Desde os anos sessenta do século passado até à actualidade, um sinuoso caminho foi percorrido, fruto de um percurso com avanços e retrocessos. Como referem Rodrigues e Fernandes (1995), durante muitos anos, a actividade matemática era entendida “como um conjunto de regras a aprender e a aplicar sem qualquer ligação com a realidade” (p. 413), sendo o ensino, nos diferentes níveis de escolaridade, de carácter teórico e apoiado na memorização. Tempos houve, aliás, em que a evolução do conhecimento matemático e do seu papel na sociedade não se reflectiu ao nível da escola, criando um fosso entre a Matemática como conhecimento e a Matemática escolar que se ensinava na escola, o que gerou uma contestação sobre a deficiente formação dos alunos (Resnick & Ford, 1991).
A grande mudança provocada pelo movimento da “Matemática Moderna” teve implicações profundas também ao nível do ensino da Geometria. De facto, até essa época, de um modo geral, a educação geométrica era, sobretudo, uma construção teórica (Matos & Serrazina, 1996) através de abordagens como a “manipulação” de algoritmos algébricos, segundo princípios, definições, axiomas e postulados e outras actividades mecanicistas de resolução de exercícios que repetiam os modelos explanados pelo professor. Segundo Rodrigues e Fernandes (1995), tais abordagens:
Conduziam o aluno à aquisição de um conjunto de conhecimentos teóricos e técnicos que lhe permitiam em estudos posteriores aprender novas técnicas e novos conhecimentos igualmente teóricos, assim como à obtenção de mecanismos necessários para dar resposta a testes de avaliação. (p. 413)
Como reacção à Geometria Euclidiana ensinada nas escolas, esta foi, em boa parte, durante alguns anos, relegada para segundo plano em favor de outros assuntos. Este processo de redução da importância da Geometria no currículo é também evidenciado por Veloso (1998), que afirma ter a generalização da chamada “Matemática Moderna” tornado a Geometria um “parente pobre” da álgebra linear. O interesse pela Geometria decresceu, passando a ocupar um lugar muito secundário, visível nos currículos escolares nacionais e internacionais (Vieira & Araújo, 2008). Como consequência desta reforma, em Portugal, no ensino básico, quase desapareceram os aspectos relacionados com a observação, a experimentação e a construção (idem). Negligenciou-se, assim, o desenvolvimento de competências essenciais como “as capacidades espaciais subjacentes, adquiridas através de actividades manipulativas, que são pré-requisitos essenciais para a compreensão e conhecimento profundo dos conhecimentos geométricos” (Martins, 2008, p. 18). Na perspectiva de diversos autores,
tais como Gomes e Ralha (2005) e Veloso (1998), estas lacunas ao nível dos conhecimentos e competências de Geometria ainda hoje se fazem sentir. Como destaca Veloso (1998), gerações de alunos, muitos deles actuais professores de Matemática, “atravessaram o ensino de Matemática tendo como únicos contactos com a Geometria elementar o teorema de Pitágoras e algumas fórmulas para o cálculo de áreas e volumes” (p. 23). No entanto, o movimento da Matemática Moderna teve outras consequências menos negativas, como as preocupações pedagógicas e psicológicas relacionadas com o processo de ensino e aprendizagem. Entre outros aspectos inovadores, salienta-se a contribuição de psicólogos (nomeadamente Piaget e Bruner), que procuravam conhecer a forma como os alunos aprendem, ou o reconhecimento do papel activo desempenhado pelos alunos no acto de aprendizagem, que se evidenciaram como determinantes no ensino durante a segunda metade da década de sessenta (Resnick & Ford, 1991).
A evolução da Matemática, resultante do progresso da investigação, das formas de pensar e entender a Matemática, em geral, e a Geometria, em particular, implicou, também, mudanças ao nível da Matemática escolar:
A evolução da própria ciência exerce uma influência considerável (...). Também a evolução das ideias a respeito da natureza da Matemática e dos processos de pensamento matemático tem constituído uma fonte de inspiração e fundamentação para propostas e iniciativas concretas de âmbito curricular. (Ponte et al., 1998a, p. 22)
Apesar das mudanças introduzidas, de acordo com Rodrigues e Fernandes (1995), a comunidade educativa ainda considera que o tipo de ensino que se desenvolve conduz a uma aprendizagem insuficiente e limitativa e tem como consequência o desinteresse. Neste contexto, vem- se reconhecendo, especialmente nas últimas décadas, a necessidade de redefinir o lugar da Geometria nos currículos escolares (Abrantes, Serrazina & Oliveira, 1999). Para Vieira e Araújo (2008), esta revalorização da Geometria nos programas de Matemática com a ligação do ensino à realidade justifica-se por vivermos e movimentarmo-nos num mundo que não é abstracto, nem virtual, mas concreto e tridimensional: “a sala de aula é tridimensional e estamos rodeados de objectos tridimensionais” (p. 160). Também Barros e Palhares (1997) partilham esta perspectiva referindo que “o espaço é entendido pelo homem comum como o seu suporte físico e dos objectos que o rodeiam” (p. 69). Fernandes (2006), por sua vez, justifica esta revalorização com o reconhecimento do seu papel no contexto da Educação Matemática, pois, perante o “fracasso da Matemática Moderna para resolver os problemas da aprendizagem da matemática, o ensino da Geometria começou, de novo, a
ser defendido por pedagogos e matemáticos das escolas, salientando-se o seu importante papel formativo” (p. 3).
Outros investigadores referem, também, as suas opiniões a favor da revalorização da Geometria, mas de um ponto de vista concreto articulado com a vida dos alunos e com recurso a metodologias activas. Segundo Abrantes (1999), a Geometria evidencia-se como “uma área particularmente propícia à realização de actividades de natureza exploratória e investigativa” (p. 53). Rodrigues e Fernandes (1995) atribuem a este tema uma função formativa actual – centrada na construção de conhecimentos de forma activa e no desenvolvimento de competências com aplicação na vida dos indivíduos:
É geradora de problemas de grande riqueza e facilitadora da compreensão do Universo. Tem um grande valor formativo que lhe é conferido pela sua fácil interacção com outros campos da Matemática, onde se criam múltiplas situações problemáticas que permitem formular problemas, podendo coexistir os aspectos lúdicos e de interesse prático eminentemente favoráveis à aprendizagem. (p. 423)
Apelando à concretização e à visualização e recorrendo, de modo sistemático, à manipulação de materiais, Abrantes (1999) considera que a aprendizagem da Geometria enquadra-se no processo de ensino e aprendizagem actual, que se pretende apoiado na construção de conhecimentos activos, pela descoberta e pela resolução de problemas, desde os níveis escolares mais elementares. O autor explicita estas ideias afirmando que na Geometria:
Há um imenso campo para a escolha de tarefas de natureza exploratória e investigativa, que podem ser desenvolvidos na sala de aula, sem necessidade de um grande número de pré-requisitos e evitando, sem dificuldade, uma visão da Matemática centrada na execução de algoritmos e em “receitas” para resolver exercícios-tipo. (p. 53)
Como resultado desta perspectiva, actualmente, no ensino e na aprendizagem da Geometria, tende-se a contemplar a perspectiva indutiva, que defende que o conhecimento geométrico se constrói pela experiência e que é através de diversas experiências que o aluno vai tirando as suas próprias conclusões e construindo o seu conhecimento (Veloso, 1998; Matos & Serrazina, 1996).
A nível internacional, Freudenthal, citado por Abrantes (1999), atribui a importância da Geometria a uma função vital, que deriva da própria existência da humanidade, enfatizando que, sendo esta, em síntese, compreender o espaço, a criança “deve aprender a conhecer, explorar, a conquistar,
de modo a poder aí viver respirar e mover-se melhor” (p. 53). Esta posição leva Abrantes (1999) a concluir que “a Geometria torna-se um campo privilegiado de matematização da realidade e de realização de descobertas” (p. 53). A riqueza da Geometria estará na concretização, na exploração e na manipulação, porque, fazendo parte da vida de todos os dias, é neste contexto real que ela ganha sentido e se constitui como aprendizagem activa e significativa. Seguindo esta linha de pensamento, Abrantes (1999) apresenta quatro argumentos, sobre a riqueza e variedade da Geometria, que justificam a sua valorização no currículo e nas aulas de Matemática:
- Em geometria, contacta-se com uma grande variedade de objectos e situações. Trabalha-se no plano e no espaço, com figuras planas ou poliedros, por exemplo, podendo descobrir-se e explorar-se um grande número de propriedades e conexões. A relação entre situações da realidade concreta e situações matemáticas encontra na geometria inúmeros exemplos e concretizações;
- A geometria é uma fonte de problemas de vários tipos: de visualização e de representação; de construção e de lugares geométricos; envolvendo transformações geométricas; em torno de ideias de forma e de dimensão; implicando conexões com outros domínios da Matemática, como os números, a álgebra, o cálculo combinatório, a análise; apelando a processos de “organização local” da Matemática, nomeadamente de classificação e hierarquização a partir de determinadas definições e propriedades;
- As actividades investigativas em geometria conduzem rapidamente à necessidade de se lidar com diversos aspectos essenciais da natureza da própria Matemática. Formular e resolver problemas, fazer conjecturas, testá-las, validá-las ou refutá-las, procurar generalizações, comunicar descobertas e justificações, tornam-se processos naturais. Ao mesmo tempo, surgem oportunidades para se discutir o papel das definições e para se examinar as consequências de se adoptar uma ou outra definição, assim como para compreender a natureza e o valor da demonstração em Matemática. Além disso, a geometria oferece numerosas ocasiões para se conhecerem exemplos sugestivos de história e da evolução da Matemática;
- Explorações e investigações em geometria podem fazer-se em todos os níveis de escolaridade e a diversos níveis de desenvolvimento. Este facto tem implicações curriculares evidentes. (p. 53)
Neste contexto de mudança, a International Comission on Mathematical Instruction (ICMI, 1995), ao reequacionar o ensino da Geometria na escola, considera a Geometria a parte da Matemática mais intuitiva, concreta e ligada à realidade, atribuindo-lhe, por isso mesmo, um papel essencial no quotidiano, enquanto “ferramenta para a compreender, descrever e interagir com o espaço em que vivemos (ICMI, 1995, p. 1). O NCTM (1991) também partilha desta perspectiva ao afirmar que “a Geometria proporciona uma visão diferente da matemática” (p. 61), trazendo, por isso,
benefícios a sua introdução desde os anos iniciais de escolaridade por envolver as crianças nas diversas situações, ser transversal ao currículo e poder constituir um estímulo ao desenvolvimento da criança em outros temas da matemática.
Para além da sua introdução no currículo, questionam-se quais os conteúdos geométricos a abordar e quais as metodologias a utilizar. É o caso de Gomes e Ralha (2005), que destacam ser essencial que o ensino da Geometria reflicta sobre problemas do quotidiano que abarquem ideias geométricas; que explore formas de representação do meio ambiente, e que recorra a tecnologias nos trabalhos geométricos. O NCTM (1991), por seu lado, recomenda que, de acordo com o nível de desenvolvimento dos alunos, se deve proporcionar experiências que: contemplem os aspectos cognitivos, afectivos e sociais da aprendizagem; enfatizem a intuição matemática e o raciocínio indutivo; privilegiem actividades de exploração, conjectura, bem como de resolução de problemas; estimulem a comunicação oral e escrita, a discussão e a reflexão, a troca e o confronto de ideias e as experiências; e diversifiquem as abordagens, as situações e os materiais de apoio.
Em Portugal, nos últimos anos, à semelhança de outros países, o ensino de Matemática e, mais concretamente da Geometria, também tem reflectido, de algum modo, embora com atrasos e retrocessos, a evolução e a mudança das perspectivas internacionais (Veloso, 1998). Assim, quer as políticas educativas, quer o lugar da Geometria no currículo de Matemática têm sofrido diversas alterações e reestruturações.
Entre os anos setenta e oitenta, surgiram no ano terminal do ensino liceal, pela iniciativa de matemáticos como Sebastião e Silva, tentativas experimentais de abordagem da Geometria de acordo com as orientações da “Matemática Moderna” (Veloso, 1998). Porém, de uma maneira geral, o currículo evidenciava uma ampla redução do espaço da aprendizagem da Geometria na Educação Matemática, deslocando-se, inclusivamente, para a disciplina de Educação Visual em actividades manipulativas, “como as construções geométricas” (idem, p. 23). Ainda assim, caminhos novos iam sendo discutidos e preparados, levando Matos (1988) a concluir que “não existe um currículo comummente aceite, mas parece um ponto essencial que a geometria seja uma das formas privilegiadas de adquirir uma intuição e uma orientação espacial crucial para o mundo moderno” (p. 9).
A reforma educativa realizada na sequência da publicação da Lei de Bases do Sistema Educativo (LBSE, 1986), incluía a proposta de mudanças no campo da Geometria. Para o efeito, diversas individualidades da área organizaram-se em torno de duas estruturas: a Associação de Professores de Matemática (APM) e o Conselho Nacional de Educação (CNE). Como resultado dessas mudanças, surgiram recomendações quanto à reformulação e actualização de conteúdos e quanto às
orientações pedagógicas e metodológicas (Matos, 1988), assim como quanto aos métodos de avaliação da aprendizagem, que se tornaram visíveis nos programas de 1990. Nestes programas voltou-se a dar lugar de destaque ao ensino da Geometria e ao recurso a metodologias que valorizam estratégias centradas na resolução de problemas, no trabalho de grupo, no debate de ideias, na utilização de materiais manipuláveis e no uso da calculadora e do computador (APM, 1998).