfor¸cos de fric¸c˜ao geram calor, causando um acoplamento secund´ario na formula¸c˜ao. A mesma considera¸c˜ao ´e feita em Choi e Lee (2004), onde ´e feito o estudo de freios, considerando apenas o contato e a fric¸c˜ao (mas n˜ao o desgaste), sendo que o calor gerado levam a instabilidade material, objeto de estudo do artigo.
A teoria da termo-elasticidade desacoplada tamb´em ´e fonte de estudo no artigo Ie- san e Quintanilla (2004), em que os autores, por meio de considera¸c˜oes semelhantes `a teo- ria desacoplada, desenvolvem uma nova teoria da termo-elasticidade, por´em considerando a micro-deforma¸c˜ao de meios el´asticos. Nesta teoria, a equa¸c˜ao de calor permanece inalte- rada, por´em a rela¸c˜ao constitutiva recebe um novo termo para tratar a micro-deforma¸c˜ao.
Cabe ressaltar que esta revis˜ao ´e uma pequena mostra dos artigos publicados recentemente. Uma grande quantidade de artigos foi omitida por brevidade.