Uma abordagem estática para a avaliação da estabilidade estrutural é muito comum em problemas clássicos, como o desenvolvido por Euler para uma coluna sob compressão (ver Apêndice C). Essa forma de tratar o problema consiste em escrever, em primeiro lugar, as equações de equilíbrio estático da estrutura. Posteriormente, buscam-se soluções para essas equações e, portanto, que representam soluções para o equilíbrio. Algumas equa- ções diferenciais possuem soluções triviais ou não triviais. A técnica reside em determinar quais são as soluções não triviais, e quando podem ocorrer. A conclusão seria que, quando podem ocorrer soluções não triviais, a estrutura poderia buscar formas de equilíbrio alter- nativas em relação ao estado básico considerado em uma nova configuração que envolve instabilidade.
No entanto, é de se imaginar que essa abordagem possa não se mostrar adequada para qualquer problema, uma vez que existem situações em que um problema de insta- bilidade estrutural não está associado à busca de uma nova configuração de equilíbrio estática. Para um estudo mais criterioso de estabilidade, não se pode fazer a hipótese de que haverá de fato uma configuração estática após a estrutura sair de seu estado básico. Deve-se pensar em um critério como o de Lyapunov que é essencialmente cinético, não estando atrelado necessariamente à estática do problema analisado.
Existem problemas em que, após a estrutura sair de seu estado básico (nesse contexto, a solução trivial de equilíbrio), a mesma experimenta oscilações com amplitude crescente. Esse tipo de instabilidade não assume uma nova solução de equilíbrio estático e leva à falência alguma técnica que envolva a busca de uma nova configuração de equilíbrio. Portanto é necessário realizar uma discussão mais profunda acerca de quando é possível se analisar uma estrutura quanto à sua estabilidade com a abordagem estática e, quando é necessário utilizar uma abordagem cinética. Essa discussão será feita posteriormente nesse capítulo.
Quando se constrói um modelo de uma estrutura, geralmente são feitas algumas idealizações quanto à geometria e à forma de aplicação de carregamentos. No caso de uma viga, por exemplo, pode-se assumir que sua configuração descarregada é perfeita- mente retilínea. No entanto, tal situação é impossível de ser atingida na fabricação de uma viga real, uma vez que, por menor que seja, sempre há algum tipo de imperfeição geométrica. Quanto à forma de aplicação de carregamentos, é impossível aplicar uma carga compressiva em uma viga sem induzir momento fletor algum, por menor que seja. Isso, pois sempre há uma imperfeição na aplicação do carregamento.
Essas e outras imperfeições podem levar a estrutura a buscar novas configurações de equilíbrio quando atingido certo nível de carregamento. Sem essas imperfeições, o equilíbrio em configurações triviais poderia continuar a existir, mesmo que instável. Por exemplo, uma coluna de Euler perfeitamente retilínea com carregamento compressivo aplicado de forma a não causar momento fletor algum e sem nenhum tipo adicional de imperfeição não flambaria nunca, por maior que fosse o nível do carregamento. Note, portanto, que a busca de novas configurações de equilíbrio ocorre devido à existência de imperfeições, sejam essas geométricas ou na aplicação do carregamento, na medida em que o equilíbrio trivial se torna instável.
Essa ideia pode ser discutida através do exemplo de uma esfera sob ação de seu peso próprio, que pode ser visto em Alfutov (2000). A Figura 3.5 mostra diferentes condições de equilíbrio.
Figura 3.5: Diferentes formas de equilíbrio. Extraído de Alfutov (2000)
Note que a ilustração (a) representa uma posição estável da esfera, e as ilustrações (b) e (c) representam posições instáveis. O conceito de estabilidade de uma configuração de equilíbrio necessariamente está associado à perturbação do sistema. Se ocorrer uma perturbação na posição de equilíbrio e o sistema procurar voltar para sua posição inicial ou, segundo Lyapunov, ao menos ficar contido em um subconjunto limitado de estados, o equilíbrio é chamado de estável. Caso o sistema busque outro ponto de equilíbrio ou mesmo se desgoverne, sem mais encontrar um ponto de equilíbrio, o equilíbrio inicial e que fora perturbado será denominado instável.
Portanto, para o estudo de instabilidade estrutural, é necessário que se assuma uma mudança de configuração (seja estática ou dinâmica) que surja em função de per- turbações que atuem na configuração inicial da estrutura. Ziegler (1968) apresenta três diferentes métodos que assumem que o sistema busque configurações de equilíbrio está- tico, em situações de instabilidade. Trata-se do Método da Imperfeição, do Método do Equilíbrio, e do Método de Energia. O mesmo autor também apresenta uma técnica para a análise dinâmica de estabilidade, o denominado Método Cinético. Mazzilli (2009) apresenta o Primeiro Método de Lyapunov, também para análise estabilidade cinética de estruturas. A seguir serão detalhadas as ideias básicas de alguns um desses métodos,
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relevantes para o trabalho em questão.
3.1.4.1 Método do Equilíbrio
A ideia do Método do Equilíbrio é prever a perda de estabilidade da solução trivial de equilíbrio através do aparecimento de possibilidades de soluções não triviais. Esse fato é ilustrado no Apêndice C quando na equação C.9 e no sistema de equações C.15 impõe-se a possibilidade de ocorrência de soluções não triviais. Dessa imposição decorrem as cargas críticas que nada mais são do que parâmetros do sistema que possibilitam as soluções não triviais. Essa classe de problemas é denominada de “autovalores e autovetores”. As cargas críticas representam os autovalores e, os modos de flambagem, os autovetores 2. Para o
caso particular do problema da viga de Euler, por se tratar de um problema de infinitos graus de liberdade, uma vez que a solução é uma função, o autovetor é denominado “autofunção”.
Segundo Ziegler (1968), a solução do método do equilíbrio consiste em responder a seguinte pergunta: “Quais os valores de carregamento para os quais o sistema perfeito admite configurações de equilíbrio não triviais?”
Pode-se interpretar o Método do Equilíbrio como o estudo matemático das pos- síveis soluções de uma equação diferencial segundo a variação de algum parâmetro. Esse parâmetro seria a carga compressiva e, a mudança de comportamento na solução da equação do sistema perfeito é feita em função dessa carga. O surgimento de soluções não triviais é a indicação de que o parâmetro sensibilizou o sistema, tal que matematicamente essas soluções se tornam possíveis. No entanto, como de fato não foi introduzida uma imperfeição no equacionamento físico do problema, o único resultado quantitativo válido para esse tipo de análise é o valor teórico da carga crítica para o sistema perfeito.
A solução (ou soluções) não triviais representam formas que a estrutura tende a assumir quando sofre flambagem (são denominados modos de flambagem). Trata-se de re- sultados qualitativos, uma vez que valores de amplitude de deslocamentos na configuração pós-flambagem não são identificados através dessa metodologia.
2
A palavra flambagem tem nesse contexto a conotação de bifurcação do equilíbrio. O Método do Equilíbrio, no entanto, não se restringe a problemas associados a pontos de bifurcação mas, também, a situações que envolvem pontos limite.
3.1.4.2 Método de Energia
O Método da Energia procura explorar a equivalência entre a mecânica vetorial e a mecâ- nica analítica para resolver um problema mecânico. Para discutir esse método, é necessário antes algumas definições e hipóteses.
Seja um sistema conservativo, é possível definir um funcional U que representa a energia potencial desse sistema:
U = Uint+ Uext (3.9)
Em que:
• Uinté a energia potencial dos esforços internos (energia potencial elástica no sistema
conservativo)
• Uext é a energia potencial dos esforços externos conservativos
A energia potencial dos esforços externos Uext é igual ao oposto do trabalho realizado por
esses esforços, ou seja:
Uext= −Wext (3.10)
A primeira variação do funcional U é dada por:
δU = δUint− δWext (3.11)
O Teorema da Energia Potencial diz que um ponto de estacionariedade do funcional U equivale a um ponto de equilíbrio estático do sistema. Assim sendo, pode-se afirmar que no equilíbrio vale:
δUint− δWext = 0 (3.12)
A ideia do Método de Energia é estudar o sinal do funcional U, utilizando o princípio de que em situações estáveis o funcional U será positivo-definido. Assim sendo, a ocorrência de cargas críticas seria caracterizada por uma situação em que o funcional deixa de ser positivo definido. Existe total equivalência entre o resultado do Teorema da Energia Potencial apresentado na equação 3.12 e a imposição do equilíbrio no sistema. É possível verificar essa equivalência para o exemplo do problema da viga de Euler em Ziegler (1968), que se trata de um problema conservativo e não giroscópico. O autor mostra, inclusive, que a ocorrência de soluções não triviais de equilíbrio é que fazem com que o funcional não
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mais seja positivo-definido. Essa ocorrência se dá, como previsto, para valores superiores à carga de Euler.
Assim, Ziegler (1968) define o Método da Energia para análise de estabilidade estrutural através da seguinte pergunta: “Qual é o valor do carregamento para o qual a energia potencial do sistema perfeito deixa de ser positivo-definida?”
As bases teóricas para a utilização desse método estão fundamentadas no Teorema de Lagrange-Dirichlet, descrito na seção 3.1.7.
3.1.4.3 Método Cinético
Diferente dos dois métodos apresentados até então, o Método Cinético considera efeitos inerciais na qual não existe a hipótese de que o sistema estará em equilíbrio estático. É possível, portanto, prever comportamentos de instabilidade dinâmica, sem a ocorrência de equilíbrio na configuração pós-crítica. Para tal, a ideia é escrever o Princípio Fun- damental da Dinâmica para o problema em questão, chegando em equações diferenciais que envolvem além das variáveis espaciais, a variável temporal. A solução dessas equações resultam na conclusão acerca do comportamento do sistema, segundo a variação de algum parâmetro de interesse.
Por exemplo, para a viga de Euler, Ziegler (1968) mostra que a ocorrência da carga crítica levaria a solução da equação diferencial do sistema a um movimento não limitado e, portanto, instável. Esse tipo de situação seria instável segundo o critério de Lyapunov.
Por fim, coloca-se a pergunta à qual se deve procurar responder para determinar a estabilidade de um sistema utilizando o Método Cinético, ou também chamado de Método de Vibrações. Traduzindo-se as palavras de Ziegler (1968): “Qual o valor do carregamento para o qual o mais genérico movimento livre do sistema perfeito, nas vizinhanças da posição de equilíbrio, deixa de ser limitado?”
3.1.4.4 Primeiro Método de Lyapunov
O primeiro método de Lyapunov se propõe a avaliar a estabilidade cinética de uma es- trutura. A ideia é estudar a evolução temporal da perturbação introduzida. Se a mesma tender a se amplificar de forma descontrolada, o sistema será instável. Caso ela se man- tenha limitada ou tenda a desaparecer, o sistema será estável. Alguns teoremas surgem para auxiliar o estudo da estabilidade. Para utilizá-los, é necessário linearizar a equação
3.6, de tal forma que a mesma possa ser escrita da forma matricial:
˙
δx = Aiδx (3.13)
em que a matriz Aipode ser calculada por:
Ai= ∂f ∂δx δx=0 = ∂h ∂x x=xi (3.14)
A solução da equação 3.13 é bastante simples e se apresenta de forma exponencial, com expoentes λj com 1 ≤ j ≤ 2n. A solução desses expoentes recai em um problema de
autovalor (ver, por exemplo Kuznetsov (2004)), de tal forma que cada autovalor possui uma parte real e outra imaginária. Tem-se os seguintes teoremas de Lyapunov relacio- nando as partes reais dos autovalores com o comportamento do sistema:
• Se todos os autovalores tiverem parte real negativa, o estado básico de 3.13 será de equilíbrio estável.
• Se pelo menos um autovalor tiver parte real positiva, o estado básico de 3.13 será instável.
Se nenhum desse dois teoremas se aplicar, o sistema possui comportamento crítico e sua estabilidade só pode ser verificada através de outros teoremas. O interessante é que, se o sistema se enquadrar em algum dos teoremas de Lyapunov, existe outro teorema que diz:
• Se o sistema 3.13 não possuir comportamento crítico, então suas características topológicas de estabilidade serão idênticas às do sistema das equações de perturbação 3.6, mesmo que o sistema seja não linear.
Dessa forma, a linearização realizada para o estudo da estabilidade não representa uma perda de generalidade da conclusão, que também será válida para o problema não linearizado.
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3.1.4.5 Segundo Método de Lyapunov
O Segundo Método de Lyapunov não será utilizado diretamente nesse trabalho. No en- tanto, será brevemente apresentado por sua grande importância para análise da estabili- dade de um sistema dinâmico e como base para alguns teoremas de estabilidade.
Define-se em primeiro lugar uma função escalar, denominada Função de Lyapunov (Φ). Essa função deve ser escrita em função dos componentes do vetor que descreve o estado perturbado do sistema, dado por δx. A construção de tal função não é única para um dado sistema. De fato, a obtenção da Função de Lyapunov pode ser uma tarefa complexa. No entanto, uma vez determinada tal função, o problema de estabilidade estará resolvido. Os teoremas que permitem o estudo de estabilidade garantem que:
Seja uma função Φ que satisfaça:
• Φ (δx1, δx2, . . . , δx2n) ≥ 0
• Φ (δx1, δx2, . . . , δx2n) = 0 ⇔ (δx1, δx2, . . . , δx2n) = (0, 0, . . . , 0)
• ˙Φ ≤ 0
então o estado básico será estável.
Ao restringir mais a última condição e, portanto, se ˙Φ < 0, então a estabilidade do estado básico será assintótica.
No entanto, se ˙Φ > 0 em algum ponto de uma vizinhança da origem, então o estado de equilíbrio será instável.