Para uma melhor compreensão do que será exposto aqui, é importante que se tenha a distinção entre os conjuntos de pontos sigma, as transformada unscented (TUs) e os filtros de Kalman unscented. Com efeito, um conjunto de pontos sigma é a aproximação da dis- tribuição de uma variável aleatória por um conjunto de pontos ponderados (na seção 3.2 definiremos com maior precisão como se dá essa aproximação). Uma TU é, por sua vez, uma aproximação da distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias, sendo que uma é o resultado da transformação da outra (na seção 5.1 faremos essa definção com mais rigor). Um FKU se utiliza de uma TU de forma recursiva tanto na função de processo quanto na função de medição de um sistema dinâmico (faremos a formulação dos FKUS de maneira mais precisa no capítulo 6).
Assim, no caso, por exemplo, do Filtro de Kalman Unscented Simétrico, o conjunto de pontos sigma é constituído pelo conjunto de pontos simétricos (que será apresentado logo a seguir) e a transformada é constituído por dois conjuntos de pontos: o conjunto de pontos sigma (no caso o simétrico) e outro em que cada pontos é a transformação do conjunto de pontos sigma simétrico.
Além disso, deve se ter em conta que cada FKU é apresentado em duas versões: uma conhecida como aumentada e outra conhecida como aditiva. Na primeira forma, a dimensão do vetor de estados é aumentada pela dimensão dos ruídos, de modo que se possa considerar estes de maneira não aditiva. Na segunda forma, esse aumento do vetor de estados não é feito e os ruídos são tratados de forma aditiva.
2.4.1 Filtros de Kalman Unscented: forma básica
2.4.1.1 Filtros de Kalman Unscented Simétricos
O grupo de autores que tem o mérito de apresentar e de dar os primeiros passos mais sólidos no tema da Transformada Unscented é composto por S.J. Julier, J.K. Uhlmann e H.F. Durrant-Whyte. Apesar de ser o primeiro filtro de kalman unscented proposto, o simétrico é ainda muito utilizado - sobretudo na forma escalada, a qual será apresentada mais à frente.
Esse filtro simétrico tem a particularidade de possuir os seus pontos - salvo o ponto situado na média - distribuídos simétricamente dois a dois em torno da média e os seus pesos todos iguais - salvo o peso do ponto central. Conforme veremos mais à frente, essa disposição de pontos e pesos permite que todos os momentos centrais amostrais ímpares sejam iguais a zero o que torna esse conjunto uma boa escolha para a estimação de variáveis aleatórias com densidade de probabilidade simétricas em torno da média, visto que estas também possuem todos os seus momentos ímpares iguais a zero [13].
O Filtro de Kalman Unscented Simétrico foi o primeiro a ser apresentado na literatura. Em particular, a forma simétrica foi sendo proposta de maneiras diferentes - mas equivalentes - até que tomou sua forma final em 2004. O primeiro trabalho dessa forma, que também é o primeiro trabalho dos filtros unscented, é o de [10] em 1995. Posteriormente, foram propostos [11, 12] até que em 2004 [13] esse filtro tomou a sua forma final.
Apresentamos a transformada unscented simétrica de [82] escrita no formato de lema12. Esse lema, além de reproduzir o resultado, contém um elemento que completa o resultado proposto: a inserção da condição de diferenciabilidade da função não-linear e a condição de que κ 6= n, omitidas em [82].
Lema 2.4.1 (Transformada Unscented Simétrica de [82]). Seja X ∈ ℜnuma variável aleatória gaussiana de média ¯X, matriz de covariância PXXe seja o mapeamento f : ℜn 7→ ℜmdifer- enciável até ordem k que define a variável aleatória Y tal que Y := f(X) e seja, ainda, os
conjuntos de pontos e pesos {χi, wi} e {γi, wi|γi = f (χi)}, para i = 1, 2, ..., n, tal que χ0 = ¯X, w0 = κ n + κ χi = ¯X + r n 1 − w0 PXX ∗i , wi = 1 n + κ, (2.13) χi+n = ¯X − r n 1 − w0 PXX ∗i , wi+n= 1 n + κ,
em que κ ∈ ℜ e κ 6= −n, as afirmações abaixo são verdadeiras [82]:
1. {χi, wi} tem a média amostral (ηχ), a matriz covariância amostral (Σχχ) iguais à ¯X e a PXX respectivamente [82].
2. Cada momento central amostral de ordem ímpar de {χi, wi} é igual ao momento cen- tral de X de mesma ordem que é igual a zero. O conjunto de pontos de χ1 a χ2n é o menor conjunto de pontos que consegue esta aproximação [82].
3. A Série de Taylor da média amostral de {γi, wi} não difere da Série de Taylor da média de Y até a quarta ordem [82].
4. A Série de Taylor da matriz de covariância amostral de {γi, wi} não difere da Série de Taylor da matriz de covariância de Y até a quarta ordem[82].
5. o valor de κ não altera o primeiro, nem o segundo e nem o terceiro momento amostral de(2.13) [82].
6. Para κ = 3 − n, o quarto momento central de {χi, wi} é igual ao quarto momento central de X[82].
7. Os coeficientes das Séries de Taylor da média amostral e da matriz de covariância
amostral de (2.13) progridem geometricamente com razão 1
n+κ. Portanto, se X for qualquer distribuição simétrica, e κ for tal que 0 < n + κ ≤ k, em que k é o valor do quarto momento central de X, a aproximação por (2.13) será melhor que a aprox-
imação por linearização [82].
Em [10], Julier e Uhlmann publicam um novo trabalho no tema de estimação por pontos sigma. Pouco inovativo em relação a [82], mas mais detalhado. Nesse trabalho, eles expõem o resultado mediante um método um pouco diferente do utilizado em [82], visto que apre- sentam antes a Transformada Unscented para depois mostrar o filtro recursivo - o qual deram o nome de filtro Unscented - que utiliza essa transformada.
O resultado pode ser condensado no lema a seguir13.
Lema 2.4.2 (Transformada Unscented Simétrica de [10]). Seja X ∈ ℜnuma variável aleatória de média ¯X, matriz de covariância PXX e simétrica14em relação a ¯X e seja o mapeamento f : ℜn7→ ℜm diferenciável até ordem k que define a variável aleatória Y tal que
Y = f (X),
e seja, ainda, os conjuntos de pontos e pesos {χi, wi} e {γi, wi|γi = f (χi)}, para i = 1, 2, ..., n, tal que χ0 = ¯X, w0 = κ n + κ χi = ¯X + r n 1 − w0 PXX ∗i , wi = 1 n + κ, (2.14) χi+n = ¯X − r n 1 − w0 PXX ∗i , wi+n = 1 n + κ,
em que κ ∈ ℜ e κ 6= −n, as afirmações abaixo são verdadeiras [10]:
1. {χi, wi} tem a média amostral (ηχ), a matriz covariância amostral (Σχχ) iguais à ¯X e a PXX respectivamente [10].
2. A Série de Taylor da média amostral de {γi, wi} não difere da Série de Taylor da média de Y até a segunda ordem [10].
3. A Série de Taylor da matriz de covariância amostral de {γi, wi} não difere da Série de Taylor da matriz de covariância de Y até a segunda ordem [10].
4. Se X for gaussiana, o valor κ = 3 − n será uma boa escolha heurística [10].
5. Se κ < 0, a matriz de covariância amostral dos amostras transformadas pela função
f pode vir a ser não-positiva definida [10].
Temos uma crítica com relação a esse trabalho. Ele afirma que "o algoritmo serve para
qualquer escolha do modelo de processo"[10]. (grifo do autor). O que não é verdade. Como
veremos, a transformação só pode ser usada com funções diferenciáveis até, pelo menos, a segunda ordem (vide Lema 5.1.2).
13Da mesma forma que na definição anterior, esse lema não se apresenta de forma explícita em [10]. 14A definição de variável aleatória simétrica em relação a um certo ponto pode ser encontrada na definição A.1.1.
Em 2004 Julier publica [13] que que reúne os resultados até então desenvolvidos nessa área - não apenas os conjuntos pontos simétricos, mas também a escalada, que veremos mais a frente, e outros - e mostra a própria Transformada de uma maneira um pouco mais intuitiva que nos trabalhos anteriores15.
Lema 2.4.3 (Transformada Unscented Simétrica). Seja X ∈ ℜn uma variável aleatória de média ¯X, matriz de covariância PXX e simétrica16em relação a ¯X e seja o mapeamento f : ℜn 7→ ℜm diferenciável até ordem k que define a variável aleatória Y tal que Y := f (X) e seja, ainda, os conjuntos de pontos e pesos {χi, wi} e {γi, wi|γi = f (χi)}, para i = 1, 2, ..., n, tal que χ0 = ¯X, χi = ¯X + r n 1 − w0 PXX ∗i , wi = 1 − w0 2n , (2.15) χi+n = ¯X − r n 1 − w0 PXX ∗i , wi+n= 1 − w0 2n ,
em que w0 ∈ ℜ e w0 6= 1, as afirmações abaixo são verdadeiras [13]:
1. {χi, wi} tem a média amostral (ηχ), a matriz covariância amostral (Σχχ) iguais à ¯X, a PXX respectivamente.
2. Cada momento central amostral de ordem ímpar de {χi, wi} é igual ao momento cen- tral de X de mesma ordem.
3. A média amostral de {γi, wi} difere da média de Y a partir da quarta ordem da série de Taylor e apenas nos termos de ordem par.
4. A matriz de covariância amostral de {γi, wi} difere da matriz de covariância de Y a
partir da segunda ordem da série de Taylor e apenas nos termos de ordem par.
Apresentadas as transformadas unscented simétricas, exibiremos os algoritmos do fil- tro de kalman unscented aumententado simétrico e do filtro de kalman unscented simétrico aditivo utilizando a última forma da transformada unscented simétrica (a de [13]).