Vanessa iniciou a primeira aula distribuindo, para cada estudante, uma folha de papel na qual estava escrito um problema matemático. A professora já havia ensinado para a turma o algoritmo da divisão e, nessa aula, iria propor a aplicação do algoritmo para números maiores que dez no divisor. Na primeira conversa que tivemos, surgiu a idéia de verificar se os alunos seriam capazes de resolver divisões por quantidades superiores a dez antes de simplesmente ensiná-las, desconsiderando habilidades que eles poderiam apresentar previamente.
O enredo do primeiro problema era sobre uma mulher que tinha 134 mudas para plantar, mas 14 estavam estragadas. Ela deveria plantar as restantes em canteiros com 10 mudas em cada um. Os alunos teriam de descobrir quantos canteiros seriam necessários. Vanessa leu o problema junto com a turma, fazendo perguntas que conduziam a interpretação do enredo. Depois de algum tempo, a professora convidou um aluno a escrever sua solução no quadro de giz. Ele resolveu corretamente a situação utilizando o algoritmo convencional da divisão de 120 por 10. Adiante, Vanessa convidou outro aluno para mostrar uma diferença em sua solução. Neste caso, a diferença se referia à forma de resolver o algoritmo. O segundo aluno cortou os zeros do dividendo e do divisor e obteve assim uma resposta imediata de 12 dividido por um. Vanessa confirmou os resultados corretos dos dois alunos.
Depois disso, Vanessa e Sarquis foram modificando os dados do problema, propondo assim novos desafios para a turma. Leonardo foi convidado a escrever sua solução no quadro para um problema que requeria a divisão de 120 por 20. Ele usou o algoritmo convencional e
obteve 60 como resultado. Sarquis sussurrou-lhe sugerindo que desmanchasse o zero do quociente, o que ele fez imediatamente.
Uma aluna resolveu o problema seguinte executando corretamente a divisão de 196 por 12. Além disso, questionada pela professora, ela soube conectar os resultados obtidos, o quociente e o resto da divisão, com a questão proposta no enredo do problema.
Leonardo brincava com um colega, atirando coisas um no outro, quando Sarquis aproximou-se do grupo em que ele estava e o convidou a ir ao quadro mostrar sua solução para o problema que fora anunciado pouco antes. Leonardo desenhou o algoritmo correspondente e resolveu a divisão corretamente. No entanto, quando questionado sobre os resultados obtidos, ele foi incapaz de conectar tais resultados à questão formulada no problema. Apenas manteve-se gesticulando, lendo cada número na ordem em que os escrevera. Sarquis insistiu para que ele explicasse o que significava o número 11 obtido no quociente. Leonardo afirmou que significava que haveria 11 canteiros para as sementes. Sarquis sugeriu, então, uma resposta diferente, perguntando-lhe se não seriam 15 canteiros (número constante no divisor) com 11 sementes em cada um. Essa era, na verdade, a solução correta do problema. Leonardo, no entanto, manteve sua interpretação.
Após mais quatro problemas apresentados aos alunos para serem resolvidos pela divisão, os professores mudaram a estratégia, apresentando uma situação que exigia uma multiplicação para ser resolvida: “Uma mulher tinha 17 canteiros com 13 mudas plantadas em cada um. Ela também tinha 3 mudas que ainda não haviam sido plantadas. Quantas mudas ela tinha ao todo?”.
Os professores evitaram dizer naquele momento qualquer coisa que sugerisse que os alunos utilizassem a multiplicação. Deixaram que os alunos interpretassem o problema e decidissem sobre a estratégia a ser utilizada na solução. Passado algum tempo, os professores passavam pelo grupo de Leonardo quando notaram que, até ali, ele fora o único do grupo que havia escrito uma operação que supostamente resolveria o problema em seu caderno. Na verdade, ele havia dividido 17 por 13, havia obtido 13 como resultado e resto zero. Então, Leonardo conversou com Sarquis sobre o que havia escrito (Figura 12, A e B).
Figura 12: (A) Leonardo explica a divisão que (B) escreveu no seu caderno
Episódio 1
01. Sarquis: Leonardo, você poderia explicar o que você fez?
02. Eu peguei o dezessete e dividi por... por três... por 13. Então, eu cheguei no 17... um vezes um... então aqui... 13 dividido por... dá 17... Então o que eu fiz? Eu subtraí 17 por 17 e deu zero. Aí eu abaixei o 13 que estava aqui no 13.
Leonardo falou baixinho, quase sussurrando. Enquanto falava, gesticulava apontando para a operação que escrevera no caderno com um lápis. A operação que ele realizou e a explicação que apresentou parecem completamente fora de sentido, o que sugere uma investigação acerca do significado de sua atitude.
Nas duas ocasiões anteriores que foi ao quadro, Leonardo usou de maneira mais eficiente o algoritmo da divisão. Na primeira, acrescentou um zero ao quociente, o que considero um engano bastante comum para sua idade. Na segunda, realizou a divisão corretamente, embora não soubesse relacionar os resultados obtidos com a questão formulada no problema que estaria resolvendo. Considerando então essas duas performances anteriores, a divisão de 17 por 13 resultando em 13, resto zero, parece mesmo bastante estranha. A questão acerca das razões que o teriam levado a escrever tal operação permanece.
Holzcamp ponderou que “(…) se assumimos que ações no seu senso resoluto tornam- se subjetivamente necessárias somente em pontos cruciais em situações de significação existencial, então uma circunstância que aparenta inicialmente ser irracional torna-se clara...” (HOLZCAMP, 1992, p.201). Trazendo essas palavras para o contexto apresentado, é forçoso admitir que a intenção de Leonardo ao apresentar aquela divisão tinha alguma fundamentação razoável. Em ocasiões nas quais Vanessa comentou suas atitudes, ela passou-me a imagem de um aluno que procurava sobreviver naquela sala de aula posicionando-se como alguém que conseguia realizar as tarefas designadas. Na aula em que os alunos estavam descobrindo as planificações possíveis para o cubo, por exemplo, no momento em que Leonardo desenhou
uma proposta sua no quadro, Vanessa comentou que não fora ele quem teria descoberto aquela planificação, mas a copiara de um colega.
Seria possível que ele também tivesse copiado de algum colega as divisões que apresentou no quadro. Isso explicaria o fato de poder realizar as operações sem conseguir explicar o que elas significavam para os problemas apresentados. Vale salientar que um colega de equipe, professor iraniano, que participou em uma seção de análise do episódio no Canadá, mesmo sem saber nada de nossa língua, inferiu que o aluno teria obtido as divisões de colegas de seu grupo.
Entretanto, não há provas dessas cópias nos vídeos e talvez o comentário de Vanessa expressasse tanto a avaliação que ela tinha desenvolvido devido à longa convivência com ele quanto a expectativa que desenvolvera acerca das possibilidades do aluno. Quando ele produziu a divisão estranha no caderno, é bastante provável que o tenha feito sem ser ajudado ou sem consultar qualquer colega. O problema apresentado pelos professores requeria uma multiplicação e não uma divisão. Observando o vídeo, a impressão que se tem é de que os alunos do grupo de Leonardo não haviam ainda formulado suas respostas até o momento em que ele explicou o que fizera. Mais tarde, quando Vanessa discutiu com aquele grupo o que teriam pensado no tempo que fora designado para que tentassem resolver o problema, Leonardo não expôs sua solução para o grupo.
Em todos esses episódios – na apresentação das divisões como na apresentação da planificação do cubo – Leonardo aparenta ser um aluno que entende que sua tarefa consiste em apresentar resultados quando perguntas são feitas, não importando se tais resultados lhe são compreensíveis ou não. O comentário do colega iraniano reforça a idéia de que essa atitude entre alunos não é incomum mesmo em realidades aparentemente bastante diferentes da nossa.
Tomando a perspectiva da divisão do trabalho promovida nessa aula pelos professores, considero que houve um contraste entre duas posições. De um lado, os alunos dispunham de liberdade para resolver as divisões propostas conforme suas habilidades. Houve, inclusive, o caso de uma aluna que desenvolveu um processo bastante longo para descobrir o resultado de uma divisão, no qual ela foi experimentando várias multiplicações com o divisor até obter o número que deveria ser escrito no quociente. Essa aluna foi incentivada pelos professores a mostrar sua estratégia para os colegas.
Por outro lado, a liberdade era limitada pelo próprio objetivo da aula. Os professores não permitiram que os alunos interpretassem os enredos dos problemas à sua maneira, a não ser no último deles, que não requeria uma operação de divisão para ser resolvido. Vale
salientar que os alunos demoraram um tempo significativo para resolver essa última situação embora já dominassem perfeitamente os algoritmos da multiplicação e da adição que poderiam ser utilizados para se chegar ao resultado correto.
Uma impressão geral que ficou é a de que a turma vinha sendo conduzida com uma divisão do trabalho configurada de maneira bem hierarquizada. Os professores comandavam a aula designando exatamente o que deveria ser feito e os alunos tinham então de se preocupar apenas em resolver a operação já estabelecida. No último problema, quando o grau de liberdade dos alunos se ampliou, agora com a possibilidade de interpretarem o enredo proposto, eles demoraram um tempo como que para tentar se adaptar à modificação proposta na divisão do trabalho.
Leonardo parece entender essa divisão como uma demarcação de tarefas, o que coincide com as interpretações de Charlot (1996) relativas à relação com o conhecimento que encontrou entre os alunos oriundos de classes trabalhadoras e também com a forma como as alunas de Jones (1989) entendiam o trabalho escolar. As alunas selecionadas por Jones, no entanto, procuravam fazer com perfeição as tarefas escolares e Leonardo parece entender que é mais necessário apresentar algum trabalho realizado do que entender o que se está fazendo. Essa interpretação faz ressaltar o que entendo por estudo alienado e sua relação com o trabalho alienado. Da mesma forma que, para os trabalhadores o trabalho pode ser interpretado como uma série de tarefas a serem realizadas, não importando compreender a relação dessas tarefas com o motivo da atividade que desenvolvem, a relação com o conhecimento escolar pode ser alienada quando as tarefas propostas são, para os estudantes, ações que deverão corresponder às expectativas dos professores, não importando outros significados. Voltarei a essa discussão na descrição do que aconteceu com Leonardo nas aulas posteriores.