Os an´eis dados em (i) tˆem K1,2 como grafo divisor de zero. J´a os an´eis que aparecem em
(ii) tˆem K3 como grafo divisor de zero. Mas, notemos que os quatro an´eis do item (i) n˜ao
possuem mais do que 9 elementos (pelo Exemplo 2.7) e, assim, n˜ao satisfazem a hip´otese |R| ≥ 10. Logo, R ´e isomorfo a um dos quatro dados em (ii) e, assim, gr(Γ(R)) = 3.
Vamos supor agora que |Γ(R)| ≥ 4. Tomemos P = Ann(x) ∈ Ass(R). Como R ´e No- etheriano, da Observa¸c˜ao 1.33 segue que D(R) = S
P∈Ass(R)P = Ann(x). Ent˜ao x ´e um
v´ertice adjacente aos demais v´ertices. Se existirem a, b ∈ V (Γ(R)) \ {x} tais que a 6= b e ab = 0, ent˜ao Γ(R) possui um 3-ciclo xabx, donde gr(Γ(R)) = 3. Se Γ(R) ´e um grafo estrela, ent˜ao R ≈ Z2 × F , com F um corpo finito (pelo Teorema 2.36). Mas, neste caso,
Ass(R) = {{0} × F, Z2× {0}} = {Ann((1, 0)), Ann((0, 1))}. Logo, n˜ao podemos ter Γ(R)
um grafo estrela. Portanto, gr(Γ(R)) = 3. ⊓⊔
2.7
Raio, centro e n´umero de domina¸c˜ao
Nesta se¸c˜ao, exibiremos alguns resultados obtidos por S. P. Redmond em [22] sobre raio, centro e n´umero de domina¸c˜ao de um grafo divisor de zero. Come¸caremos apresentando uma classifica¸c˜ao dos an´eis Noetherianos a partir dos raios dos grafos divisores de zero desses an´eis. Em um segundo momento, restringiremos nosso estudo aos an´eis Artinianos. Veremos que o raio de Γ(R) pode ser relacionado com o diˆametro desse grafo e apresentaremos uma propriedade de um v´ertice central de um grafo divisor de zero de um anel Artiniano local. Ao final da se¸c˜ao, veremos que algumas informa¸c˜oes acerca de R podem ser obtidas a partir do n´umero de domina¸c˜ao de Γ(R).
O primeiro resultado desta se¸c˜ao nos diz como s˜ao os an´eis Noetherianos que possuem grafos divisores de zero com raio igual a 0 ou 1.
Proposi¸c˜ao 2.56. ([22]) Seja R um anel Noetheriano que n˜ao ´e um dom´ınio. Ent˜ao:
(i) rad(Γ(R)) = 0 se, e somente se, R ∼=Z4 ou R ∼= Z(x2[x]2
).
(ii) rad(Γ(R)) = 1 se, e somente se, D(R) ´e um ideal de R ou R ∼= Z2 × A, com A um
2.7 Raio, centro e n´umero de domina¸c˜ao 62
(iii) Se R ´e finito, ent˜ao rad(Γ(R)) = 1 se, e somente se, R ´e local ou R ≈ Z2 × K, para
algum corpo finito K.
Demonstra¸c˜ao: (i) Pela Observa¸c˜ao 2.8, Γ(R) possui um ´unico v´ertice se, e somente se, R≈ Z4 ou R ∼= Z
2[x]
(x2). Vamos mostrar ent˜ao que rad(Γ(R)) = 0 se, e somente se, Γ(R) possui
um ´unico v´ertice. De fato, se rad(Γ(R))≥ 1, ent˜ao devem existir dois v´ertices distintos x e y em Γ(R) tais que d(x, y) = rad(Γ(R)) e, assim,|Γ(R)| ≥ 1. Por outro lado, se Γ(R) possui dois v´ertices distintos (ou mais), ent˜ao rad(Γ(R))≥ 1, pois Γ(R) ´e conexo.
(ii) Suponhamos que rad(Γ(R)) = 1. Ent˜ao existe um v´ertice de Γ(R) adjacente aos demais v´ertices. Pelo Teorema 2.27 e pela Proposi¸c˜ao 1.30, isso acontece se, e somente se, D(R) ´e um ideal (anulador) ou R ∼=Z2× A, com A um dom´ınio de integridade.
Reciprocamente, se R ∼= Z2 × A, para algum dom´ınio de integridade A, ent˜ao (1, 0) ´e
um v´ertice adjacente aos demais v´ertices (pelo Lema 2.26). Da´ı, e((1, 0)) = 1 e, assim, rad(Γ(R)) = 1. Suponhamos que D(R) ´e um ideal. Como R ´e Noetheriano, temos que D(R) ´e um ideal anulador de R, ou seja, D(R) = Ann(a), para algum a ∈ R∗. Assim e(a) = 1,
donde rad(Γ(R)) = 1.
(iii) Segue diretamente do item (ii) acima e do corol´ario 2.28. ⊓⊔
Dado um anel R, sabemos que rad(Γ(R)) ≤ diam(Γ(R)) ≤ 3. No caso em que R ´e Noetheriano, o resultado dado a seguir nos garante que o raio de Γ(R) nunca ´e igual a 3.
Teorema 2.57. ([22]) Seja R um anel Noetheriano. Ent˜ao rad(Γ(R))≤ 2.
Demonstra¸c˜ao: Se D(R) ´e um ideal, da Proposi¸c˜ao 2.56 segue que rad(Γ(R)) = 1. Vamos supor ent˜ao que D(R) n˜ao ´e um ideal e analisar os seguintes casos:
Caso 1: R ´e um anel reduzido.
Como R ´e Noetheriano, da Proposi¸c˜ao 1.22 obtemos que M in(R) ´e finito, digamos M in(R) = {P1, . . . , Pn}. Sendo R reduzido, a Proposi¸c˜ao 1.28 nos garante que D(R) =
Sn
i=1Pi e n≥ 2. Pelo Lema 1.5, para cada j ∈ {1, . . . , n}, podemos escolher
yj ∈ ( n \ i=1 i6=j Pi)\ Pj.
2.7 Raio, centro e n´umero de domina¸c˜ao 63
Dado x∈ D(R)∗, temos que x ∈ P
m, para algum m∈ {1, . . . , n}. Seja
ym ∈ ( n \ i=1 i6=m Pi)\ Pm.
Ent˜ao, xym ∈Tni=1Pi = N il(R) ={0}. Logo, xym = 0 e d(x, ym) = 1.
Notemos que se j 6= m, ent˜ao ymyj ∈ Ti=1n Pi = {0}, donde ymyj = 0. Afirmamos
agora que xyj 6= 0, para algum j ∈ {1, . . . , n} \ {m}. De fato, vamos supor que xyj = 0,
para todo j ∈ {1, . . . , n} \ {m}. Ent˜ao xyj ∈ {0} = Tni=1Pi, ou seja, xyj ∈ Pi, para todo
i∈ {1, . . . , n} \ {m}. Assim, para todo j ∈ {1, . . . , n} \ {m}, temos que xyj ∈ Pj. Como Pj ´e
primo, obtemos que x∈ Pj. Mas x∈ Pm e disso resulta que x∈Tni=1Pi ={0}, um absurdo.
Logo, xyj 6= 0, para algum j ∈ {1, . . . , n} \ {m}.
Para este yj, temos que d(x, yj) = 1, se j = m. Se j 6= m, ent˜ao d(x, yj) = 2.
Caso 2: R ´e n˜ao reduzido.
Neste caso, como R ´e Noetheriano, da Observa¸c˜ao 1.33 e da Proposi¸c˜ao 1.22 segue que S
P∈Ass(R)P = D(R), com Ass(R) = {P1, . . . , Pn} finito. Assim, para cada i ∈ {1, . . . , n},
existe ai ∈ R∗ tal que Pi = Ann(ai). Como R ´e n˜ao reduzido, existe v ∈ R∗ tal que
v ∈ Nil(R) = Tn
i=1Pi =
Tn
i=1Ann(ai). Da´ı, vai = 0, para todo i∈ {1, . . . , n}. Agora, dado
x∈ D(R), temos que x ∈ Pj = Ann(aj), para algum j ∈ {1, . . . , n}. Desse modo, se xv = 0,
ent˜ao d(x, v) = 1. Se vx6= 0, como xaj = 0 = ajv, temos que d(v, x) = 2
Em qualquer um dos casos, temos rad(Γ(R))≤ 2. ⊓⊔
Com estes ´ultimos resultados, podemos classificar os an´eis Noetherianos de acordo com o raio do grafo divisor de zero desses an´eis do seguinte modo:
(i) Rad(Γ(R)) = 0 se, e somente se, R ∼=Z4 ou R ∼= Z
2[x]
(x2
);
(ii) Rad(Γ(R)) = 1 se, e somente se, D(R) ´e um ideal de R ou R ∼= Z2 × A, com A um
dom´ınio de integridade;
(iii) Rad(Γ(R)) = 2 se, e somente se, D(R) n˜ao ´e um ideal e R n˜ao ´e isomorfo ao anel Z4,
nem ao anel Z2[x]
2.7 Raio, centro e n´umero de domina¸c˜ao 64
A partir de agora, trataremos apenas de an´eis Artinianos. Devemos observar que quando R ´e Artiniano, pelo Teorema 1.14, podemos escrever R de modo ´unico (a menos de isomor- fismo) como um produto direto finito de an´eis Artinianos locais, digamos R = R1× . . . × Rk.
Eventualmente, Ri pode ser um corpo, para algum i ∈ {1, 2, . . . , n}. No restante da se¸c˜ao,
escreveremos a decomposi¸c˜ao Artiniana de R como R = R1× . . . × Rn× F1× . . . × Fm, com
R1, . . . , Rn an´eis locais Artinianos que n˜ao s˜ao corpos e F1, . . . , Fm corpos.
O pr´oximo resultado relaciona o raio e o diˆametro de um grafo divisor de zero de um anel Artiniano. Antes de enunciarmos tal resultado, devemos observar que, a partir de agora, escreveremos algumas vezes x∈ G para indicar que x ´e um v´ertice do grafo G.
Teorema 2.58. [22] Seja R um anel Artiniano. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras: (i) rad(Γ(R)) = 0 se, e somente se, diam(Γ(R)) = 0 se, e somente se, R ∼= Z4 ou
R ∼= Z2[x]
(x2);
(ii) Se rad(Γ(R)) = 1, ent˜ao diam(Γ(R)) = 1 se, e somente se, Γ(R) ´e completo. Caso
contr´ario, diam(Γ(R) = 2;
(iii) Se rad(Γ(R)) = 2, ent˜ao diam(Γ(R)) = 2 se, e somente se, R ∼= F1× F2, com F1 e
F2 corpos ambos n˜ao isomorfos a Z2. Caso contr´ario, diam(Γ(R)) = 3.
Demonstra¸c˜ao:
(i) Segue da demonstra¸c˜ao do item (i) da Proposi¸c˜ao 2.56.
(ii) Se rad(Γ(R)) = 1, ent˜ao existe um v´ertice adjacente aos demais. Assim, diam(Γ(R))≤ 2 e Γ(R) n˜ao ´e um grafo nulo. Neste caso, diam(Γ(R)) = 1 se, e somente se, Γ(R) ´e completo.
(iii) Assumindo que rad(Γ(R)) = 2, temos que diam(Γ(R)) = 2 ou 3. Suponhamos R ∼= F1×F2, com F1 e F2 corpos ambos n˜ao isomorfos aZ2. Ent˜ao|F1| ≥ 3 e |F2| ≥ 3. Desse
modo, Γ(F1× F2) ´e bipartido completo e n˜ao ´e um grafo estrela. Ent˜ao diam(Γ(R)) = 2.
Reciprocamente, suponhamos R n˜ao isomorfo a F1×F2, com F1 e F2corpos n˜ao isomorfos
aZ2. Pelo Lema 1.44, devemos exibir x∈ Γ(R) tal que x /∈ Cen(Γ(R)) e, com isso, teremos
diam(Γ(R)) = 3.
Seja R = R1 × . . . × Rn × F1 × . . . × Fm a decomposi¸c˜ao Artiniana de R. Se n = 0 e
2.7 Raio, centro e n´umero de domina¸c˜ao 65
rad(Γ(R)) = 1, o que n˜ao ocorre. Logo, n˜ao temos o caso n = 0 e m = 2. Analisemos ent˜ao os casos poss´ıveis.
Caso 1: n = 0 e m≥ 3
Seja x = (0, 1, . . . , 1)∈ D(R)∗. Ent˜ao x /∈ Cen(Γ(R)). De fato, y = (1, 0, 1, . . . , 1) ∈ Γ(R)
´e tal que xy6= 0 e Ann(x) ∩ Ann(y) = (0, . . . , 0) e, assim, d(x, y) = 3. Caso 2: m = 0 e n≥ 2
Para cada i ∈ {1, . . . , n}, tomemos ti ∈ Mi∗, onde Mi ´e o ´unico ideal maximal de Ri.
Seja x = (1, t2, . . . , tn) ∈ Γ(R). Ent˜ao, y = (0, 1, . . . , 1) ∈ Γ(R) satisfaz xy 6= 0 e Ann(x) ∩
Ann(y) = (0, . . . , 0). Da´ı d(x, y) = 3. Caso 3: m≥ 1 e n ≥ 1
Seja x1 ∈ M1∗. Consideremos x = (x1, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)∈ Γ(R) com 1 na (n + 1)-´esima
coordenada. Tomando z = (1, . . . , 1, 0, 1, . . . , 1) com 0 na (n + 1)-´esima coordenada, teremos xz6= 0 e Ann(x) ∩ Ann(z) = (0, . . . , 0), donde d(x, y) = 3.
Em qualquer um dos trˆes casos, temos x /∈ Cen(Γ(R)) e o resultado est´a provado. ⊓⊔
Exemplo 2.59. Seja R =Z × Z. Pela Proposi¸c˜ao 2.37, Γ(R) ´e um grafo bipartido completo. Vemos que rad(Γ(R)) = 2, diam(Γ(R)) = 2 e que R n˜ao ´e isomorfo a um produto direto de dois corpos. Pelo item (iii) do Teorema 2.58, R n˜ao ´e Artiniano.
O pr´oximo resultado apresenta uma propriedade de um v´ertice central de Γ(R) no caso em que R ´e um anel Artiniano local.
Lema 2.60. Se R ´e um anel Artiniano local que n˜ao ´e um dom´ınio e x∈ Cen(Γ(R)), ent˜ao x2 = 0
Demonstra¸c˜ao: Como R ´e local, temos que rad(Γ(R)) = 1 (Proposi¸c˜ao 2.56). Suponhamos que exista x∈ Cen(Γ(R)) tal que x2 6= 0. Ent˜ao e(x) = 1, ou seja, x ´e adjacente a qualquer
outro v´ertice de Γ(R). Pelo Lema 1.8, sabemos que R n˜ao possui elementos idempotentes distintos de 0 e 1. Assim, x 6= x2. Ent˜ao x2 ´e um v´ertice de Γ(R) que ´e distinto do v´ertice
2.7 Raio, centro e n´umero de domina¸c˜ao 66
Notemos agora que n˜ao podemos ter x + x2 = 0, pois se isso ocorresse, ter´ıamos x2 = (−x2)2 = x4 = 0. Tamb´em n˜ao podemos ter x + x2 = x. Assim, x + x2 ´e um v´ertice de Γ(R)
distinto do v´ertice x. Temos assim 0 = x(x + x2) = x2+ x3 = x2, o que ´e uma contradi¸c˜ao. ⊓
⊔
Se R ´e um anel Artiniano e n˜ao ´e local, n˜ao podemos afirmar que x2 = 0, para todo x∈
Cen(Γ(R)). Por exemplo, consideremos o anel R =Z2×Z2×Z2. Vemos que V (Cen(Γ(R))) =
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Mas, R ´e reduzido e, da´ı, x2 6= 0, para todo x ∈ Cen(Γ(R)). O
grafo divisor de zero de Z2× Z2× Z2 pode ser visto na Figura 2.21. Os v´ertices centrais de
Γ(Z2× Z2× Z2) est˜ao destacados com uma cor mais clara.
Consideremos agora o anel S = Z4 × Z4. Ent˜ao V (Cen(Γ(S))) = {(2, 0), (0, 2), (2, 2)}.
Podemos ver que S ´e Artiniano e, para todo x∈ Cen(Γ(S)), x2 = 0. No entanto, S n˜ao ´e
local. De fato, se S fosse local, seu ideal maximal seria D(S), pela Proposi¸c˜ao 1.34. Por´em D(S) n˜ao ´e um ideal de S, pois (1, 0), (0, 1) ∈ D(S), mas (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) /∈ D(S). Assim, S n˜ao ´e local. O grafo divisor de zero de S est´a representado na Figura 2.22.
Figura 2.21: Γ(Z2× Z2× Z2) Figura 2.22: Γ(Z4× Z4) Figura 2.23: Γ(Z2× Z4)
Passamos agora ao estudo dos conjuntos dominantes de Γ(R). Inicialmente, destacamos algumas poss´ıveis rela¸c˜oes entre o conjunto dominante minimal de um grafo divisor de zero com os v´ertices centrais desse grafo.
Exemplo 2.61. Seja R =Z2× Z2× Z2. Ent˜ao V (Cen(Γ(R))) ={(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
´e um conjunto dominante minimal Γ(R). No entanto, Γ(R) ´e dominado tamb´em por S = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)} e vemos que V (Cen(Γ(R))) ∩ S = ∅. Ainda, Γ(Z2 × Z4) (Fi-
2.7 Raio, centro e n´umero de domina¸c˜ao 67
{(1, 0), (0, 2)} e B = {(1, 0), (1, 2)}.
O pr´oximo resultado mostra que, em um anel Artiniano R com rad(Γ(R)) = 2, o n´umero de domina¸c˜ao de Γ(R) ´e igual ao n´umero de fatores da decomposi¸c˜ao Artiniana de R. Teorema 2.62. [22] Seja R um anel Artiniano que n˜ao ´e um dom´ınio. Se rad(Γ(R))≤ 1,
ent˜ao γ(Γ(R)) = 1. Se rad(Γ(R)) = 2, ent˜ao γ(Γ(R)) ´e igual ao n´umero de fatores da decomposi¸c˜ao Artiniana de R.
Demonstra¸c˜ao: Se rad(Γ(R)) = 0, o resultado ´e verdadeiro por vacuidade. Se rad(Γ(R)) = 1, ent˜ao, para qualquer x∈ Cen(Γ(R)), o conjunto {x} domina Γ(R), donde γ(Γ(R)) = 1.
Suponhamos ent˜ao que rad(Γ(R)) = 2. Seja R = R1 × . . . × Rn × F1 × . . . × Fm a
decomposi¸c˜ao Artiniana de R. Para cada i ∈ {1, . . . n}, fixemos xi ∈ Cen(Γ(Ri)) e consi-
deremos yi = (0, . . . , 0, xi, 0, . . . , 0)∈ Γ(R), com xi na i-´esima coordenada de yi. Para cada
j ∈ {1, . . . m}, tomemos os elementos zj = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Γ(R), com 1 na (n + j)-
´esima coordenada de zj. Temos que o conjunto S = {y1, . . . , yn, z1, . . . , zm} domina Γ(R). De
fato, seja w = (a1. . . , an, b1. . . , bm) ∈ Γ(R). Se para todo j ∈ {1, . . . , m}, tivermos bj 6= 0,
ent˜ao teremos ak∈ D(Rk)∗, para algum k∈ {1, . . . , n}. Como Rk´e local e xk∈ Cen(Γ(Rk)),
temos que e(xk) = 1, donde xkak = 0. Logo, ykw = 0. Se para algum j ∈ {1, . . . , m}, tiver-
mos bj = 0, ent˜ao zjw = 0. Assim, qualquer v´ertice de Γ(R) pertence ao conjunto S ou ´e
adjacente a algum v´ertice de S, ou seja, S domina Γ(R).
Consideremos agora B um conjunto dominante de Γ(R). Observamos que |B| ≥ 2, pois Γ(R) n˜ao cont´em um v´ertice adjacente aos demais v´ertices. Para cada k ∈ {1, . . . , n + m}, seja tk = (1, . . . , 1, 0, 1, . . . , 1) ∈ Γ(R), com 0 na k-´esima coordenada. Se tk ∈ B, para todo
k ∈ {1, . . . , n + m}, ent˜ao |B| ≥ n + m. Vamos supor que exista k ∈ {1, . . . , n + m} tal que tk ∈ B. Denotemos por P = {t/ k : tk ∈ B} e N = {tk : tk ∈ B}. Ent˜ao P ∩ N = ∅/
e |P | + |N| = n + m. Para cada tk ∈ N, existe sk = (0, . . . , 0, ck, 0, . . . , 0) ∈ B, com ck na
k-´esima coordenada tal que ck ∈ Rk∗ se k ∈ {1, . . . , n}, ou ck ∈ Fk∗ se k ∈ {n + 1, . . . , n + m}.
Notemos que sk∈ P e se k 6= q, ent˜ao s/ k6= sq. Logo, para que B domine o conjunto Γ(R), ´e
preciso que B contenha no m´ınimo n + m elementos.
Como S domina Γ(R) e |S| = n + m, temos que γ(Γ(R)) = n + m, que ´e o n´umero de
2.7 Raio, centro e n´umero de domina¸c˜ao 68
Notemos agora que se rad(Γ(R)) = 1, pode n˜ao ser verdade que γ(Γ(R)) igual ao n´umero de fatores da decomposi¸c˜ao Artiniana de R. De fato, se F ´e um corpo finito, temos que R =Z2× F ´e um anel com dois ideais maximais. Sabemos, pela demonstra¸c˜ao do Teorema
de Estrutura dos An´eis Artinianos (Teorema 1.14) que o n´umero de fatores da decomposi¸c˜ao Artiniana de um anel R ´e igual ao n´umero de ideais maximais desse anel. Mas, neste caso, Γ(R) ´e um grafo estrela e, portanto, seu n´umero de domina¸c˜ao deve ser igual a 1.
No caso em que R ´e finito, o pr´oximo resultado nos d´a uma rela¸c˜ao entre o n´umero de domina¸c˜ao de Γ(R) e o n´umero de ideais maximais de R.
Corol´ario 2.63. [22] Seja R um anel finito e seja m o n´umero de domina¸c˜ao de Γ(R). Se
Γ(R) n˜ao ´e um grafo estrela, ent˜ao R tem m ideais maximais distintos. Se Γ(R) ´e um grafo
estrela, ent˜ao R tem dois ideais maximais distintos ou ent˜ao R ´e isomorfo a um dos seguintes an´eis: Z9, Z(x3[x]2 ), Z8, Z2[x] (x3 ) ou Z4[x] (2x,x2 −2).
Em outras palavras, se Γ(R) ´e um grafo estrela, temos que: (i) Se R ´e local, ent˜ao R tem m ideais maximais;
(ii) Se R ´e reduzido, ent˜ao R tem m + 1 ideais maximais.
Demonstra¸c˜ao: Se Γ(R) n˜ao ´e um grafo estrela e rad(Γ(R)) = 0 ou 1, ent˜ao R ´e local e, portanto, m = 1. Se Γ(R) n˜ao ´e um grafo estrela e rad(Γ(R)) = 2, ent˜ao m ´e igual ao n´umero de fatores da decomposi¸c˜ao Artiniana de R (pelo teorema anterior). Neste caso, R possui m ideais maximais distintos.
Se Γ(R) ´e um grafo estrela e|Γ(R)| ≥ 4, ent˜ao pelo Teorema 2.36, temos que R ∼=Z2×F ,
com F um corpo finito. Neste caso, conforme destacamos no par´agrafo anterior a este co- rol´ario, R possui dois ideais maximais e n´umero de domina¸c˜ao igual a 1. Os cinco an´eis listados no enunciado do teorema s˜ao os ´unicos an´eis locais tais que |Γ(R)| < 4 e tais que Γ(R)≃ K1,1 ou Γ(R)≃ K1,2, conforme destacamos nos Exemplos 2.3 e 2.4 e na Observa¸c˜ao