Graduação é o processo que transforma uma série irregular de dados observados em uma série regular e suavizada de valores. Esses valores são consistentes e exibem a mesma tendência verificada nos dados observados, passando a representar o padrão de comportamento que deu origem aos mesmos (MILLER et al, 1993:26).
Qualquer análise e inferência sobre o comportamento de eventos demográficos deve ser prece- dida de um processo de graduação de curvas observadas (CONGDON, 1993:237). A necessidade de graduar os dados está relacionada ao tamanho da amostra. Quanto maior o número de observações, mais regular tende a ser a série de dados. Por outro lado, mesmo um volume grande de informações pode demandar uma graduação, dependendo da quantidade de variáveis em estudo (excessivos níveis de detalhamento podem gerar células vazias ou pouco representativas).
O processo de graduação é marcado por duas características básicas: suavização e consistência com os dados observados. Usualmente, ganhos maiores em suavização implicam em perdas de consis- tência e vice-versa. O ideal é achar um meio termo que garanta dados suavizados e consistentes com os observados. Há cinco métodos para se chegar a esta situação ideal (HELIGMAN e POLLARD, 1970):
• Método gráfico - Oferece bons resultados quando os dados são tão escassos que inviabilizam o uso de qualquer outro método. Os dados observados são representados graficamente e uma curva gradu- ada é desenhada respeitando a tendência dos mesmos.
• Interpolação - Neste método os dados são agregados e os valores graduados são obtidos por interpo- lação osculatória ou funções spline. O problema deste método é que há infinitas curvas spline possí- veis para um conjunto de dados, e o sucesso da graduação depende da habilidade e sensibilidade do usuário em fazer a escolha certa.
• Médias-móveis - Consideram a média de n valores consecutivos. Têm como objetivo mostrar a tendência geral dos dados, eliminando irregularidades e flutuações. A desvantagem deste método é não fornecer valores para o início e o final da distribuição, demandando ajustes por funções matemá- ticas ou extrapolação de valores.
• Referência a um padrão - Quando há suspeita de que os dados observados sejam similares a um determinado padrão, é possível usar este padrão para graduar as informações. O único problema é que nem sempre é possível obter um padrão que esteja em conformidade com os dados.
• Fórmulas matemáticas - Várias funções podem ser usadas no sentido de suavizar curvas de taxas ou probabilidades de morte observadas: Makeham, Gompertz, Heligman-Pollard, etc. A questão, por- tanto, é encontrar a função ideal que descreva os dados a serem graduados.
Considerando que o processo de graduação não apresenta uma única solução, sua aceitabilidade é baseada em testes que meçam a suavização e a consistência. Os testes de suavização são normalmente aplicados às taxas graduadas, sendo dispensáveis nos casos de graduação por curvas matemáticas, as quais já supõem que os dados ajustados serão suavizados. Os testes de consistência, por outro lado, são normalmente aplicados às informações de número de mortes.
5.2.1. Fórmulas matemáticas
A questão principal ao se utilizar fórmulas matemáticas como método de graduação de dados é achar uma curva que retrate, o mais próximo possível, o padrão dos dados a serem ajustados.
Várias funções matemáticas são utilizadas para ajustar a mortalidade de uma população. Dentre as principais estão a curva de Gompertz, Makeham, Makeham modificada, Perks, Thiele, Steffenson e Heligman-Pollard. Cada uma destas curvas tem características próprias e devem ser aplicadas a taxas, probabilidades ou funções específicas da tábua de vidaT
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.
Dentre as vantagens da graduação por fórmulas matemáticas estão:
• Os resultados apresentam uma suavização ideal;
• A mesma função, aplicada em diferentes momentos de tempo, permite analisar as mudanças na mortalidade, através do estudo das variações nos valores dos parâmetros;
• Normalmente os desvios totais e acumulados são próximos de zero; e,
• Há ampla disponibilidade de programas computacionais que facilitam e otimizam o processo de ajuste.
Como desvantagens, por outro lado, podemos citar dois aspectos:
• Nem sempre é possível encontrar uma curva que se ajuste aos dados; e,
• Quando analisamos dados muito heterogêneos, por vezes é difícil obter uma única curva que se ajuste a toda a distribuição.
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A seguir detalharemos duas funções em especial - Makeham e Heligman-Pollard - uma vez que estas foram as que mais se aproximaram da estrutura dos dados considerados nesta dissertação e, consequentemente, as que forneceram os melhores resultados dentre todos os ajustes tentados.
5.2.1.1. A função Makeham
A busca por uma “lei de mortalidade”, capaz de descrever o padrão etário da mortalidade observada em diferentes populações, teve início com o trabalho de Benjamin Gompertz (CARNES, OLSHANSKY, GRAHN, 1996). Sua suposição era que a intensidade da mortalidade seria uma função exponencial da idade e, portanto, a lei de mortalidade seria dada por uma simples equação: µx=Bcx (BENJAMIN e POLLARD, 1970:299).
Makeham introduziu uma constante à fórmula de Gompertz, buscando separar as doenças em duas categorias: as decorrentes de uma gradual diminuição do potencial vital do indivíduo e as geradas por outras causas (MAKEHAM, 1977:284). Desta forma, a força de mortalidade seria representada por
µx x
A Bc
= + (5.2.1.1.1)
Esta função tem sido amplamente utilizada para ajuste da mortalidade, porém os melhores resultados são obtidos nas idades adultas.
5.2.1.2. A função de Heligman-Pollard
A função de Heligman-Pollard é contínua e aplicável às probabilidades de morte nqx , de tal forma que os valores ajustados estejam entre 0 e 1. É um modelo flexível, capaz de descrever diferentes padrões de mortalidade, possuindo poucos parâmetros, todos com significado e interpretação demográ- fica (HELIGMAN e POLLARD, 1993:104). A curva é descrita por
( ) ( )
qx px A De GH
x BC E x F x
= + + − ln −ln 2 +
, (5.2.1.2.2) onde qx é a probabilidade de morte, px o seu complemento e A, B, ... , H os parâmetros a serem estima-
dos. A curva é composta de três termos que expressam os componentes da mortalidade, conforme pode ser observado na Figura 5.1.
O primeiro componente, descrito por um rápido declínio exponencial, reflete a queda da mortalidade nas idades iniciais da infância. É composto pelos parâmetros A, B e C. O parâmetro A mede o nível da mortalidade e é aproximadamente igual ao valor de q1. O parâmetro C mede o declínio da taxa de mortalidade na infância (quanto maior o valor de C, mais rápido é o declínio). O parâmetro B mede a alocação da mortalidade infantil, tendo efeito apenas na idade de zero anos.
O segundo componente, similar a uma curva log-normal, reflete o “morro de acidentes”, tipicamente encontrado em curvas de probabilidade de morte, e é composto por três parâmetros: F, que indica a localização dos acidentes na distribuição etária, e E, que representa amplitude da curva e D sua intensidade.
O terceiro e último componente reflete o crescimento aproximadamente exponencial da morta- lidade nas idades adultas, representando o envelhecimento. É composto por dois parâmetros: G, que indica o nível da mortalidade senil e H, que expressa a taxa de crescimento dessa mortalidade.
0 20 40 60 80 100 120 Idade x 1,0 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 log(qx) Primeira component e Ë Segunda component e Å Terceira component e É Soma das 3 component es È
Figura 5.1- Componentes da curva de qx graduada pela função de Heligman-Pollard
Dados básicos da Austrália, 1970-72, homens (HELIGMAN e POLLARD, 1993:99)
Dados esses três componentes, a grande vantagem desta função é a de poder ser aplicada em toda a extensão da curva de mortalidade, enquanto outras só se ajustam às idades adultas.