2 Det totale budsjett for 1996
2.3 FoU-bevilgningene
A importância e a necessidade de resolver problemas, numa sociedade impregnada pelas tecnologias, as quais evoluem de maneira extremamente rápida, têm atraído a atenção de estudiosos de diferentes áreas do conhecimento, uma das quais consiste na Matemática, e é especificamente na Educação Matemática que a Resolução de Problemas tem despertado maior interesse, tanto nas pesquisas quanto no ensino, sendo que essa temática vem se beneficiando das contribuições provenientes de investigações realizadas em diversos campos do saber, principalmente das que estudam os processos cognitivo. Na publicação The international journal on Mathematics Education, volume 39 (ZDM, 2007), ao se abordarem os estudos sobre a temática Resolução de Problemas, realizados em nosso país e em vários outros, encontra-se respaldo para as afirmações acima.
É sabido que um dos objetivos primordiais da educação é desenvolver a inteligência, isto é, ensinar os jovens a pensar. Assim, vemos que não só, mas também as matemáticas assumem um papel preponderante na busca desse intento, e nelas destacamos a Resolução de Problemas, uma vez que esta atividade implica ação em nível de processos cognitivos – atenção, percepção, memória, raciocínio lógico, concentração, inteligência, esquemas, entre outros – ou, como ressalta Sternberg (2008), um esforço para superar obstáculos que estejam no caminho para uma solução.
Neste sentido, faz-se necessário visualizar a Resolução de Problemas em uma perspectiva psicológica e, para tanto, trazemos, primeiramente, a contribuição de Dijkstra (1991). Para este autor, a resolução de problema é um processo cognoscitivo completo que envolve conhecimento armazenado na memória de curto prazo46 e na memória de longo prazo47 e consiste em um conjunto de condutas e atividades mentais, uma vez que implica também fatores de natureza cognoscitiva, afetiva e motivacional.
Chi e Glaser (1986) veem a resolução de problemas como uma aptidão cognitiva complexa que caracteriza uma das atividades humanas mais inteligentes. Assim, a resolução de problemas consiste em: usar processos básicos para resolver determinada dificuldade;
46 A Memória de Curto Prazo recebe informações já codificadas pelos mecanismos de reconhecimento de
padrões da Memória Sensorial-Motora (A Memória Sensorial é um sistema de memória que, através da percepção da realidade pelos sentidos, retém por alguns segundos a imagem detalhada da informação sensorial recebida por algum dos órgãos do sentido, e é responsável pelo processamento inicial da informação sensorial e sua codificação) e retém estas informações por alguns segundos, talvez alguns minutos, afim de que estas sejam utilizadas, descartadas ou mesmo organizadas para serem armazenadas.
47 A Memória de Longo Prazo recebe as informações da Memória de Curto Prazo e as armazena. Ela possui
reunir fatos acerca da dificuldade e determinar a informação adicional necessária; inferir ou sugerir soluções alternativas e testar sua adequação; simplificar o nível de explicação e eliminar discrepâncias; verificar as soluções de modo a generalizá-las.
De acordo com Andre (1986), o processo de resolução de problemas pode se descrever a partir dos elementos que seguem:
1. Uma situação na qual se quer fazer algo, porém se desconhecem os passos precisos para alcançar o que se deseja;
2. Um conjunto de elementos que representam o conhecimento relacionado com o problema;
3. O solucionador de problemas, o sujeito que analisa o problema, suas metas e dados e forma uma representação do problema em seu sistema de memória; 4. O solucionador de problemas que opera sobre a representação para reduzir a
discrepância entre os dados e as metas (a solução de um problema está constituída por uma sequência de operações que podem transformar os dados em metas);
5. Ao operar sobre os dados e metas, o solucionador de problemas utiliza, ou pode utilizar os seguintes tipos de informações:
• Informação armazenada em sua memória de longo prazo em forma de esquemas ou produção;
• Procedimentos heurísticos;
• Algoritmos;
• Relações com outras representações;
6. O processo de operar sobre uma representação inicial com o fim de encontrar uma solução ao problema se denomina busca. Como parte do processo de busca da solução, a representação pode transformar-se em outras representações;
7. Uma busca continua até se encontrar uma solução ou o solucionador de problemas se dar por vencido.
Uma vez que resolver problemas envolve trabalhar mentalmente para superar obstáculos que estejam no caminho de um objetivo, Sternberg (2008) estabelece sete passos, que considera fundamentais, para a resolução de um problema:
1. A identificação do problema, que implica reconhecer um objetivo a ser alcançado;
2. A definição e a representação do problema, que consiste em identificar os conteúdos envolvidos no enunciado que, por sua vez, determinarão as estratégias que possibilitarão a solução do problema;
3. A construção de estratégias, que pode envolver a análise, ou seja, desmembrar o todo de um problema complexo em elementos gerenciáveis, ou pode envolver o processo complementar de síntese, isto é, juntar vários elementos para organizá-los em algo útil. Outro par de estratégias complementares envolve o pensamento divergente, onde se tenta gerar um conjunto diversificado de soluções alternativas possíveis para um problema; entretanto, após examinar as possibilidades, deve-se desenvolver o pensamento convergente, para afunilar as várias possibilidades e convergir para a melhor resposta possível;
4. Organização das informações, isto é, integrar todas as informações que acredita precisar para realizar a tarefa de forma eficaz. Muitas vezes problemas não são resolvidos, por não se darem conta das informações que se tem ou de como elas se encaixam;
5. Alocação de recursos, tais como tempo ou mesmo recurso mental. Alguns problemas demandam maior quantidade de tempo para serem resolvidos que outros. No entanto, os melhores alunos têm mais probabilidades de passar mais tempo na fase inicial, decidindo como resolver um problema, e menos de fato o resolvendo. Ao gastar mais tempo antecipadamente pensando no que fazer, os estudantes eficazes têm menos probabilidade de serem vítimas de falsos começos, de caminhos tortuosos e de todos os tipos de erros;
6. Monitorização do processo de solução, ou seja, fazer várias verificações ao longo do caminho para se certificar da proximidade do objetivo desejado; 7. Avaliação, processo onde muitas vezes avanços fundamentais acontecem e
novos problemas podem ser reconhecidos. É nesta etapa que o problema pode ser redefinido e é possível que surjam novas estratégias. Novos recursos também podem tornar-se disponíveis ou os já existentes podem ser usados mais eficazmente. Dessa forma, o ciclo se completa quando leva a novas ideias e recomeça.
Figura 4 Ciclo da solução de problemas proposto por Sternberg
Fonte: Sternberg (2008)
Nas experiências cotidianas de resolução de problemas, esses passos podem ser implementados com muita flexibilidade. Vários passos podem ser repetidos, ou ocorrer fora da sequência, ou, ainda, ser implementados de forma interativa, como se pode ver na figura 5 acima.
Ainda para Sternberg (2008), resolver problemas requer o uso de estratégias, reflexões e tomadas de decisão a respeito de passos a serem seguidos. Envolve raciocinar percorrendo diferentes etapas que vão desde a identificação do problema, de como representá-lo mentalmente, passando pela construção de estratégias, organização das informações disponíveis, do tempo necessário, monitoramento desse processo até a avaliação dos resultados. Ou seja, implica a utilização da inteligência humana, que, segundo Sternberg
5 - Alocação de Recursos 6 – Monitorização da Solução 7 - Avaliação da solução 4 - Organização de informação sobre o problema 3 - Construção de uma estratégia para resolver o problema 2 - Definição do Problema 1 - Identificação do Problema
(2008, p. 450), “é a capacidade de aprender a partir da experiência, usando processos metacognitivos48 para melhorar a aprendizagem, e a capacidade de se adaptar ao ambiente”.
Rodriguez (1996), baseado em Sternberg, apresenta-nos um mapa conceitual, trazendo a inteligência humana como uma capacidade primordial para a resolução de problemas, seja para reconhecer ou descobrir as características apresentadas por estes ou para elaborar estratégias, procedimentos ou caminhos que possibilitem alcançar as metas desejadas, nos diferentes contextos em que os problemas se apresentam. É o que se observa na figura 4 a seguir.
Figura 5 Mapa conceitual de Resolução de Problemas, baseado em Sternberg
aplica
para a
para reconhecer ou descobrir se elabora se desconhece
São para alcançar
para alcançar alguns se aplicam a como como como resultam
(*) Todo número par maior ou igual a 4 é a soma de dois números primos
Fonte: Rodriguez (1996).
48 Conhecimento e controle de nossa cognição; capacidade de pensar sobre e controlar nossos processos e nossas formas de pensar (STERNBERG, 2008).
Um indivíduo Características de situações problema Tecnológicos Precisos com informação completa Políticos Interpessoais
Não exitosos, de pouca utilidade Exitosos ou de máxima
utilidade Imaginação ou
inteligência criativa inteligência analítica Análise por meio de
Difusos com informação incompleta
Produção de soluções por meio de inteligência
prática Procedimentos ou estratégias analíticas Curso de ação Metas ou resoluções em contextos acadêmicos e teóricos Metas e soluções em contextos reais Conjectura de Goldbach (*) Administrativos Cálculo da hipotenusa de um triângulo retângulo a partir de seus catetos
Conforme se vê no mapa conceitual acima, a resolução de problemas implica, sobretudo, a utilização da inteligência humana. Segundo Sternberg (2008, p, 472), a inteligência inclui capacidades analíticas, criativas e práticas. No pensamento analítico, tentamos resolver problemas conhecidos usando estratégias que manipulam os elementos de um problema ou as relações entre os elementos (como comparar, analisar, avaliar), e geralmente o utilizamos com o intuito de alcançar metas ou a resolução de problemas em contextos acadêmicos e teóricos; no pensamento criativo, tentamos resolver novos tipos de problemas que nos exigem pensar sobre o problema e sobre seus elementos de uma nova maneira (como inventar, projetar, criar), e o empregamos para reconhecer ou descobrir características de situações-problema; no pensamento prático, tentamos resolver problemas aplicando o que sabemos a contextos cotidianos (aplicar, usar, utilizar), ou seja, o utilizamos com o fim de alcançar metas e soluções em contextos reais. Assim, percebe-se que o desenvolvimento da resolução de problemas está intimamente ligado à inteligência humana, quer em contextos acadêmicos, desafiadores, ou para sair de uma situação problemática que se apresente em diversos contextos do cotidiano.
Ao afirmar que, através da avaliação, “avanços fundamentais acontecem e novos problemas podem ser reconhecidos”, Sternberg, mesmo abordando a Resolução de Problemas numa perspectiva cognitiva, sinaliza para a mesma direção de Schroeder e Lester (1989), quando discutem a compreensão da Matemática através da Resolução de Problemas49 e de Onuchic (1999), que aborda esta atividade como uma metodologia de ensino50.
No contexto da aprendizagem matemática, Huete e Bravo (2006, p. 71) consideram que a resolução de problemas
trata-se de um processo no qual se combinam diferentes elementos que o aluno possui, como os pré-conceitos (em geral, aqueles conhecimentos previamente adquiridos que servem a uma nova situação), as regras, as habilidades.... Exige uma grande dose de reflexão e depende de uma excelente provisão de conhecimentos e capacidades, mais que por sua quantidade, por sua clara compreensão. É importante que essa aprendizagem sustente-se na realidade (situações da vida) e que quem aprenda o faça atribuindo, na aplicação matemática, à utilidade que representa.
Descrevendo alguns tipos de aprendizagem matemática e referindo-se à resolução de problemas como um deles, Huete e Bravo (2006, p. 76) asseveram que o fim da solução de
49 Apresentado no item 3.7.8 deste capítulo (p. 154). 50 Idem.
problemas não é a busca particularizada de uma resolução concreta e específica, mas que a mesma se apresenta como facilitadora do conhecimento das habilidades básicas, dos conceitos fundamentais e da relação existente entre eles. Compreendem a resolução de problemas como um processo no qual se combinam elementos distintos, tais como pré-conceitos, regras e habilidades, já possuídas pelos alunos, como também a reflexão e uma provisão de conhecimentos e capacidades, nas quais se confronta o educando com situações e fatos reais, práticos, da vida cotidiana, em que a Matemática adquire um papel preponderante e necessário: desenvolver naturalmente habilidades para resolver, mediante determinadas categorias, uma gama de problemas.