A f.d.p. pode ser estimada com base no conhecimento do fenómeno e conhecidos os necessários estimadores estatísticos.
Utilizando a teoria da informação, é possível determinar a f.d.p. de uma variável aleatória discreta, conhecidos os valores esperados de um sistema em k situações, por maximização da entropia do sistema. Basem El-Haik (2000) aplicou este conceito na determinação da distribuição de PPs [2.14].
A teoria de Dempster-Shafer foi utilizada por Michele Pappalardo (2006) [2.15] na escolha de sincronismos de caixas de velocidades. Esta teoria aceita atribuir uma probabilidade a um acontecimento baseado na opinião subjectiva. Definido o conjunto de hipóteses de dimensão Θ, é definido o domínio do problema ΘΘΘ onde intervêm todas as Θ combinações dos conjuntos de hipóteses, Ai. Existem portanto 2Θ conjuntos, sendo atribuída
a cada um deles uma probabilidade básica, também designada por função de massa, f.m.,
que satisfaz as condições: i i 2 i
i
f.m.( ) 0; f.m.(Hp ) 0, Hp 2 ; Hp 1 Θ
Θ
∅ = ≥ ∀ ∈ = . Note-se a
diferença para a teoria das probabilidades, em que o número de hipóteses possíveis é o da da dimensão do espaço amostral Ω.
A crença, Bel, num conjunto Xp é a massa de probabilidade de todos os conjuntos contidos em Xp: i i Hp Xp Bel(Xp) m(Hp ) ⊆
= ; a plausabilidade, PL, a massa de probabilidade de todos os conjuntos que intersectam Xp:
i
i Hp Xp
PL(Xp) m(Hp )
∩ ≠∅
= . O intervalo entre crença e plausabilidade é designado por intervalo de crença.
A teoria de Dempster permite combinar testes independentes por um produto das massas de probabilidades corrigidas, tendo como resultado a redução do intervalo de crença. A crença é uma medida subjectiva da probabilidade de ocorrência de um acontecimento, pelo que, quando aplicada ao sucesso da satisfação de um RF por um sistema, representa a probabilidade da AI. Esta teoria tem sido utilizada em aplicações de testes de diagnóstico, uma vez que a acumulação de testes permite aumentar a crença numa causa de um problema. Pode também ser utilizada para a escolha de PPs, com base na crença de satisfação de um RF.
A utilização de conjuntos vagos como modo de desacoplar um projecto foi proposto por Naddeo (2004 e 2006) [2.16]. Nicola Cappeti, et al, (2004) [2.17] propuseram a utilização de funções de pertença utilizando a lógica vaga de Zadeh, para indicar o grau de satisfação de um RF face a um PP proposto. Esta relação é expressa pela substituição dos elementos significativos da matriz de projecto, por funções de pertença, com o objectivo de avaliar a que valores de corte o projecto é independente.
A utilização de conjuntos vagos permite o cálculo da informação a partir da intersecção entre a função de pertença (f.p.) que espelha o intervalo de projecto e a que espelha o funcionamento do sistema [2.18]. A informação de um único RF, utilizando conjuntos vagos, é calculada de acordo com a Figura 2.7, sendo AI a área de intersecção, ou área comum, entre a função de pertença do sistema e a do projecto:
I log (2 Área do sistema ) Área de intersecção
= (2.26)
Figura 2.7. Função de pertença do sistema e do projecto
No caso de um projecto independente com vários RFs, a informação do sistema é calculada pelo somatório das informações. Numa variação ao método exposto, propusemos
quais foram definidas as respectivas f.p.
Nesta abordagem aos conjuntos vagos, utilizaremos a designação de conjuntos graduados, de acordo com a nomenclatura de António Aniceto Monteiro1. Assim usaremos a
terminologia de “graduar conjuntos2” para o processo de associar uma pertença a cada valor
de um conjunto.
A determinação da informação associada a um valor determinado 3 do PP é realizada
pelo mesmo método utilizado na simulação com conjuntos vagos:
- Graduar os PPs, obtendo uma colecção de conjuntos vagos com as classes de soluções;
- Graduar os RFs, obtendo uma colecção de conjuntos vagos com as classes de soluções;
- Definir uma regra de implicação entre os PPs e os RFs, que possa expressar as relações entre os PPs e os RFs. Esta regra pode mesmo ser formulada entre PPs de um nível e RFs de um nível superior;
- Para um valor determinado de PP obter as f.p. consequentes, utilizando um operador de implicação, por exemplo o operador de produto de Larson;
- Agregar os consequentes e definir a f.p. do RF;
- Intersectar a f.p do RF com a f.p. do intervalo de projecto e calcular a informação utilizando a equação (2.26).
Note-se que o integral da f.p. não é necessariamente unitário, ao contrário da f.d.p. Logo, não são comparáveis os valores das áreas delimitadas pelas f.p. de diferentes PPs. No entanto, a informação define-se por uma razão de áreas, que são delimitadas pela f.p., o que permite a comparação entre valores de informação.
No Apêndice 2 apresenta-se um pequeno resumo da teoria de conjuntos vagos.
1 “À memória de Aureliano de Mira Fernandes, Conjuntos Graduados de Zadeh”, António
Aniceto Monteiro, Técnica 449/450, Ano LIII, Volume XL, 1978
2 “Fuzzify” na literatura anglo-saxónica 3 “Crisp” na literatura anglo-saxónica
2.6.5 Complexidade
Como referido nos parágrafos anteriores, quanto maior for a informação necessária ao funcionamento do sistema, maior a sua complexidade. Esta complexidade é designada por complexidade real CR, e é definida pela própria informação do sistema:
CR= I (2.27)
Como analisámos anteriormente, em projectos desacopláveis a sequência de operações é importante. O desconhecimento desta sequência por ignorância do fenómeno físico e/ou do equipamento, pode levar a tentativas falhadas de colocação do equipamento em funcionamento. Esta complexidade, que depende do conhecimento da matriz de projecto, designa-se por complexidade imaginária CIm e ocorre apenas em projectos desacopláveis.
Nestes projectos se existirem n RFs, existirão n! permutações possíveis, ou seja, n! sequências possíveis. Se existirem m possibilidades de sequências com êxito, a probabilidade de sucesso numa escolha aleatória é de m/n!, pelo que a complexidade imaginária será: Im 2 n! C log ( ) m = (2.28)
Para além destes dois tipos de complexidade, pode haver desvios entre a f.d.p. e o IS por variações de ambos ao longo do tempo. Designa-se esta complexidade por complexidade dependente do tempo. Esta pode aumentar indefinidamente, consoante as variações combinatórias dos IPs e ISs dos diversos RFs, ou ser periodicamente reiniciada. O primeiro caso designa-se por complexidade combinatória; o segundo por complexidade periódica.
Assim, a complexidade pode ser real, função da informação I necessária ao sistema; imaginária, que decorre do desconhecimento das sequências de operações nos projectos desacoplados; e dependente do tempo, caso em que a complexidade pode ser combinatória ou periódica.
Sempre que possível, um sistema com complexidade dependente do tempo deve ser projectado de modo a ter complexidade periódica [2.20]. De notar que a periodicidade, embora ocorra ao longo do tempo, não tem necessariamente de ser temporal. Pode ser geométrica, química, térmica, biológica, etc., desde que em algum momento o sistema retorne à definição inicial de um estado de referência.