A teoria de percolação clássica, embora motivada pelo estudo de problemas envolvendo o transporte em meios desordenados, não descreve um processo de transporte. Em 1983, David Wilkinsone Jorge F. Willemsen, ao estudar o problema de dois fluidos imiscíveis em um meio poroso, propuseram um modelo dinâmico de percolação, chamado de percolação invasiva, que considera de forma explícita o transporte no meio [36].
Muitos meios porosos podem ser convenientemente representados como uma rede de poros conectados por gargantas estreitas. Podemos idealizar um meio poroso como uma rede regular na qual os sítios e ligações representam poros e gargantas, respectivamente. A aleatoriedade do meio pode ser incorporada atribuindo-se números aleatórios representando as dimensões dos poros e gargantas. Consideremos o processo de um fluido não molhante, o óleo por exemplo, sendo deslocado de forma quasi-estática, por um fluido molhante, a água por exemplo. Nesse regime, as forças de capilaridade são dominantes com relação às forças de viscosidade, fazendo com que a evolução da interface água-óleo seja determinada localmente pela distribuição de tamanho dos poros. Para manter a água deslocando o óleo a uma taxa infinitesimal constante, deve-se aplicar um gradiente negativo de pressão no sistema. Considerando que as gargantas são mais estreitas que os poros, e sabendo-se que as forças de capilaridade são mais fortes em locais mais estreitos, a interface água-óleo move-se rapidamente através das gargantas invadindo os menores poros disponíveis, mas podendo ficar presa nos poros grandes. Com o avanço da água é possível que o óleo fique completamente aprisionado (cercado por água) em algumas regiões, formando agregados finitos de óleo completamente desconectados dos demais agregados do fluido defensor. Essa é uma descrição simplificada da origem do fenômeno de "óleo residual", que é um grande problema na indústria do óleo [2]. Esse processo de invasão pode ser descrito
2.5 Introdução à percolação 49
por uma série de passos de tempo na qual em cada passo a água desloca o óleo do menor poro disponível.
2.5.6
Modelo
A percolação invasiva não precisa necessariamente ser aplicada a fluidos. Por essa razão, é mais adequado usar a nomenclatura invasor e defensor ao invés de molhante e não molhante. Consideremos um meio poroso representado por uma rede quadrada de dimensão LxL. Para cada sítio dessa rede, atribuímos um valor aleatório uniformemente distribuído no intervalo [0,1], representando o diâmetro dide cada poro. Inicialmente, deve-se supor o fluido defensor
formando um agregado gigante e o fluido invasor concentrado em uma única região. Aqui, ire- mos considerar como configuração inicial o fluido invasor ocupando a primeira linha da base da rede e o fluido defensor ocupando todo o espaço restante. Partindo dessa configuração, em cada passo de tempo, o fluido invasor sempre se espalha deslocando o fluido defensor do sítio da interface com menor diâmetro di. Quando queremos simular fluidos incompressíveis (ex:
óleo) sendo deslocados, adicionamos a regra de aprisionamento que faz com que as regiões completamente rodeadas pelo fluido invasor (água) tornem-se inativas e não possam ser invadi- das. Quando utilizamos a regra de aprisionamento, chamamos o modelo de percolação invasiva com aprisionamento, caso contrário, o modelo é denominado de percolação invasiva sem apri- sionamento. Essa dinâmica continua até que o fluido invasor encontre os limites do sistema. Na linguagem de percolação, isso ocorre quando é formado um agregado percolante do fluido invasor, caracterizando o fenômeno de percolação. Quando isso ocorre, a massa do agregado de fluido invasor M(L) escala como lei de potência do comprimento L, de forma análoga ao que ocorre na percolação ordinária,
M(L) ∼ LD, (2.44)
com D ≈ 1.89 quando não utilizamos a regra de aprisionamento [36]. Os agregados percolantes na percolação ordinária e na percolação invasiva sem aprisionamento apresentam a mesma di- mensão fractal. Portanto, pertencem à mesma classe de universalidade. Já quando adotamos a regra de aprisionamento, a dimensão fractal do agregado percolante passa a ser D ≈ 1.82 [36]. Esse resultado é consistente com os resultados experimentais obtidos por Lenormand e Zar- cone[37] ao investigar a invasão do ar a uma taxa muito pequena em uma rede bidimensional formada por dutos de larguras aleatórias numa grade quadrada preenchida por glicerina.
Algumas variações do modelo de percolação invasiva foram estudadas por Sahimi e colabo- radores. Eles implementaram modelos de percolação invasiva variando a quantidade de fluidos
2.5 Introdução à percolação 50
invasores e defensores, assim como estudaram a invasão por sítio e ligação simultaneamente [38, 39, 40, 41].
51
3
Conceitos e propriedades de redes
3.1
Introdução
Podemos definir uma rede como um conjunto de estruturas individuais que interagem de alguma forma. O conceito de rede é abrangente e pode ser aplicado em diversos ramos da Ciência como Física, Química, Biologia, Ecologia e Sociologia [42, 43, 44]. A natureza das suas estruturas constituintes e o tipo de ligação entre elas classificam as redes em diferentes tipos. Alguns dos tipos de redes mais conhecidos são apresentados logo a seguir.
Redes de computadores e a internet
Uma rede de computadores é um conjunto de computadores conectados entre si usualmente por algum dispositivo físico como cabo ou fibra óptica. As redes de computadores podem ter diversos tamanhos, variando de pequenas redes locais (LAN) contendo apenas poucos computa- dores, até grandes redes (WAN) formadas por milhares de computadores. Muitos computadores, além de serem conectados a alguma rede física de computadores, também são conectados à in- ternet, que é uma rede de redes de computadores que interagem através da troca de dados feita pelos roteadores [45, 46].
Redes tecnológicas
As redes tecnológicas são redes construídas pelo homem e tem como finalidade distribuir algum serviço ou bem de consumo. As redes elétricas, de telecomunicações, de estradas e de linhas aéreas [47] são alguns dos exemplos mais conhecidos de redes tecnológicas [42].
Redes sociais
Uma rede social é um conjunto de pessoas que interagem entre si das mais variadas formas possíveis. Redes de amizade, de relações de trabalho e de relações sexuais são alguns dos exem-
3.1 Introdução 52
plos de redes sociais [42, 48] . As redes de coautoria de trabalhos, de atores que trabalharam juntos em um ou mais filmes e as redes de citações são algumas das redes sociais que foram intensamente estudadas [42, 43, 49, 50].
Redes econômicas
As redes econômicas podem ser interpretadas como um tipo especial de rede social. No entanto, essa rede não é formada por pessoas, e sim por companhias, países ou indústrias. Nesse tipo de rede, as ligações representam relações comerciais ou financeiras entre os elementos da rede [51, 52].
Redes biológicas
Juntamente com as redes sociais, as redes biológicas pertencem às classes de redes mais mais importantes. As redes biológicas podem ser utilizadas para descrever diversos tipos de sistemas biológicos: redes de interações entre proteínas e entre genes são alguns dos exemplos de redes biológicas. A rede ecológica predador-presa é um outro exemplo de aplicação das redes biológicas. Recentemente, diversos estudos envolvendo as redes neurais e as redes de vasos sanguíneos foram publicados [53, 54].