Nas subsec¸c˜oes anteriores verific´amos que a introdu¸c˜ao de impurezas no sistema induz a presen¸ca de estados localizados com energia n˜ao pertencente `a dispers˜ao dos restantes estados propagantes. Agora queremos investigar o efeito de um arranjo peri´odico de impurezas —uma super-rede —nos estados de energia e na correspondente densidade de estados de um sistema que, j´a por si, ´e constitu´ıdo por uma rede peri´odica de ´atomos. Recordando o problema do efeito de um potencial peri´odico sobre um g´as de electr˜oes livres verifica-se que o potencial externo induz hiatos de energia na dispers˜ao de energia e na DOS [Ashcroft and Mermin, 1976]. A sobreposi¸c˜ao de uma super-rede com parˆametro de rede su- perior ao parˆametro de rede da cadeia AB, aext/a0 > 1, gera vectores da rede
Tabela 2.7: Compara¸c˜ao da energia dos estados localizados por potenciais locais ε0
distribu´ıdos aleatoriamente pela cadeia AB com a solu¸c˜ao anal´ıtica da energia de um potencial local ε0 (2.75). Comparamos 4 resultados provenientes da diagonaliza¸c˜ao
num´erica do sistema com as solu¸c˜oes anal´ıticas dos estados localizados por um poten- cial local para uma cadeia com Nc = 1200, Nimp = 20, t = 3.0, t0 = 6.6, ε0 = 53t e
CFP. n EDN ESA δ = ESAE−EDN DN % 588 −2.87903259 −2.87903244 −5.210083432 × 10−6 589 −2.87903254 −3.473389010 × 10−6 590 −2.87903252 −2.778711230 × 10−6 591 −2.87903252 −2.778711230 × 10−6 1188 12.0040325 12.0040324 −8.330533876 × 10−7 1189 12.0040325 −8.330533876 × 10−7 1190 12.0040325 −8.330533876 × 10−7 1191 12.0040325 −8.330533876 × 10−7 AB, G0 = 2πa
0ex. A presen¸ca destes novos vectores Gext, induz a abertura de hia-
tos transformando a dispers˜ao de energia da cadeira AB, numa nova dispers˜ao de energia composta por um conjunto de mini-bandas. Para proceder a este estudo sobrepomos sobre uma cadeia AB um potencial externo peri´odico, constitu´ıdo pela repeti¸c˜ao per´ıodica de impurezas de curto alcance com parˆametro de rede aext, ver figura 2.15. Consequentemente os vectores da rede rec´ıproca associados
ao potencial peri´odico externo s˜ao subm´ultiplos do vector da rede rec´ıproca, isto ´e, Gext = aa0extG0. Por analogia com o efeito de um potencial peri´odico externo
sobre uma g´as de electr˜oes livres[Ashcroft and Mermin, 1976] que, induz hiatos na dispers˜ao de energia para vectores de onda pertencentes aos planos de Bragg, a presen¸ca de um potencial peri´odico sobre a cadeia AB tamb´em induz hiatos na dispers˜ao de energia da cadeia AB nos planos de Bragg definidos pelos vectores da rede rec´ıproca Gext. Assim um potencial externo induz hiatos de energia para
n´umeros de onda k = Gext 2 = a0π aext , (2.88)
e em todos os seus m´ultiplos inteiros, tais que ka0 < π. Uma vez que os estudos
num´ericos exigem dimens˜ao finita do sistema, optamos por utilizar cadeias de grande dimens˜ao Nc > 104, minimizando deste modo os efeitos da dimens˜ao
finita do sistema e CFP para evitar a presen¸ca de estados localizados. Por sua vez, a periodicidade do potencial externo pode ser assegurada, impondo por exemplo, a seguinte rela¸c˜ao entre o n´umero de c´elulas unit´arias da cadeia e o
Figura 2.15: Rede linear AB infinita, cuja distˆancia entre ´atomos no interior da c´elula unit´aria ´e b, sob o efeito de um potencial peri´odico paralelo `a cadeia AB. Os discos amarelos indicam a localiza¸c˜ao dos potenciais de Coulomb blindados, isto ´e, potenciais curto alcance que apenas actuam sobre os ´atomos da c´elula unit´aria mais pr´oxima. Este arranjo peri´odico externo possui parˆametro de rede aext e encontra-se a uma
distˆancia d da cadeia AB.
n´umero de impurezas
Nc
Next
= j, j = 1, 2, · · · (2.89) onde Next ´e o n´umero de impurezas que originam o potencial peri´odico externo.
Uma vez que, o potencial externo tamb´em verifica as CFP, o parˆametro de rede ´e dado por
aext = ja0 (2.90)
O hamiltoniano do sistema ´e constru´ıdo pela adi¸c˜ao de um potencial externo V ao hamiltoniano da cadeia AB (2.1), tendo este a forma
V =
Next
X
k=1
ε0(|nk, aihnk, a| + |nk, bihnk, b|) , (2.91)
onde nk ´e o ´ındice da c´elula sobre a qual ´e aplicado o potencial externo ε0, em
que nk= jk +l, por sua vez, l ´e o ´ındice da primeira c´elula unit´aria sobre a qual ´e
aplicado o potencial. Este potencial adiciona a alguns dos elementos diagonais da matriz hamiltoniana a energia ε0, pelo que esta mant´em a sua forma tridiagonal.
Uma vez definido o parˆametro de rede (2.90) do potencial externo peri´odico, determinamos os vectores onda onde os hiatos de energia s˜ao induzidos
k = Gext 2 = `
π ja0
, ` = 1, 2, · · · j. (2.92) Nas figuras 2.16 e 2.17 apresentamos a dispers˜ao de energia e DOS para qua- tro cadeias AB iguais sob o efeito de potenciais peri´odicos com raz˜ao entre
Figura 2.16: Dispers˜ao de energia para cadeias AB sob o efeito de um potencial externo peri´odico aext > a0. Apresentamos quatro dispers˜oes de energia de cadeias
AB com t = 1, t0 = 32t e Nc = 1200, ε0 = t, parˆametro de rede a0 = 1, linha
negra aext = 2a0, linha vermelha aext = 3a0, linha verde aext = 4a0 e linha azul
aext= 5a0. Verifica-se que a presen¸ca do potencial peri´odico externo com parˆametro
de rede aext= ja0, onde j ´e um inteiro, introduz j hiatos de energia em cada banda
de dispers˜ao.
parˆametros de rede j = 2, 3, 4, 5. Nesta verificamos a abertura de hiatos de energia nos pontos definidos pela equa¸c˜ao (2.92). Verifica-se que, para j & 5 al- guns dos hiatos s˜ao muito reduzidos e n˜ao ´e poss´ıvel verificar a presen¸ca destes na dispers˜ao de energia, contudo, observando a DOS, para as energia cujo n´umero de onda ´e definido pela equa¸c˜ao (2.92), verifica-se que, a DOS decresce signi- ficativamente. Da an´alise das fun¸c˜oes de onda resultantes da diagonaliza¸c˜ao do hamiltoniano do sistema n˜ao verificamos a presen¸ca de estados localizados no sistema, portanto conclu´ımos que um arranjo peri´odico de impurezas, sejam elas de curto ou de longo alcance, n˜ao produz estados localizados electr´onicos localizados, em claro contraste com o caso de uma distribui¸c˜ao aleat´oria de impurezas.
Figura 2.17: DOS para cadeias AB sob o efeito de um potencial externo peri´odico aext > a0. Apresentamos a DOS para quatro dispers˜oes de energia de cadeias AB
com t = 1, t0 = 32t e Nc = 1200, ε0 = t, parˆametro de rede a0 = 1, linha negra
aext= 2a0, linha vermelha aext= 3a0, linha verde aext= 4a0e linha azul aext= 5a0.
Comparando a DOS com a dispers˜ao de energia (2.16) confirma-se a presen¸ca de j hiatos de energia em cada banda de energia.