Geometriske tenkevaner

Gjennom prosjektet Fostering Geometric Thinking forsøker Driscoll et al. (2007) å

identifisere tenkevaner som kan gi suksessfull geometrisk problemløsning. Med inspirasjon fra Couoco et al. (1996) med Habits of Mind, har de kommet fram til et rammeverk for produktive geometriske tenkevaner, altså fire Geometric Habits of Mind (GHOM). De fire tenkevanene er balancing exploration and reflection, reasoning with relationships,

generalizing geometric ideas og investigating invariants (Driscoll et al., 2007, s. 10).

Balancing exploration and reflection innebærer å prøve ulike innfallsvinkler og gå tilbake for vurdere (Driscoll et al., 2007, s. 14). Det som karakteriserer flinke problemløsere er

metakognitive evner, å vurdere sin egen arbeidsprosess og hva de skal utforske videre.

Utvikling av slike evner kjennetegnes ved at man tegner, leker, og utforsker flere muligheter i et problem. Videre vil de kunne se for seg løsninger, resonnere baklengs eller gjette og gjøre antakelser med ulike strategier. Driscoll et al. (2007, s. 22) deler tenkevanen inn i to deler,

«exploration in foreground» og «end goals in foreground».

Exploration in foreground (Utforske fra start):

- Tegner, leker, og/eller utforsker gjennom intuisjon eller gjetning - Tegner, leker, og/eller utforsker med å se tilbake

20 - Prøver strategier de er kjent med

- Endrer eller vurderer å endre på noe i situasjonen, betingelsene, eller ved den geometriske figuren

End goals in foreground (Tenker på sluttproduktet i startfasen):

- Ser regelmessig tilbake på det store bildet for å kunne se om det fungerer og for progresjon i arbeidet

- Identifiserer delsteg som kan hjelpe med å komme til en løsning - Beskriver hvordan løsningen vil se ut

- Gjør antakelser om løsninger, utvikler måter å teste antakelsene

I deres undersøkelser av tenkevaner fikk en gruppe matematikklærere utfordringen «... kan dere lage en firkant som har to rette vinkler, men ingen par av parallelle linjer?» (Driscoll et al., 2007, s. 7). Én person startet med å tegne i sin undersøkelse, og oppdaget raskt at to rette vinkler ikke kunne være ved siden av hverandre, da ville man få parallelle linjer. På denne måten kommer det til syne at denne personen benytter seg av den første indikatoren for tenkevanen balancing exploration and reflection og delen av tenkevanen exploration in foreground, ved å tegne og utforske fra start.

Reasoning with relationships innebærer å aktivt se etter relasjoner i og mellom geometriske figurer basert på egenskaper (Driscoll et al., 2007, s. 12). Uten å benytte seg av

sammenhengen og relasjoner mellom egenskaper i figurer vil man ikke oppnå mer enn omtrentlige svar. På et lavt nivå vil kjennetegn på dette være at elever identifisere

geometriske figurer ved hjelp av egenskaper, og på et høyere nivå vise at de relaterer flere figurer til et problem gjennom geometriske resonnement. Videre har Driscoll et al. (2007, s.

19) i sin analyse bemerket seg flere indikatorer på tenkevanen som de deler inn i tre kategorier:

Fokus på flere figurer:

- Sammenligner to geometriske figurer med å spesifisere noen egenskaper de har felles (kan være relevant eller irrelevant for å løse problemet)

- Sammenligner to geometriske figurer med å spesifisere alle egenskapene de har felles og hvorfor (relevant til problemet)

21

- Setter to geometriske figurer opp mot hverandre med å bemerke egenskaper de ikke har felles

- Sammenligner figurer med tanke på deres egenskaper i dimensjoner (1D, 2D og 3D) Fokus på deler i en enkelt figur:

- Bemerker og setter strukturer innen en geometrisk figur i sammenheng.

- Konstruerer strukturer innen en geometrisk figur

- Relaterer to geometriske figurer med å bemerke at de kan sees som deler av én figur.

Bruk av spesielle resonneringsferdigheter:

- Resonnerer forholdsmessig om to eller flere geometriske figurer - Bruker symmetri til å sette geometriske figurer i sammenheng

Generalizing geometric ideas innebærer å ha et ønske om å forstå og forklare på et generelt nivå, slik at man snakker om alle tilfellene av et geometrisk fenomen (Driscoll et al., 2007, s.

12). Det er viktig for elever å lære at det ofte ikke er nok å finne én løsning, eller et begrenset antall løsninger til et problem. Generelt vil kjennetegn på generalisering kunne være at å bruke løsningen på ett problem for å løse nye, eller om en elev innser å ikke ha funnet alle løsningene. På et høyere nivå vil det være å finne alle mulige løsninger og argumentere for hvorfor. Videre vil det også være å undre seg over hva som vil skje om konteksten endrer seg (Driscoll et al., 2007). Driscoll et al. (2007, s. 16) har satt sammen en liste som beskriver utvikling i evner for å generalisere:

22

Tabell 2.2: Indikatorer på utvikling av tenkevanen generalizing geometric ideas

(Driscoll et al., 2007, s. 16)

Driscoll et al. (2007, s.15) ser tenkevanene i sammenheng og forklarer det med at man i en problemløsningsprosess kan dra nytte av flere av tenkevanene. Et eksempel på dette vil være at en elev undersøker og oppdager pi (π) ved å gjøre målinger av flere sirkler, og ser på sammenhengen mellom omkrets og diameter. Da gjør elevene som Driscoll et al. beskriver som reasoning with relationship. Eleven har funnet et konstant forhold mellom omkrets og diameter i sirklene og kan gå så langt som å generalisere forholdet til å gjelde alle sirkler. Da har eleven gjort det som omtales som generalizing geometric ideas (Driscoll et al., 2007).

Den fjerde tenkevanen investigating invariants innebærer å analysere hvilke egenskaper som er de samme og hvilke som endrer seg om situasjonen endres (rotasjon, speiling etc.).

Kunnskap om geometriske egenskaper gjennom transformasjon er ifølge Driscoll et al. (2007, s. 13) viktig for å skille ulike typer geometri og de presiserer at slik kunnskap er nødvendig i

Lite utviklet Overgang Mer utviklet

- Tenker på relevante spesielle tilfeller (f.eks.

rettvinkla trekant, likesida trekant)

- Ser utover de spesielle tilfellene til andre - Oppfatter at det er andre løsninger, men vet ikke hvordan å komme fram til dem

- Er klar over at betingelsene gjelder for uendelig mange løsninger, betrakter bare et tilfelle - Ser et uendelig,

sammenhengende varierende sett av tilfeller som fungerer, men begrenser mengden

- Ser et helt sett av løsninger og kan forklare hvorfor det ikke er flere - Bemerker en regel som er universell for en

23

ulike yrkesgrupper hvor matematikk er viktig. Indikasjoner på slike undersøkelser vil kunne være når noen forsøker å transformere figurer uten å bli bedt om det, og betrakter hva som har endret seg og ikke. På et høyere nivå vil det være å undersøke ekstremtilfeller i et problem.

De skiller mellom dynamisk tenkning og verifisering av effekt (Driscoll et al., 2007, s. 20).

Dynamisk tenkning:

- Tenker dynamisk om et statisk tilfelle

- Undrer seg om hva som endres og hva som holder seg likt når det blir gjort en transformasjon

- Utfører flere transformasjoner og ser etter likheter

- Tenker på hva som skjer hvis man flytter et punkt eller en figur sammenhengende og forutser hva som vil skje.

- Tenker på enkelttilfeller og ekstremtilfeller under transformasjon Verifisering av effekt:

- Oppfatter at ikke alt endrer seg når man gjør en transformasjon

- Legger merke til at den samme virkningen skjer hver gang en type transformasjon blir gjort, og bemerker det

- Legger merke til hva som er konstant når man gjør en transformasjon og forklarer hvorfor.

I den samme oppgaven som ble presentert under tenkevanen balancing exploration and reflection var det en annen person som startet med å tegne en rettvinkla trekant og speilet den over hypotenusen. Siden utgangspunktet ikke er en likebeint trekant, vil løsningen passe beskrivelsen i oppgaven. I denne forklaringen tenker personen dynamisk og utfører transformasjoner (speiling) med figuren. Videre betrakter personen hva som endrer seg og ikke ved utførelse av transformasjonen, og verifiserer om det vil passe beskrivelsen i oppgaven.

Videre foreslår Driscoll et al. (2007, s. 95) noen prinsipper for undervisning som kan bidra til å fostre geometrisk tenkning. Geometrisk tenkning utvikles gjennom regelmessig

problembasert undervisning. Geometri på mellomtrinnet krever spesiell oppmerksomhet rundt lærer-elev kommunikasjon og arbeid med geometri på barneskolen er viktig grunnarbeid for

24

læring av geometri på ungdomstrinnet. De legger stor vekt på at elevene skal løse varierte oppgaver med ulike vinklinger, utvikle læringsmiljø som inneholder bruk av muntlig og skriftlig språk, og et bredt utvalg av representasjonsformer. Slike læringsmiljø omtaler de som multimodal mathematical communication (Driscoll et al. 2007, s. 100). Kommunikasjon mellom lærer og elev er viktig faktor for at elevene skal få den støtten de trenger for å forstå matematiske konsepter og de presiserer lærerens evne til å stille spørsmål som et viktig verktøy. De skiller mellom orienterende spørsmål hvor læreren retter elevenes fokus mot problemet de skal løse og ulike måter å løse det på, vurderende spørsmål for å få tak i elevenes forståelse og argumentasjon når de arbeider med et problem, og spørsmål som fremmer utvikling mot en dypere forståelse. På ungdomstrinnet og i videregående utdanning vil det være større fokus på formelle bevis og derfor mener Driscoll et al. at det er viktig å fokusere på kognitive utfordringer i oppgaver og utvikling av metakognitive ferdigheter, samt overbevisende forklaringer i geometriundervisningen på mellomtrinnet (Driscoll et al., 2007).