Det rettslige grunnlaget for statens Forslag til lov om endringer i lov 17. juli

Na parede podemos considerar duas condições de fronteira limites para o campo magnético. A primeira é dada pela condição de parede perfeitamente condutora (ηparede = 0), e a segunda

implica que a parede se encontra eletricamente isolada (ηparede = ∞). A condição de parede

perfeitamente condutora pressupõe uma absorção total da corrente elétrica a que está sujeita, como tal também deverá absorver todo o uxo magnético. Esta situação pode ser representada por uma condição de fronteira do tipo Neumann, que neste caso vai impor um valor nulo para o gradiente de B normal à parede,

∂B

onde n é o vetor de dimensão unitária normal à parede. O segundo caso limite é dado pela condição de parede eletricamente isolada, desta forma a corrente elétrica não consegue atra- vessar a fronteira. Esta condição pode ser obtida se durante a simulação numérica for xado um valor para o campo magnético na parede,

B |parede = B0, (4.96)

onde B0é o campo magnético imposto.

As condições de fronteira previamente descritas representam duas situações ideais. Existe ainda a possibilidade de se assumir que a parede possui uma condutividade elétrica nita, o que implica que deverá absorver apenas uma parcela da corrente elétrica a que está sujeita. Esta pode ser vista como uma condição de fronteira genérica,

∂B

∂n |parede + ηparede

η (B |parede − B0) = 0. (4.97)

4.2.3 Discretização temporal

O esquema numérico que foi implementado para o tratamento dos uxos convectivos obriga a uma discretização temporal explícita do sistema de equações. Foi já referido na secção 3.2.2, que uma discretização desta natureza implica uma restrição do passo de tempo. Sabemos ainda que as equações MHD permitem a ocorrência de vários tipos de ondas com escalas temporais distintas. Desta forma, na condição de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) deve-se utilizar a veloci- dade máxima de propagação da informação, tendo em consideração todas as ondas envolvidas, que neste caso é dada pela velocidade da onda rápida,

CFL = max (|Uf| + cf) ∆t d



. (4.98)

A introdução dos termos dissipativos no sistema de equações vai resultar numa restrição ainda mais severa do passo de tempo. Note-se que normalmente as escalas temporais associadas a estes termos possuem um valor muito reduzido. No caso do sistema de equações MHD resis- tivo esta restrição ainda poderá ser mais severa devido à grande disparidade entre as escalas temporais dissipativas e convectivas. No caso limite, a utilização de uma discretização do tipo explícito pode mesmo ser proibitiva. De forma a contornar esta questão, Udrea (1999) calculou de forma separada os passos de tempo de natureza parabólica e hiperbólica, e utilizou o valor mínimo global como o passo de tempo efetivo. Por outro lado Sankaran (2001) utilizou a técnica de passo de tempo fracionado. Com esta abordagem é possível calcular os uxos difusivos com um passo de tempo distinto daquele que é utilizado no cálculo dos uxos convectivos. Desta forma, os uxos convectivos são apenas calculados após um número pré-de nido de passos de tempo, onde os uxos difusivos são sempre calculados.

Em todos os cálculos que irão ser apresentados na secção 5.2 a condição de estabilidade foi calculada a partir da equação (4.98). Na discretização temporal do sistema de equações MHD ideal utilizou-se uma formulação explícita em todas as equações, à exceção da equação da pressão. Esta abordagem permitiu calcular todos os problemas com maior ou menor restrição no passo de tempo. Os casos que resultavam numa maior restrição temporal foram aqueles que

apresentavam um maior grau de complexidade no que toca à presença de descontinuidades. Nesses casos, a condição de estabilidade variava entre CFL = 0, 1 e 0, 3. Na solução das equações resistivas, de forma a remover a restrição de passo de tempo, os termos de segunda ordem foram sempre discretizados de forma implícita.

4.3 Nota conclusiva

Neste capítulo foram descritos os dois métodos de análise de escoamento a número de Mach arbitrário desenvolvidos como parte deste trabalho de investigação. O primeiro método foi pensado para a análise de escoamento de dinâmica dos gases e o segundo para o cálculo de escoamento compressível MHD. Demonstrou-se que é viável adaptar o esquema AUSM+_{− upde}

forma a este ser introduzido num algoritmo do tipo PISO. Desta forma é possível tirar partido do nível de precisão do esquema AUSM no cálculo de ondas de choque, e da exibilidade da equação da pressão no cálculo de escoamentos a número de Mach variável.

O estudo do método de resolução das equações de Euler feito numa primeira fase permitiu depois desenvolver um novo método aplicável às equações MHD. O novo método foi baseado numa adaptação do esquema AUSM-MHD de forma a este ser incluído num algoritmo do tipo PBA.

Capítulo 5

Aplicação e validação dos métodos

propostos

Neste capítulo são apresentados e discutidos vários casos de teste que permitirão efetuar a validação dos métodos numéricos propostos no capítulo 4. Inicialmente vão ser analisados os testes que compreendem escoamento da dinâmica dos gases, e que devem ser resolvidos com o método proposto na secção 4.1. Posteriormente vão ser analisados vários casos de teste frequentemente utilizados na validação de modelos MHD, e cuja solução requer o método da secção 4.2.

5.1 Casos de teste para dinâmica dos gases

Nas próximas secções vamos proceder à validação do método que foi proposto no capítulo an- terior, mais concretamente na secção 4.1. Vão ser apresentadas algumas comparações entre os resultados presentes na literatura e os resultados numéricos obtidos. Em alguns dos problemas apresentados vai também ser feita uma comparação entre a nova abordagem aqui proposta, e o método previamente utilizado por Xisto et al. (2010), baseado na interpolação do tipo Rhie e Chow.

Vamos considerar três casos de teste, inicialmente vai ser analisado um problema axissimétrico referente a um escoamento numa tubeira em condições subsónicas, transónicas e supersónicas. Posteriormente vamos abordar um outro caso de teste padrão que compreende um escoamento subsónico, transónico e supersónico sobre um ressalto. Finalmente iremos calcular um pro- blema bastante mais complexo, que se refere a um escoamento supersónico quando este vai de encontro a um objeto de geometria circular.