Vernepliktsforvaltningen: Autonom eller behovsregulert?

O exemplo anterior permitiu-nos ilustrar num caso simples o Teorema Geral da Inércia. A relação entre as inércias das matrizes na equação de Lyapunov será central no desenvolvimentos da nossa teoria nos capítulos seguintes.

2.3

Estabilidade de Soluções Periódicas

O passo natural a dar em seguida no estudo da estabilidade do sistema (2.1) é passar do estudo da estabilidade de um ponto de equilíbrio para a estabilidade de uma ór- bita periódica do sistema. Vamos em primeiro lugar precisar o que entendemos por estabilidade de uma órbita para um sistema autónomo

9

x_“f_px_q. (2.10)

Definição 2.6. Considere-se uma soluçãoγ : I_{Ă r}t0,`8q ÑRn da equação (2.10). Da-

dosε _ą0, se existirδ_ą0 tal que para qualquer_|γ_pt0q ´x0| ăδ temos|xpt; t0, x0q ´

γ_pt_{q| ă}ε, para todo o t_ět0, então a órbitaγ diz-se estável. Se além disso lim_tÑ8|xptq´

γ_pt_{q| “}0 entãoγ diz-se assimptoticamente estável.

Relembramos que uma órbitax_pt_qda equação (2.10) é periódica se estiver definida em R e se existirT _ą0 tal que para qualquert_PRtemosx_pt_`T_{q “}x_pt_q. Além disso, ao assumirmos a regularidade necessária de forma a termos existência e unicidade, podemos considerar uma nova solução da equação (2.10) definida a partir de uma perturbaçãoξ da solução periódica γ por

α_pt_{q “}γ_pt_{q `}ξ_pt_q.

Comoα é também solução da equação (2.10), usando a expansão de Taylor def para t fixo em torno de γ_pt_q, teremos de imediato

9

γ_pt_{q ` 9</sub>ξ<sub>p</sub>t<sub>q “</sub>f<sub>p</sub>γ<sub>p</sub>t<sub>q `}ξ_pt_{qq “}f_pγ_pt<sub>qq `</sub>Jfpγptqqξptq `Rpγptq, θq, (2.11) onde naturalmenteJf é a matriz jacobiana def e Rpγptq, θqo respectivo resto de La- grange. Como estamos preocupados essencialmente em estudar um problema de es- tabilidade, consideramos a parte linear da equação2.11

9

ξ_pt_{q “}Jfpγptqqξptq. (2.12) A equação linear (2.12) é usualmente denominada por equação variacional e a matriz

2. ESTABILIDADE SEGUNDOLYAPUNOV 2.3. Estabilidade de Soluções Periódicas

Jfpγptqq por matriz variacional. Note-se que embora o sistema (2.12) não seja um sistema autónomo, a matriz variacional é uma matriz periódica com períodoT .

Consideremos por momentos um sistema periódico genérico da forma do sis- tema (2.12)

9

x_“A_pt_qx, (2.13)

comA_pt<sub>`</sub>T<sub>q “</sub>A<sub>p</sub>t<sub>q</sub>. Considere-se Φpt<sub>q</sub> uma matriz fundamental do sistema (2.13). Pelo facto de <sub>A ser uma matriz periódica verifica-se que Φp</sub>t`Tq é igualmente uma matriz fundamental para o mesmo sistema. A proposição seguinte relata-nos duas propriedades fundamentais (que de tão fundamentais perdoa-se o pleonasmo) das matrizes fundamentais. Para uma referência completa dos resultados que se seguem ver por exemplo [Chi06] ou [Bet10].

Proposição 2.1. Seja Φ uma matriz fundamental do sistemax9 _“A_pt_qx e C uma matriz quadrada de ordem n com entradas reais, constante e com determinante não-nulo. Então são verificadas as seguintes proposições

1. A matriz ΦptqC ainda é uma matriz fundamental do sistema;

2. Dada uma qualquer matriz fundamental Ψpt_qdo sistema considerado, existe uma matriz real quadrada D, constante e com determinante não-nulo tal que para qualquer_{t, Ψp}t_{q “Φp}t_qD.

Pela proposição anterior podemos então garantir a existência de uma matriz realC_Φ

invertível tal que para qualquert_PR

Φpt_`T_{q “Φp}t_qC_Φ.

A matrizC_Φ designa-se por matriz de monodromia associada a Φ. Dada uma matriz Ψpt_q que seja ainda uma matriz fundamental do sistema (2.13), pela proposição 2.1, sabemos da existência de uma matriz invertívelD tal que para qualquer t_PR

Ψptq “ΦptqD.

Deste modo obtemos sucessivamente

2. ESTABILIDADE SEGUNDOLYAPUNOV 2.3. Estabilidade de Soluções Periódicas

De um modo perfeitamente análogo

Ψpt_`T_{q “}Ψpt_qC_{Ψ “Φp}t_qDC_Ψ.

Como Φpt_qé uma matriz invertível obtemos directamente das duas igualdades anteri- ores

C_ΦD_“DC_Ψ,

ou seja, matrizes de monodromia associadas a matrizes fundamentais do mesmo sistema são matrizes semelhantes. Isto significa que o seu espectro é igual. Os valores próprios de uma matriz de monodromia merecem assim a designação especial de

multiplicadores característicos pois são invariantes para o sistema (2.13). O teorema seguinte mostra-nos que a partir dos multiplicadores característicos podemos retirar conclusões qualitativas em relação às soluções do sistema.

Teorema 2.6. Dado um qualquer λ_PC, λ é um multiplicador característico de (2.13) se e apenas se exitir uma solução de (2.13) não identicamente nulaϕ : R_ÑCntal que, para qualquert_PR

ϕ_pt_`T_{q “}λϕ_pt_q.

Corolário 2.6.1. O sistema (2.13) admite soluções periódicas não triviais se e apenas se 1 for um seu multiplicador característico. Além disso se _´1 for um multiplicador

característico então existe uma solução 2T -periódica do sistema que não é T -periódica.

Não sendo as órbitas periódicas em geral assimptoticamente estáveis, a próxima definição estabelece as condições em que estas são (assimptoticamente) orbitalmente

estáveis.

Definição 2.7. Considere-se γ : R _Ñ Rn uma órbita periódica do sistema (2.10) e o conjunto Γ “γ_pR_q. A órbitaγ diz-se orbitalmente estável se para qualquer ε_ą0 existe

umδ_ą0 tal que, para qualquert_ą0

d_px0, Γq ăδ então dpxpt; 0, t0q, Γq ăε.

Se além do verificado anteriormente, tivermos conjuntamente

lim

tÑ8dpxpt; 0, t0q, Γq “0, a órbitaγ diz-se assimptoticamente orbitalmente estável.

2. ESTABILIDADE SEGUNDOLYAPUNOV 2.3. Estabilidade de Soluções Periódicas

O próximo resultado sintetiza em si toda a motivação para a introdução dos mul- tiplicadores característicos.

Teorema 2.7. Considere-se uma solução periódica γ : R _Ñ Rn do sistema (2.10). Su- pondo quen_´1 multiplicadores característicosλi são em módulo menores do que 1, entãoγ é assimptoticamente orbitalmente estável. Além disso, supondo que

|λi| ăaă1; i“2, . . . , n;

sendo T o período de γ e c _“γ_p0_q, então existem δ _ą 0 e L_ą 0 tais que para qual-

querx0PBpc, δqexisteτPRtal quexpτq “x0e

|x_pt_`τ; x0, τq ´γptq| ďLat{T.

Demonstração. Ver [Har64], pag. 254.

Uma ferramenta fundamental para estudar a estabilidade de uma órbita periódica é a chamada aplicação de Poincaré. Esta será usada no capítulo 3 para demonstrar a convergência das soluções de um sistema para a aí denominada variedade dócil. A demonstração da proposição seguinte pode ser encontrada em [Bet10], página 308. Proposição 2.2. Dado um campo vectorialf , vamos supôr que γ é uma solução perió- dica de (2.10) com períodoT . Considerando γ_p0_{q “} x0 PRn, definimos o hiperplano

ortogonal af_px_qemx0 por

Mx0 “ txPRn: px´x0q ¨fpx0q “0u.

Então existe uma vizinhançaU de x0 e uma aplicação τ : U Ñ Rde classe C1 tal que

τ_px0q “T e xpτpxqq PMx0para todo oxPU. A aplicação P : UXMx0ÑMx0 definida

porP_px_{q “}x_pτ_px_qqdesigna-se por aplicação de Poincaré.

No caso de a matrizP1_{px0qter todos os valores próprios com módulo inferior a 1,} mostra-se queP é uma contracção e para qualquer x_PU_XMx0 verifica-se

lim nÑ8P

n

px_{q “}x0,

demonstrando-se assim a estabilidade deγ, pois significa que pequenas perturbações

desta órbita convergem assimptoticamente para a órbitaγ.

Nos casos que vamos tratar nos capítulos seguintes, as equações são regra geral não-autónomas. Isto significa que o campo vectorial também depende explicitamente

2. ESTABILIDADE SEGUNDOLYAPUNOV 2.3. Estabilidade de Soluções Periódicas

da variável t. Nestas condições a aplicação de Poincaré fica mal definida, visto que o

vector normal varia ao longo do tempo. Contudo, no caso em que o campo vectorial éT -periódico, podemos considerar o quociente R_{T Z, o que equivale a transformar o

espaço num cilindro. Considerando no cilindro o hiperplanot “T , poderemos neste

definir a aplicação de Poincaré. Esta aplicação tem o nome de aplicação estroboscópica

de Poincaré. Será esta aplicação que será usada no caso em que o campo vectorial não

é autónomo.

Terminamos este capítulo com uma visita breve ao exemplo clássico do chamado sistema de Lorenz.

Exemplo 2.4. Até Edward Lorenz introduzir em 1963 uma simplificação das equações

de convecção apresentadas no ano anterior por Saltzman, os únicos atractores conhe- cidos em equações diferenciais eram os pontos de equilíbrio e as órbitas periódicas. Foi com o sistema de equações apresentado por Lorenz em [Lor63]

$ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ % 9 x_“σ_py_´x_q 9 y_“ρx_´y_´xz 9 z_“xy_´βz, (2.14)

onde dos três parâmetros positivos,σ representa o número de Prandtl, ρ o número de Rayleigh eβ um parâmetro relacionado com o tamanho do sistema, que se conheceu o primeiro exemplo daquilo que mais tarde foi cunhado por atractor estranho por Ruelle e Takens em [RT71]. Embora o sistema (2.14) tenha propriedades extraordinárias do ponto de vista topológico (ver [HSD04] ou [GW79] para todos os detalhes), aqui estare- mos apenas interessados em estudar o comportamento do sistema de Lorenz segundo o ponto de vista da estabilidade.

O sistema (2.14) pode ser representado de uma forma abreviada porX9 _“L_pX_q. Os pontos de equilíbrio serão a solução do sistema L_pX_{q “} 0. É imediato verificar que a

origem é um ponto de equilíbrio. Os outros pontos de equilíbrio serão representados por

Q_˘“´_˘aβ_pρ_´1_q,_˘aβ_pρ_´1_q, ρ_´1¯.

2. ESTABILIDADE SEGUNDOLYAPUNOV 2.3. Estabilidade de Soluções Periódicas

Figura 2.2: Atractor de Lorenz para os valores clássicos dos parâmetrosσ “10,β“8{3 eρ“33. Imagem produzido por NUMDE.

sistema (2.14) dá origem ao sistema de equações diferenciais

9 Y _“ ¨ ˚ ˚ ˝ ´σ σ 0 ρ_´z _´1 _´x y x _´β ˛ ‹ ‹ ‚ Y .

Na origem os valores próprios da matriz serão_´β e λ_˘dados por

λ_˘“ 1 2 ˆ ´pσ_{`</sub>1<sub>q ˘</sub> b pσ <sub>`}1_q2_´4σp1´ρq ˙ .

Quandoρ _{P r}0, 1_q, os valores própriosλ_˘são ambos negativos o que mostra que neste caso a origem é um ponto de equilíbrio assimptoticamente estável. Contudo quando ρ _ą 1 a origem perde esta propriedade. No entanto em [HSD04] é demonstrada a proposição seguinte.

Proposição 2.3. Os pontos de equilíbrio Q_˘ são assimptoticamente estáveis quando o parâmetroρ verifica as desigualdades

1_ăρ_ăρ˚ _“σ ˆ σ _{`</sub>β<sub>`}3 σ _´β_´1 ˙ .

2. ESTABILIDADE SEGUNDOLYAPUNOV 2.3. Estabilidade de Soluções Periódicas

suga todas as órbitas do sistema de Lorenz. Considerando a função

Λpx, y, z_{q “}x2_{`</sub>y2<sub>` p}z_´σ _´ρ_q2,

a derivada de Lie de ΛpX_qem relação ao campo vectorialL_pX_qé dada por

∇_LpXqΛpX_{q “ ´}2 ˆ σ x2_{`</sub>y2<sub>`}β´z_´ρ`σ 2 ¯2 ´β´ρ`σ 2 ¯2˙ . Assim, para um elipsóide definido pela equação

σ x2_{`</sub>y2<sub>`}β´z_´ρ`σ

2 ¯2

“µ,

para valores de µąβpρ`σq2_{{4 temos que a derivada de Lie da função ΛpXqé nega-}

tiva. Sendo imediato demonstrar que ΛpX_qé positiva para todos os pontos diferentes de

p0, 0, σ_`ρ_qverifica-se que ΛpX_qé de facto uma função de Lyapunov para o sistema de Lorenz. Note-se que o sentido dado aqui ao conceito de função de Lyapunov é diferente do sentido empregue anteriormente. Foi demonstrado que as órbitas do sistema de Lo- renz são atraídas para dentro de uma caixa que contém os pontos de equilíbrio. Pelo facto de esta função Λ ser uma função de Lyapunov, fica garantido que essas órbitas não mais poderão deixar essa caixa. Para os valores dos parâmetros, σ _“10, ρ _“33

e β_“8_{3 (ver fig. 2.2), nenhum dos pontos de equilíbrio é estável. Estes dois factores juntos, os pontos de equilíbrio serem repulsores e a existência de uma caixa que os con- tém que aprisiona as órbitas, formam as condições para o aparecimento do atractor de Lorenz.

a minha cidade tinha um rio donde sobe hoje o cheiro a corações de lodo e um eflúvio de enxofre e de moscas cercando as cabeças dos vivos

— AL BERTO, Horto de Incêndio, (1997)

Morning found us calmly unware, Noon burn gold into our hair, At night we swam in laughing sea, When summer’s gone, where will we be?

3

Teoria Geral das Variedades Centrais

Estáveis Invariantes

3.1

Condição de Russel Smith

Considere-se um sistema de equações diferenciais representado por

9

x_“f_px, t_q, x_PRn_{, tP}R_{. (3.1)} Vamos em todos os momentos assumir, e caso nada seja dito em contrário, que as soluções do sistema (3.1) verificam as seguintes propriedades:

(H1) A equação (3.1) verifica a existência e a unicidade de soluções e estas estão defi- nidas em R;

(H2) Existe uma constanteT _ą 0 tal que f_px, T _`t_{q “} f_px, t_q, para todo o t _PR e para todo ox_PR_;

(H3) Existe uma matriz simétrica P _P M_nˆnpR_q, com j valores próprios negativos e

comn´j valores próprios positivos, e constantes λą0 eεą0 tais que

px_´z_qTPrf_px, t_{q ´}f_pz, t_{q `}λ_px_´z_{qs ď ´}ε_}x_´z_}2,

3. TEORIAGERAL DASVARIEDADES 3.1. Condição de Russel Smith

A hipótese (H3) foi introduzida por Russel Smith em [Smi84] para um sistema autó- nomo. A forma como é aqui apresentada foi reescrita pelo mesmo autor em [Smi86]. Considere-se a forma quadráticaV_px_{q “}xTP X e duas quaisquer soluções da equação

(3.1),xptqezptq. Sem dificuldades, podemos concluir que

d dt e

2λt_{Vpx´zq( “2e}2λt_px´zqT_{Prfpx, tq ´fpz, tq `λpx´zqs,}

demonstrando-se assim que a hipótese (H3) é equivalente a termos

d dt e

2λt_V

px_´zq( ď ´2e2λtε_}x_´z_}2. (3.2) De forma a controlarmos o comportamento deV_px_´z_qquando t_{Ñ ´8}, integrando por partes ambos os membros da desigualdade (3.2), iremos obter

e2λtV_px_pt_{q ´}z_pt_{qq ´}e2λt0_Vpxpt

0q ´zpt0qq ě2ε żt0

t

e2λt_}x_pt_{q ´}z_pt_q}2dt.

Assim, de forma a controlarmos o comportamento de V_px_´z_q quando t _{Ñ ´8}, é natural introduzirmos a definição seguinte.

Definição 3.1. Um ponto _px0, t0q P Rn ˆR diz-se dócil se a solução xpt; t0, x0q da

equação (3.1), para qualquerτ_PRverifica

żτ ´8

e2λt_}x_pt; t0, x0q}2dtă 8.

Neste casox_pt; t0, x0qdesigna-se por solução dócil.

Obviamente, qualquer solução limitada é dócil. Um exemplo de uma função que não seria uma solução dócil é x_pt_{q “}et2. Note-se também que assumindo como hipótese que as soluções da equação (3.1) existem para todo o t _P R_{, se uma determinada} solução for dócil então todos os pontos da forma _px_pt; t0, x0q, tq, com t P R, serão também pontos dóceis.

Embora em (H3) se imponha que a matriz P não tem valores próprios nulos, tal

não era necessário visto que surge como implicação directa da própria desigualdade. De facto, seP admitisse um valor próprio nulo então existiria v1PRn´ ÝÑ0

(

tal que

P v1“0. Substituindox´z“v1em (H3) obtemos 0_{ď ´}ε_}v1}2,

In document EN FOR ALLE (sider 95-0)