A fim de obter um maior entendimento sobre o processo de magnetização, foi desenvolvido neste trabalho um programa em um sistema algébrico computacional que obtém as três curvas computadas de magnetização referente às suas três componentes espaciais, ou seja, as componentes longitudinal, transversal e polar. Neste caso, vamos estender o uso do modelo de Stoner-Wohlfarth para o caso tridimensional e abrir possibilidade para o acréscimo de mais termos de energias. Agora, a magnetização é livre para girar no espaço bem como a direção do campo magnético e os eixos de anisotropias podem ser orientados a qualquer direção arbitrária. A figura 4.13 seguinte representa o vetor magnetização de uma amostra e os ângulos polares e que a definem.
Figura 4.13: Representação da magnetização no espaço em termos dos ângulos polar e azimutal. O filme se encontra no plano x-y.
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⃗⃗ ̂ ̂ ̂ podemos definir o vetor unitário ̂ como
̂ ̂ ̂ ̂ de tal forma que
⃗⃗ ̂ Analogamente à magnetização, o campo magnético aplicado ⃗⃗ pode ser escrito em termos dos ângulos polares que o define, ou seja,
⃗⃗ ̂ ̂ ̂ com e sendo os ângulos polar e azimutal que definem a orientação do campo magnético aplicado, de tal forma que a densidade de energia Zeeman (cgs) é dada por
⃗⃗ ⃗⃗ No nosso modelo iremos acrescentar três termos de densidades de energia de anisotropia. Dois do tipo uniaxial e um terceiro que expresse a anisotropia de forma associada a um plano infinito para modelar o filme fino. O primeiro termo de densidade de energia de anisotropia uniaxial que iremos acrescentar terá a direção de anisotropia definida pelo vetor ̂ , e constante de anisotropia uniaxial . A direção no espaço do vetor ̂ é definida pelos ângulos polares esféricos e . Sendo assim temos
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e sendo a constante de anisotropia, a densidade de energia de anisotropia uniaxial associado à é dada por
̂ ̂ Este termo de densidade de energia é inserido na densidade de energia total a fim de representar a densidade de energia de anisotropia induzida e que predomina diante do segundo termo de densidade de energia uniaxial, que será apresentado a seguir. Esta anisotropia tem origem devido à existência de um campo magnético residual presente durante a deposição das amostras. Isto acarreta em uma direção preferencial de acomodação dos momentos magnéticos atômicos.
O segundo termo de densidade de energia de anisotropia uniaxial terá a direção de anisotropia definida pelo vetor ̂ , e constante de anisotropia uniaxial . A direção no espaço do vetor ̂ é definida pelos ângulos polares esféricos e . Sendo assim temos
̂ ̂ ̂ ̂ e sendo a constante de anisotropia, a densidade de energia de anisotropia uniaxial associado à é dada por
̂ ̂ Este termo de densidade de energia de anisotropia uniaxial foi inserido a fim de representar uma anisotropia efetiva devido a outras contribuições que existem no filme. Estas podem ser de natureza magnetoelástica e/ou de energia magnetostática devido ao campo desmagnetizante. A intenção aqui é introduzir um termo de densidade de energia que expresse um caráter efetivo destas anisotropias. Lembrando que na seção 2.1.5, sob certas condições a densidade de energia magnetoelástica é dada por [9]
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sendo a constante de magnetostricção, o módulo da tensão e ̂ a direção do stress. Ou seja, a anisotropia magnetoelástica nas condições citadas na seção 2.1.5 tem forma de anisotropia uniaxial.
O terceiro termo de densidade de energia será de anisotropia de forma. Este termo de densidade de energia, de acordo com seção 2.1.3, modela a geometria do filme fino como sendo um plano infinito disposto no plano x-y e é dada por (cgs) [12]
Vale salientar aqui que este termo de energia representa uma geometria que não corresponde a um filme finito, mas é uma aproximação válida uma vez que este termo de anisotropia é responsável por manter a magnetização no plano do filme. Mas também, se compararmos a espessura dos filmes com suas dimensões macroscópicas, podemos considerar uma estrutura “infinita”. A diante, iremos mostrar os resultados da componente polar da magnetização e veremos que os resultados corroboram com a adição deste termo de densidade de energia de anisotropia de forma.
Sendo assim, a densidade de energia total é em erg/cm3, dada por
⃗⃗ ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ A direção de ̂ define a direção do eixo fácil para anisotropia uniaxial associada à energia de anisotropia induzida e como esta foi predominante diante das outras anisotropias no plano iremos definir o eixo fácil das curvas de magnetização como sendo na direção de ̂ visto que em todos os resultados existiu um mesmo padrão para indução de anisotropia nas amostras. Sendo assim, para fins de computação, vamos definir a direção do vetor ̂ como sendo na direção ̂, portanto, e . Nesta configuração, usando e o campo magnético está aplicado na direção do eixo fácil e toma a forma
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e usando e ,o campo magnético está aplicado na direção do eixo duro e toma a forma
⃗⃗ ̂ A escolha da direção de ̂ como sendo no plano do filme pode levar a uma interpretação arbitrária desta escolha, mas não é. Qualquer efeito das anisotropias em uma direção fora do plano é totalmente suprimida pelo termo de densidade de energia de anisotropia de forma que depende de e tem seu mínimo em já que o termo depende de . Portanto, o efeito de anisotropia para fora do plano não é observado (figura 5.16) já que valores de e são muito menores que . Então, da mesma forma que ̂ esta no plano do filme, ̂ também está, mas numa direção intermediária entre o eixo fácil ( ̂) e duro ̂ em relação à anisotropia definida por ̂ , ou seja, e o que melhor se ajuste aos resultados experimentais entre e . Mas tarde iremos ver que este ângulo tem haver com a simetria retangular das diagonais de uma amostra em forma de um retângulo e de outras formas de anisotropias.
Nessas configurações das equações e as componentes longitudinais e transversais da magnetização dependem da direção de aplicação do campo magnético, de tal forma que, se aplicarmos o campo magnético na direção de fácil anisotropia, ou seja, no eixo x, a componente será a componente longitudinal e será a componente transversal. Para a aplicação do campo magnético no eixo duro de anisotropia, ou seja, na direção y, a componente será a componente longitudinal da magnetização. Já a componente , neste caso, será a componente transversal da magnetização. A componente polar será sempre .
A expressão da densidade total de energia (equação 4.30) tem três variáveis independentes, H, e . O programa desenvolvido consiste em calcular os valores e , para um determinado valor de H, que minimizam a expressão da energia. Graficamente, a posição do mínimo evolui com a aplicação do campo magnético, só que agora, o mínimo evolui sobre uma superfície já que o gráfico da densidade de energia para um determinado valor de H é função de e e não sobre uma linha como visto na figura 2.7.
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