‣ A primeira nota que queremos registar é que, de facto, uma abordagem histórica inicial do material usado na experiência – o Ábaco – estimula a curiosidade dos alunos e o valor que dão à própria actividade. Este foi, aliás, um ponto que já tínhamos referido na Revisão de Literatura efectuada, em que confirmamos o que nos é sugerido pelo National Council of Teachers of Mathematics (1991): “Através da história da matemática, problemas práticos e investigações teóricas estimularam-se mutuamente, de tal modo que é impossível desligá-las.” (p.6)
Estas referências históricas também ajudam na melhoria da imagem social da Matemática e, consequentemente, na consecução de um dos objectivos actuais definidos para os alunos, que é o de darem mais valor à disciplina.
Este efeito positivo da abordagem histórica do material que os alunos iam utilizar foi por nós, então, confirmado – a generalidade dos alunos interessou- se por conhecer as raízes históricas do Ábaco.
‣ Na primeira aula, os alunos interiorizaram muito rapidamente o “funcionamento” do “Ábaco dos Inteiros”. Inicialmente, mexiam “a medo” nas peças deste material, mas, depois, de uma forma cada vez mais ágil e natural, manipulavam, visualizavam e representavam, no ábaco, todas os números e operações que lhes eram solicitados.
De facto, as recomendações das Teorias de Desenvolvimento e de psicólogos como Piaget, Bruner, Dienes e Vygotsky, no sentido da adequação das práticas de ensino ao pensamento dos alunos, fizeram, neste estudo, todo o sentido. Não adianta insistir num ensino que não tenha em conta a forma de pensamento dos destinatários, neste caso, dos alunos. Assim, nesta altura – 7.º ano de escolaridade –, de acordo com Piaget (1983) verifica-se que a maioria dos alunos encontra-se na transição do estádio das operações concretas para as formais e as aprendizagens só serão significativas se partirem de situações
permitiu-lhes manipular e visualizar todas as situações operatórias, dando-lhes a oportunidade de uma primeira representação enactiva dos conceitos envolvidos. Este modo de representação inicial, que Bruner (1971) defendia ser o primeiro na formação dos conceitos, foi, depois o “trampolim” para os outros modos de representação, o icónico e o simbólico, aos quais as crianças “chegaram” sem problemas e com uma rapidez que surpreendeu a própria professora.
A questão da rapidez com que os alunos trabalharam no Ábaco, a questão do tempo, foi, recorrentemente, invocada pela professora, pois esta tinha a ideia que o uso de materiais manipuláveis atrasava a realização das actividades, prejudicando o cumprimento dos programas curriculares. Contudo, o que se verificou foi exactamente o contrário. Segundo as palavras da própria professora, no final da primeira aula, “dar a Adição, a Adição sucessiva e ainda as Propriedades da Adição, coisa que eu até achava que iria ser mais demorada com a utilização do Ábaco, revelou-se mais rápida(...)”.
‣ Em ambas as aulas, a dinâmica foi excelente: os alunos envolveram-se activamente nas tarefas e o nível de participação foi total. Estes demonstraram uma grande motivação e confiança nas suas acções e, consequentemente, era visível a sua vontade de participar e responder. Mesmo os alunos que, habitualmente, revelavam mais dificuldades, estavam envolvidos acompanhando todas as operações que se efectuavam no Ábaco.
Este aspecto também foi realçado pela professora, que nos falou da “auto-estima e confiança” com que os alunos saíram destas aulas, em contraste com o que acontecia em anos anteriores.
‣ Tanto numa aula como noutra, verificamos uma tendência para que os alunos, gradualmente, prescindissem de efectuar todas as operações no Ábaco. As primeiras operações eram totalmente acompanhadas no material, mas, a partir daí, os alunos começavam a representar mentalmente a imagem dessas acções, o que lhes permitia prever os resultados das operações e traduzi-los simbolicamente. Esta progressão na compreensão das operações coincidiu com o que Bruner (1971) propunha para a evolução da formação de conceitos: o processo começa com o modo de representação enactivo (usualmente, em
acções que envolvem a manipulação de materiais concretos) e, depois, a partir deste momento, o aluno move-se entre outros modos de representação - o icónico (através da representação das imagens das acções que começa a prescindir de concretizar) e o simbólico (pela tradução simbólica dos conceitos).
Estes três modos de representação foram evidenciados pela generalidade dos alunos, ainda que com algumas variações. Os alunos que a professora considerava serem os que tinham “mais dificuldades”, demonstravam uma maior predominância do modo de representação enactivo. Estes alunos eram dependentes da acção, no “Ábaco dos Inteiros”, durante mais tempo do que os outros, que cedo começavam a prescindir da manipulação no material. Estes últimos, ainda que começassem por um modo de representação enactivo, tal como os primeiros, rapidamente evoluíam para os modos de representação icónico e simbólico. Isto deve-se, segundo Alexandra, ao facto de estes alunos “terem outra capacidade de memorização, raciocínio e abstracção”.
Com base nesta evolução e progressão dos modos de representação internos dos conceitos numéricos e operatórios, concluímos que o contacto com o material, de uma forma mais alargada no tempo, poderia ser vantajoso, principalmente, para os alunos com “mais dificuldades” ou que revelem ainda um pensamento muito concreto e que dificilmente realizam abstracções. Para os outros alunos, este prolongamento do acompanhamento do material não fará tanta falta.
Aspectos particulares da 2.ª aula
‣ A professora desempenhou um papel mediador fundamental entre a actividade que se pretendeu implementar, o rigor dos conceitos matemáticos envolvidos que se pretendeu veicular e a aprendizagem dos mesmos. A comunicação constante que Alexandra estabeleceu com os seus alunos revelou- se importante em toda a experiência, pois estimulou um ambiente interactivo em que os alunos, mais facilmente, acompanharam as tarefas e reorganizaram os conceitos. Tal como Vygotsky (1979) nos propunha, a linguagem revelou-se um dos instrumentos psicológicos mais importantes na construção de
conhecimentos, neste caso, na reorganização do conceito de multiplicação, pela sua extensão aos números negativos.
Quando discutimos a perspectiva vygotskiana, na Revisão de literatura efectuada, tínhamos concluído que uma importante implicação desta era o facto de a reorganização das experiências dever considerar o nível de colaboração e ajuda que o aluno necessita para, mais tarde, produzir determinadas actividades de forma independente e autónoma. Ora, isto só seria efectivo se o professor assumisse este papel mediador como foi o caso da Alexandra Martinho. Tal verificou-se na explicação do “funcionamento” do “Ábaco dos Inteiros”, na discussão que promoveu em torno do conceito de multiplicação, no esclarecimento de conceitos como o de multiplicador, e ainda no acompanhamento atento que demonstrou ter perante os seus alunos.
‣ Quanto à questão da compreensão do conceito de multiplicação, alargado agora ao domínio dos números inteiros relativos, o que podemos dizer é que esta abordagem permitiu aos alunos, no imediato, atribuir um sentido intuitivo à operação, coerente com o que já conheciam da mesma.
O facto de os alunos efectuarem, no Ábaco, todo o tipo de multiplicações com números inteiros, permitiu-lhes visualizar cada resultado e generalizar, intuitivamente, a Regra dos Sinais para a Multiplicação, a qual, de outra forma, seria decorada pela maioria dos alunos desprovida de qualquer sentido [pelo menos, nos casos dos multiplicadores negativos, (-)x(+) e (-)x(-)]. Aliás, isto mesmo nos confirmou Alexandra quando afirmou que, em anos anteriores, gostaria de ter “arranjado” exemplos para explicar o porquê de “menos vezes menos dar mais”, mas nunca conseguiu, acrescentando que apenas explicava a dedução da Regra dos Sinais uma vez “porque quase ninguém acompanhava”, havendo sempre “no máximo, três alunos por turma” que o faziam. De acordo com Alexandra, a Regra dos Sinais era recebida como uma “tábua de salvação”, que substituía uma dedução que os alunos não acompanhavam nem compreendiam.
Por tudo o que já referimos, não temos dúvidas em afirmar que esta abordagem tem a grande vantagem de contribuir para uma compreensão intuitiva do conceito de multiplicação também nos casos em que o multiplicador é negativo. Isto permite ao aluno integrar este conhecimento na estrutura
interna que já possui associada ao conceito de multiplicação, evitando rupturas ou bloqueios que o possam prejudicar futuramente.
Hiebert e Carpenter (1992) defendiam um olhar mais atento para a compreensão da informação que o aluno estrutura e representa, sublinhando a importância do número e força das conexões internas estabelecidas por ele, neste processo. Também Piaget (1983) nos chamou a atenção para um conhecimento prévio das estruturas existentes no alunos, de forma a que pudesse ocorrer uma progressão real das mesmas através de processos de assimilação e acomodação.
No que respeita à compreensão, Alexandra comentou o seguinte: “Aí, eu acho que é 100% vantajoso em relação aos outros métodos. Quer dizer, o efeito é praticamente imediato.”
Realmente, da observação da segunda aula, este efeito imediato foi bem evidente. Por isso, no final da mesma, para confirmar ou não esta constatação, foi solicitada aos alunos uma resposta por escrito à questão “Por que é que menos vezes menos dá mais?”.
Em 26 respostas analisadas, 21 alunos responderam baseando-se em exemplos com o “Ábaco dos Inteiros”. Para estes alunos, parecia claro que “menos vezes menos dá mais” porque, retirando sucessivamente um quantidade negativa, resulta um excesso de uma quantidade positiva”.
Além destes indicadores, também temos a referência da professora aos resultados que decorreram das avaliações posteriores à experiência que, segundo Alexandra, “foram especialmente melhores do que no ano anterior”, em que também teve 7.º ano.
‣ Como já referimos, as nossas conclusões debruçam-se, sobretudo, sobre os efeitos imediatos da implementação da proposta. Em relação aos erros e dificuldades associados à multiplicação de números inteiros relativos, entre os quais, está, por exemplo, a confusão de sinais entre a Adição e a Multiplicação, não pudemos formular conclusões rigorosas, já que não estudámos, especificamente, esses aspectos no tempo que se seguiu à implementação da proposta. No entanto, um ano depois da realização da experiência, pedimos que Alexandra nos desse a sua opinião sobre este aspecto dos erros, ao que esta
que há ainda uma percentagem que os faz. Todavia, a professora é da opinião que “mais rapidamente eles corrigem esses erros”, salvaguardando, no entanto, o seguinte: “Mas é assim, não posso fundamentar muito bem isso, é só mesmo intuição, talvez, talvez...”.
Por tudo o que foi referido, cabe-nos, então, responder claramente à questão de investigação dizendo que a proposta de ensino implementada para a Multiplicação de números inteiros relativos, no 7.º ano de escolaridade, é, sem margem para dúvidas, efectiva. Isto porque:
- não só facilita a aprendizagem dos alunos sobre esta matéria, por ser baseada na utilização de materiais manipuláveis, que permitem ao aluno uma abordagem intuitiva com suporte de uma experiência física e concreta;
- mas também porque facilita o ensino da mesma, proporcionando uma dinâmica de aula em que o professor se consegue fazer entender e acompanhar pela totalidade dos alunos, em contraste com o que acontece nas abordagens tradicionais.