Com alunos de graduação, estão apresentados apenas os resultados da tese de Meletiou (2000), e seus trabalhos posteriores, provenientes dela (Meletiou e Lee, 2002 e Meletiou-Mavrotheris e Lee, 2002).
A tese da Meletiou (2000) tinha como objetivo estabelecer uma ligação entre o entendimento intuitivo e o entendimento formal de variação a partir de uma estrutura de ensino que ela estava testando, em que a variação era a essência da disciplina. A disciplina teve duração de cinco semanas, com quatro encontros semanais de duas horas cada um. Todo o experimento foi conduzido por um estatístico e a autora foi observadora não participante.
Ela trabalhou com trinta e três alunos (dezenove homens e quatorze mulheres) de graduação (EUA), com pouco conhecimento matemático. Embora tenha trabalhado com trinta e três alunos, a parte qualitativa foi desenvolvida com apenas oito alunos, que representavam as características da classe toda.
No primeiro dia foi aplicado um questionário para investigar o entendimento intuitivo dos alunos e direcionar a etapa de ensino. Logo após o questionário, a autora fez entrevistas individuais para entender as respostas do questionário. Os exercícios utilizados por Meletiou (2000) no pré-teste (primeiro dia) e os resultados obtidos estão sintetizados a seguir.
Figura 27 - Questão 1 do pré-teste aplicado por Meletiou (2000).
Muitos alunos relacionaram variabilidade com variedade, com múltiplos valores, como medidas de coisas diferentes, variação de um mínimo para um máximo ou alguma coisa que não era constante.
Figura 28 - Questão 2 do pré-teste aplicado por Meletiou (2000).
Segundo a autora, os alunos reconheciam que a variabilidade baixa poderia ser boa ou ruim, dependendo do contexto. Por exemplo, eles imaginaram que seria ruim para o desempenho do carro se a variabilidade do diâmetro dos pneus fosse grande.
Figura 29 - Questão 3 do pré-teste aplicado por Meletiou (2000).
Nesta questão, 50% dos alunos escolheram o estudante A e justificaram dizendo que apesar de ambos terem a mesma média, o estudante A é mais consistente. 33% escolheram o estudante B, pois como ele tirou algumas notas
1) Baseado em sua experiência, o que significa variabilidade para você? Dê uma explicação verbal ou um exemplo.
2) Em cada caso abaixo, é melhor que a variabilidade seja alta ou baixa? a) idade das árvores numa floresta nacional;
b) Diâmetro de novos pneus saídos de uma linha de produção; c) Chuva diária;
d) Peso de um pacote de cereal.
3) Dois alunos que estavam cursando uma disciplina de Estatística tiveram as seguintes notas (numa escala até 100)
Estudante A – 60, 90, 80, 60, 80 Estudante B - 40, 100, 100, 40, 90
Se você tivesse que fazer um teste estatístico, quem você escolheria para trabalhar em dupla?
máximas, eles acreditavam no seu potencial e 15% dos alunos disseram que tanto faz, pois ambos tinham a mesma média.
Figura 30 - Questão 7 do pré-teste aplicado por Meletiou (2000).
Nesta questão, 22 alunos consideraram que a Distribuição B tinha mais variação e os alunos que escolheram a Distribuição A explicaram que era devido à irregularidade das colunas.
A questão 10 do pré-teste também observava a variação por meio de histogramas. O objetivo dessa questão era verificar como os alunos iriam relacionar as características de uma distribuição com seu formato.
Figura 31 - Questão 10 do pré-teste aplicado por Meletiou (2000).
A autora apresentou cinco histogramas e somente três alunos escolheram todos os gráficos corretamente. Muitos alunos pensaram que cada barra do histograma representava uma observação, o que não permitiu avaliarem a densidade de freqüência. Nesse sentido, Loosen, Lioen e Lacante (1985) fizeram
7) Qual das seguintes distribuições tem mais variabilidade?
A B 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 notas frequencia 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 notas frequencia
10) Considere a seguinte lista de variáveis:
a) idade de morte de uma amostra de 34 pessoas; b) o último dígito na securidade social de 40 pessoas; c) notas num teste de estatística razoavelmente fácil; d) peso de um grupo de adutos;
e) número de medalhas dos países vencedores da Olimpíada de Inverno de 1992.
Use o seu conhecimento da variável (pergunte a você mesmo se a distribuição é aproximadamente simétrica ou não) para relacionar cada histograma com cada variável.
um estudo apresentando um gráfico em que cada barra era uma observação da variável e concluíram que não é a melhor estratégia para iniciar o ensino de variabilidade.
Há que se destacar que o histograma é um tipo de gráfico que gera muita dificuldade. No estudo de Meletiou (2000), um dos alunos que relacionou corretamente cada variável com seu gráfico, interpretou o histograma como o gráfico de barras. Meletiou e Lee (2002) argumentam que o histograma é gráfico que representa muita dificuldade para os alunos e que isto prejudica o desenvolvimento da intuição de variação.
Relacionada à representatividade amostral, Meletiou (2000) fez a pergunta que está apresentada na Figura 32.
Todos alunos consideraram que as Pesquisas 1 e 3 apresentavam vieses e poucos alunos disseram que não era aleatória. Sobre a Pesquisa 4, a maioria dos alunos disse que não representava a escola toda e quatro alunos consideraram que era aleatória, pois todos os alunos da escola tinham a mesma oportunidade. Já na Pesquisa 5, os alunos detectaram mais problemas do que na Pesquisa 4, pois só iriam entrevistar quem estava interessado em ganhar um vídeo game.
A maioria dos alunos preferiu a Pesquisa 2, que usava uma amostra aleatória e a pesquisa 6 que trabalhava com amostra aleatória estratificada. Alguns alunos justificaram esta última escolha, pois além de ser aleatória tem boa representatividade da população, e dois alunos usaram a palavra variabilidade com conotação de amostra representativa “boa variabilidade dos alunos – ambos os sexos e todas as séries”
Figura 32 - Questão 6 do pré-teste aplicado por Meletiou (2000).
Meletiou (2000) explica que observou, no inicio da disciplina, um entendimento informal de questões relacionadas à variação amostral. Na questão 8, apresentada na Figura 33, somente 20% dos alunos pensaram em vermelho ou preto como igualmente prováveis. 67% dos alunos esperavam que saísse preto para balancear a distribuição.
6) Estudantes de ensino fundamental estavam querendo angariar dinheiro para uma viagem e resolveram rifar um vídeo game. Seis alunos fizeram uma pesquisa para verificar o número de alunos que comprariam a rifa. Cada um entrevistou 60 alunos usando metodologias diferentes, conforme descrito abaixo.
Pesquisa 1: Tom perguntou para 60 amigos (75% sim e 25% não)
Pesquisa 2: Shannon pegou o nome dos 600 alunos da escola, colocou-os num chapéu e pegou 60 deles (35% sim e 65% não)
Pesquisa 3: John perguntou a 60 alunos num encontro no Games Club, onde tinham encontros semanais para jogar diferentes games computadorizados. (90% sim e 10% não).
Pesquisa 4: Ann aplicou um questionário para todos os alunos da escola e usou os primeiros 60 que responderam (50% sim, 50% não)
Pesquisa 5: Claire colocou uma cabine de pesquisa na lanchonete com a seguinte mensagem: Ganhe um vídeo game. Quem quisesse respondia o questionário. Assim que ela obteve 60 respostas, ela parou. (100% sim)
Pesquisa 6: Kyle queria o mesmo número de meninos e meninas e alguns alunos de cada série. Então, ele perguntou para 5 meninos e 5 meninas de cada série, num total de 60 entrevistados (30% sim, 70% não).
Questões:
a) Para cada uma das entrevistas realizadas, responda: o que você acha sobre a maneira que foi conduzida? Você acha que foi feita de maneira adequada? Seus resultados proporcionam uma boa idéia de quantos alunos na escola comprariam um número da rifa do vídeo game? Explique o porquê.
b) Se você tivesse que escolher uma das seis maneiras de fazer a pesquisa, qual você escolheria? Explique sua resposta.
c) Qual você acha que é a melhor estimativa para a porcentagem de alunos que comprará a rifa?
Figura 33 - Questão 8 do pré-teste aplicado por Meletiou (2000).
Como já discutido em muitos trabalhos sobre média aritmética, os alunos esperam que os próximos valores compensem os valores já observados e desprezam o conhecimento estatístico já adquirido em favor de uma noção do senso comum (equilíbrio)26.
A questão 4, apresentada na Figura 34, tinha como objetivo verificar como os alunos lidavam com as idéias de variabilidade e representatividade amostral.
Figura 34 - Questão 4 do pré-teste aplicado por Meletiou (2000)
26Considere que sair vermelho ( R ) é 1 e sair preto ( B ) é zero. A proporção de vermelho em n
jogadas é obtida pela soma de todos os vermelhos que saíram em n jogadas, dividida pelo número de jogadas, cujo cálculo é o mesmo da média aritmética.
4) Suponha que você levou seu sobrinho ao desfile de Páscoa. O coelhinho da Páscoa distribuiu pacotes de confetes coloridos para todos os alunos. Cada pacote tinha seis confetes. Para fazer os pacotes, o coelhinho da Páscoa pegou dois milhões de confetes verdes e um milhão de vermelhos, colocou tudo num grande pote e misturou tudo e fez muitos pacotes de seis confetes, sempre pegando um punhado de confetes e colocando nos pacotes até que todos os pacotes tivessem sido preenchidos.
a) quando você chegou em casa, você abriu o seu pacote. Quantos confetes verdes você acha que pode ter em seu pacote? Você pode explicar como pensou?
b) Você acha que todos os alunos pegaram n verdes, onde n é o número de confetes verdes que você pegou? Você pode explicar por quê?
c) Se você pudesse olhar os pacotes de 100 alunos, quantos alunos você acha que pegou n confetes verdes?
d) Lembre-se que o desfile de Páscoa começou com dois milhões de confetes verdes e um milhão de vermelhos. Ele usou até o fim uma cor antes de outra quando estava preenchendo os pacotes ou ambas as cores ficaram até próximo do fim? Por quê?
8) Uma roleta tem 18 números pretos (B) e 18 vermelhos (R). A probabilidade de uma bola cair num número vermelho é a mesma que cair num número preto. Um jogador observa a bola cair seis vezes no número vermelho, na seqüência RRRRRR. Em que cor você acha que a bola cairá na próxima rodada? Por quê?
Todos os alunos responderam quatro verdes e duas vermelhas como estimativa e todos imaginaram que nem todos alunos tinham obtido quatro verdes porque havia variabilidade (“eles entenderam que seleção aleatória lida com variação” – MELETIOU, 2000, p. 140).
A autora comenta que os alunos entenderam intuitivamente que probabilidade é o limite da freqüência relativa, que se sustenta de maneira aproximada para os dados reais. Este é o enfoque freqüentista do conceito de probabilidade. No entanto, Coutinho (2001) explica que, intuitivamente, os alunos fazem o amálgama entre freqüência e probabilidade. Tal amálgama pode ser um obstáculo reforçado pelas opções didáticas do professor, caso não se mostre efetivamente que, na realidade, esses dois conceitos são distintos, referindo-se inclusive a campos distintos (Teoria das Probabilidades e Estatística Descritiva).
Outra questão sobre variabilidade e representatividade amostral está apresentada na Figura 35. Nessa questão, somente 35% dos alunos pensaram, corretamente, que alguém deveria esperar aproximadamente um número igual de homens e de mulheres, pois quem foi selecionado até aqui não afeta quem será selecionado na seqüência do experimento. Como haviam sido selecionadas mais mulheres do que homens, 33% dos alunos argumentaram que esperaram o oposto acontecer e 16% tentaram achar causas por trás da diferença que (dado o pequeno número de pessoas entrevistadas até aqui) poderia ser facilmente explicada pela variação ao acaso enquanto o resto, empregando a lei dos grandes números, pensaram que a tendência de selecionar mais mulheres do que homens deveria continuar.
Figura 35 - Questão 9 do pré-teste aplicado por Meletiou (2000).
Segundo Meletiou (2000), a tendência de subestimar o papel da variação devido ao acaso é mais evidente em contextos do mundo real. Apesar de os estudantes parecerem atentos aos perigos envolvidos quando tomavam decisões baseadas em pequenas amostras, no momento em que eram solicitados a fazer seus próprios julgamentos acerca dos dados, eles freqüentemente ignoravam esses perigos e, exagerando na confiabilidade das informações providenciadas, não hesitavam em usar pequenas amostras como base para inferência. As
9) Circule a melhor resposta para o seguinte problema:
Numa escola de ensino médio da redondeza, metade dos alunos são mulheres e metade são homens. Um trabalhador de uma organização estudantil quer entrevistar alunos sobre as recentes mudanças no fundo governamental de ajuda financeira. O trabalhador quer obter uma boa representação dos estudantes e vai para muitas diferentes áreas do campus. Três ou quatro estudantes foram entrevistados em cada lugar visitado. Os últimos 20 estudantes entrevistados, treze foram mulheres e sete homens. Agora, você não sabe que hora do dia é, que parte do campus o trabalhador já foi ou onde o trabalhador está indo. Os próximos 20 estudantes que o trabalhador vai entrevistar, você acha que serão mais homens ou mulheres?
a) o trabalhador parece entrevistar mais mulheres do que homens. Poderia haver muitas razões para isto. Talvez mulheres são mais disponíveis para falar sobre suas opiniões. Ou, talvez o trabalhador vai para áreas do campus onde há mais mulheres que homens. Desta forma, é provável entrevistar mais mulheres do que homens nos próximos 20 estudantes. b) Como metade dos alunos no campus são homens e metade são mulheres,
você esperaria uma divisão 50/50 entre o número de homens e mulheres que o trabalhador entrevistou. Como houve mais mulheres do que homens, eu espero o oposto. Nos próximos 20 entrevistados, haverá mais homens do que mulheres para que as coisas comecem a se equilibrar.
c) Metade dos alunos são homens e metade são mulheres. Isto quer dizer que tem uma chance de 50/50 de entrevistar um homem ou uma mulher. Não deveria interessar quantos homens ou mulheres o trabalhador entrevistou. Nos próximos 20 alunos, aproximadamente metade seriam homens e metade mulheres.
d) Até aqui, a tendência parece ser mais mulheres a serem entrevistadas do que homens. Nos próximos 20 estudantes eu esperaria a mesma coisa acontecer. O trabalhador provavelmente entrevistará mais mulheres do que homens.
respostas dos oito alunos entrevistados na Questão 5 (que está apresentada na Figura 36) são indicativas disso.
Figura 36 - Questão 5 do pré-teste aplicado por Meletiou (2000)
Quase metade dos alunos apresentou resposta determinística, tentando encontrar as causas para a queda na razão das mortes. Muitos alunos disseram que o número de semanas observadas era muito pequeno e que deveria esperar para ver os resultados das próximas semanas.
Meletiou (2000) explica que os alunos foram mais dispostos a reconhecer o papel da variação devido ao acaso na questão sobre lançar 50 vezes uma moeda e obter 27 caras e lançar novamente depois de dois dias e obter 30 caras (questão 3 da entrevista). A mesma aluna que tinha dito que deveria haver uma razão para diminuir o número de acidentes disse que os dois resultados não eram suspeitos, pois há variação nos resultados. De acordo com Coutinho (2001), os alunos associam o acaso aos jogos de azar de forma espontânea, o que pode ser explicado pela própria história da probabilidade, mas que, em atividades de ensino, outras situações devem ser apresentadas aos alunos, visando à construção do significado desse conceito.
Para investigar o efeito do tamanho da amostra na variação, foram feitas três outras questões na entrevista, apresentadas nas duas figuras seguintes.
5) Em média, há 600 mortes por ano na cidade devido a acidentes de trânsito. Uma pessoa observou o seguinte: Em Fevereiro, o número de mortes na semana 1 foi 3, na semana 2 foi 12, na semana 3 foi 21, na semana 4 foi 14 e em Março, na semana 5 foi 2. Considerando que em nenhuma dessas semanas tinham um feriado, suponha que a manchete de um jornal dizia que a semana 3 tinha sido desastrosa e que a razão era a velocidade. A semana 4 foi descrita como evidência que dirigir na cidade está piorando. Ao final da semana 5 a polícia se vangloriou pela baixa razão das mortes – suas patrulhas tinham tido sucesso. O que você diria a essa pessoa?
Figura 37 - Questão 1 da entrevista realizada por Meletiou (2000).
De acordo com Meletiou (2000), os autores da questão (Pfannkuch e Brown) julgaram pobre o entendimento de variação dos alunos em pequenas amostras neste contexto. Enquanto uma análise, combinando pensamento probabilístico e determinístico teria sido mais apropriada, todos estudantes que eles entrevistaram deram explicações determinísticas, e foi somente depois de repetidas sondagens que alguns sugeriram a necessidade de mais dados. Os resultados de Meletiou (2000) foram semelhantes aos de Pfannkuch e Brown, em que um aluno relatou que não queria viver no meio da Nova Zelândia e outra aluna estava convencida que deveria haver um fator externo causando a diferença e explicou "há sempre uma chance de alguma coisa acontecer, mas 3 e 0 no outro...deve haver uma razão para isto" (MELETIOU, 2000, p. 145).
Quando foi perguntado aos alunos o que eles achavam da possibilidade de obter o resultado {3,3,3,4,4,5,5} quando jogado um dado honesto 7 vezes (que era a segunda questão da entrevista), nenhum estudante achou o resultado surpreso. Os alunos responderam a este problema muito diferentemente do problema da Nova Zelândia, “apesar de serem análogos - obter 1 ou 2 no dado corresponde à região do topo no mapa onde um terço da população mora e obter um 3, 4, 5 ou 6 corresponde a cada uma das outras regiões do mapa” (MELETIOU, 2000, p. 145).
Meletiou (2000, p.145-146) explica que “os alunos não estão completamente errados, pois muitos outros fatores podem influenciar a ocorrência de defeitos nas crianças nascidas, mas eles deveriam imaginar que 7 crianças é uma amostra muito pequena para tomar decisões”. Segundo a autora, os alunos deveriam ter mostrado a mesma sensibilidade para o efeito do tamanho da
1) Todo ano na Nova Zelândia aproximadamente 7 crianças nascem com um defeito num membro. No último ano, as crianças nascidas com essa anormalidade foram localizadas no mapa da Nova Zelândia, conforme desenho (o mapa mostra cinco regiões cujas freqüências foram 0, 2, 2, 3, 0, numa ordem de região inferior para superior respectivamente)
O que você acha? (Na Nova Zelândia é conhecimento comum que um terço da população mora na região superior e um sexto em cada uma das outras regiões)
amostra como foi mostrado no problema 4 da entrevista, apresentado a seguir, na Figura 38.
Figura 38 - Questão 4 da entrevista realizada por Meletiou (2000).
Todos os estudantes entrevistados individualmente desafiaram a conclusão do psicólogo.
Tim disse: 4 de 5, eu sei que 4 de 5 dentistas preferem esta pasta de dente, mas eu diria você precisa de pelo menos 100 crianças... eu poderia pegar 5 crianças e persuadir 4 delas. Esta resposta contrasta com o que ele respondeu para a questão do defeito de nascimento. Entrevistador: Somente olhando o mapa, você vê alguma conexão entre onde moram e quantas crianças nasceram com defeito no membro? Tim: Sim. Eles correlacionam porque 1/3 que mora tem zero porque provavelmente há mais doutores e mais hospitais e somente 1/6 mora lá, então deve haver coisa errada por lá. Sim, tem que haver uma razão. Entrevistador: Você vê que os números são pequenos? Você acha que isto deveria ser levado em consideração?
Tim: Por que? (MELETIOU, 2000, p. 146)
Após o diagnóstico, o professor deu início à fase de ensino, cuja estratégia utilizada foi a solução de problemas, em que os conteúdos necessários seriam introduzidos de maneira aplicada e articulada com outros conteúdos. Ou seja, para a solução de um determinado problema, o professor discutia as ferramentas estatísticas possíveis para descrever e interpretar aquela situação.
Quando foram discutidas as medidas de tendência central e dispersão, Meletiou (2000) explica que a ênfase era dada no significado e que a medida de variação mais difícil foi o desvio padrão.
Na etapa de ensino, a questão 10 do pré-teste (que relaciona o conceito de histograma e de assimetria da distribuição) foi explorada com a inserção dos boxplots de cada distribuição, para que os alunos fizessem a relação entre histogramas e boxplots. Para decidirem se a distribuição tinha um desvio padrão alto, eles mobilizaram dois conceitos: grande número de observações e barras
4) Um psicólogo infantil está envolvido num estudo sobre dois brinquedos infantis. Das primeiras cinco crianças estudadas, 4 mostraram uma preferência por um mesmo brinquedo. O psicólogo concluiu que a maioria das crianças mostrará uma preferência por esse mesmo brinquedo. Você acha que o psicólogo apresentou uma conclusão válida?
altas no final da escala. O professor disse que era um quebra-cabeça, pois eles iriam analisar tudo junto: média, mediana, desvio padrão, histograma, boxplots e verificar como tudo isto estava relacionado com variabilidade. A primeira intervenção do professor foi concordar com os alunos que o formato da distribuição (simétrico ou assimétrico) é uma estratégia para avaliar a variabilidade e fizeram a relação entre média e mediana nos histogramas simétricos e assimétricos.
Trabalharam a comparação entre médias de dois grupos, desde que levando em conta a variação dentro de cada grupo (assim como a mediana e o intervalo interquartílico). Após a etapa de ensino, os autores pediram que os alunos analisassem os dois boxplots e chegassem a uma conclusão. A maioria dos alunos percebeu que o intervalo interquartílico era muito semelhante nos dois grupos, o que não permitiria comparar os escores. Os autores, por sua vez, perceberam que alguns alunos ainda pensavam que a linha do meio no boxplot era a média.