A metodologia proposta por Shimko (1993)recorre em grande parte à ideia básica de Breeden e Litzenberger (1978), já aqui apresentada, de que a segunda derivada parcial da função de cálculo do preço da opção em relação ao preço de exercício é directamente proporcional à função de densidade de probabilidade final do preço do activo subjacente.
Desta forma, e pelo facto de não assumir qualquer hipótese relativamente à forma paramétrica da função de densidade de probabilidade ou ao processo estocástico seguido pela evolução do preço do activo subjacente, a sua análise reveste-se de algum interesse.
Shimko (1993),propõe uma abordagem assente na extrapolação da função de densidade de probabilidade a partir das volatilidades implícitas em vez da extrapolação a partir do preço das opções. Segundo o autor, as volatilidades implícitas, calculadas com base no modelo de Black-Sholes, são uma função mais suave dos preços de exercício do que os preços das opções, justificando assim o facto de a sua abordagem ser desenvolvida com base nas primeiras. Nesse sentido, o processo de determinação da função de densidade de probabilidade começa com o cálculo das volatilidades implícitas através da utilização invertida da fórmula de Black-Sholes, com base nos preços das opções observados no mercado. Uma vez calculadas as volatilidades implícitas, associadas a cada preço de exercício, estaremos na presença de um conjunto de pontos que permitem calcular uma curva “smile” através de um método de interpolação que produza um ajustamento suave.
Shimko (1993), assume neste ponto que a volatilidade implícita é uma função quadrática do preço de exercício para todos os preços de exercício no intervalo entre o menor e o maior preço de exercício negociável. Desta forma estaremos na presença de uma relação funcional em que as volatilidades implícitas são função dos preços de exercício. Através da introdução desta relação funcional na fórmula de valorização de Black-Sholes iremos obter os preços das opções como uma função contínua dos preços de exercício43.
Posteriormente, efectuando a segunda derivada desta função de cálculo de preço da opção, em ordem ao preço de exercício e multiplicando-a por erτ, obtém-se a função de
densidade de probabilidade neutra ao risco implícita nos preços das opções, para o intervalo compreendido entre o menor e o maior preço de exercício negociáveis.
No que diz respeito aos preços de exercício excluídos fora do intervalo atrás referido, os quais estão associados as abas esquerda e direita da função de densidade, Shimko propõe uma extrapolação recorrendo a utilização de funções de densidade lognormais, de modo a que a probabilidade cumulativa total seja igual a um e que a função de densidade obtida seja contínua.
Shimko (1993), fez uso desta metodologia para estimar funções de densidade de probabilidade para o índice S&P 100 para várias datas compreendidas entre os anos de 1987 e 1989. Malz (1997a), utiliza uma versão da metodologia proposta por Shimko, recorrendo ao delta da opção em vez do preço de exercício, como variável a utilizar no eixo das abcissas aquando da determinação da curva ajustada do “volatility smile”. A abordagem desenvolvida por Shimko não é, porém isenta de críticas. O procedimento de extrapolação utilizado para completar as abas da distribuição, fora do intervalo entre o maior e o menor preço de exercício, para além de não utilizar a informação contida nos preços das opções, atribui uma estrutura de volatilidade constante à curva “smile”, para preços de exercício fora do intervalo negociado, hipótese algo difícil de aceitar, como já vimos anteriormente. Esta hipótese tem igualmente consequências sobre a configuração da distribuição de probabilidade final. Uma vez que a distribuição final resulta da combinação de três componentes distintas é natural que nem sempre se obtenha uma transição suave de uma secção da distribuição para outra.
O facto de assumir que a curva “smile” pode ser representada por uma relação quadrática entre a volatilidade implícita e o preço de exercício revela-se, igualmente, uma hipótese bastante restritiva. A realidade mostra, nomeadamente, no mercado de acções, que a curva “smile” tende a não apresentar uma forma parabólica para preços de exercício fortemente “in-the-money” ou “out-of-money”. O problema atrás descrito é porém superável através da utilização na interpolação de outro tipo de funções, nomeadamente, hiperbólicas, polinomiais e “splines” quadráticos e cúbicos com diferentes números de pontos “knot”, conforme o sugerido por Campa, Chang e Reider (1998).
Na maior parte dos casos, segundo Bahra (1997), a adopção de um “spline” cúbico com dois pontos “knot”, possui uma melhor capacidade de ajustamento que qualquer outra forma funcional.
Note-se que, a escolha da função interpolante se reveste de uma importância extrema, na medida em que determinados “smile” estimados podem conduzir a relações côncavas entre os preços das opções e os preços de exercício das quais resultariam probabilidades negativas.
Panigirtzoglou e Bliss (2000), propõem um método de estimação do “volatily smile” que combina os aspectos positivos da abordagem de Malz (1997a) e Campa, Chang e Reider (1998), extrapolando-o com base na relação entre a volatilidade e o delta da opção e utilizando posteriormente um “spline” natural para o cálculo da função ajustada.
Uma última nota prende-se com a utilização que Shimko faz da fórmula de Black-Sholes. De acordo com Bahra (1997), a utilização que Shimko faz da fórmula não necessita que esta seja válida, na medida em que é apenas utilizada como um instrumento que permite a passagem do domínio dos preços observados das opções para o das volatilidades implícitas, pois de acordo com o autor, as volatilidades implícitas são uma função mais suave dos preços de exercício do que dos preços das opções.