Kapittel 8 – Konklusjon
8.2 Forskning
Este tópico trata da apresentação dos números complexos, a partir de um problema que recai em uma equação do terceiro grau. O problema é seguido de discussão sobre as raízes quadradas de números negativos, que culmina em uma interpretação gráfica no plano.
2.2.1 Abordagem a partir de equação do 3o grau
Justamente por não representarem quantidades nem serem resultados de contagem e por não se aplicarem a necessidades do cotidiano, os números complexos têm sido considerados com desconfiança tanto por alunos quanto por professores do Ensino Médio conforme pesquisado por Fabiani (1998, p.87-90).
Além disso, conforme Spinelli aponta,
Boa parte do tradicional estudo dos complexos no Ensino Médio fica restrita ao tratamento das operações entre eles, de modo semelhante ao qual é submetida à criança quando, na educação infantil, começa a tomar contato com as operações entre números naturais. [...] Vale refletir sobre qual contexto se desenvolve o estudo das operações entre complexos no nível médio. (SPINELLI, 2009, p. 3)
Uma abordagem inicial dos números complexos pode ser feita considerando- se o conhecimento que os alunos possuem sobre resolução de problemas que envolvam números reais. A fim de exemplificarmos, tomaremos a proposta curricular para o Estado de São Paulo (2008), que traz em seu Caderno do Professor, além da dedução da fórmula de Cardano-Tartaglia, a proposição de algumas atividades e, entre estas, há a que se encontra na página 16 do mencionado Caderno e que aqui adaptamos:
Problema 1: Uma das raízes de uma equação de 3º grau, do tipo
3
0
My N
y
pode ser obtida por meio da fórmula
2 3 2 3
3 3
2 4 27 2 4 27
N N M N N M
y
Encontre uma raiz da equação 3
3 2 0
y y .
Espera-se que o aluno, a partir da fórmula fornecida, efetue os cálculos
3 3
3 2 4 ( 27) 3 2 4 ( 27) 1 0 1 0 2
2 4 27 2 4 27
y y y
Portanto, y2 é uma raiz da equação fornecida. Embora pareça para o
aluno que a fórmula de Cardano-Tartaglia é apenas mais uma fórmula matemática, deve ser salientado que há situações em que, sabe-se por inspeção que há uma raiz para a equação do terceiro grau mas, aparentemente, a fórmula de Cardano- Tartaglia não a fornece. A investigação de tal problema leva aos números complexos. A situação é vista na atividade seguinte, que se encontra à página 16, do referido Caderno , cujo enunciado e resolução são transcritos a seguir:
Problema 2: Um marceneiro quer construir duas caixas, uma com a forma de
um cubo de aresta x, outra com a forma de um paralelepípedo com base retangular, de lados 3m e 5m e de altura igual à altura do cubo. O valor de x deve ser escolhido de tal forma que o volume do cubo seja 4m3 maior do que o do paralelepípedo.
b) Use a fórmula do exercício anterior para determinar as raízes da equação
do item a. A que conclusão você chega?
c) Verifique diretamente na equação dada que x = 4 é uma raiz, ou seja,
fazendo x = 4m, temos o cubo com volume 64m3 e o paralelepípedo com volume
60m3. Como podemos interpretar o resultado do item b? Resolução: a) 3 15x 4
x
ou seja, 3 15x 4 0x
. b) 3 2 121 32 121x ; pela fórmula, parece não existir raiz da
equação, uma vez que nos deparamos, nos cálculos, com a raiz quadrada de um número negativo.
c) Certamente a equação admite x = 4 como raiz, como se pode verificar diretamente. No uso da fórmula das raízes, os cálculos foram interrompidos quando surgiu a raiz quadrada de -121.
Ocorre aqui uma situação de desequilíbrio cognitivo em que há, por um lado, a impossibilidade de se extrair a raiz quadrada de um número negativo e, por outro, a demanda de se compatibilizar os conhecimentos instituídos pela fórmula de Cardano-Tartaglia com a solução concreta e real do problema.
Apesar dessa motivação inicial, a sequência de estudo dos complexos não pode ficar restrita à resolução de equações polinomiais, como aponta Spinelli (2009):
Rapidamente é necessário atingir o degrau do verdadeiro significado dos complexos, que reside na possibilidade de serem gerenciadores de transformações isométricas no plano. Para tanto, a apresentação do plano de Argand-Gauss e a associação entre este plano e a reta Real passa a ser prioridade. (SPINELLI, 2009, p.6).
É o que buscaremos fazer a seguir, retomando os diferentes registros de representação dos números complexos – algébrico, gráfico, trigonométrico e de escrita simbólica – que podem ser estudados a partir de vários pontos de vista, tais como vetores, pontos, transformações, matrizes.
2.2.2 A inspiração para i2 = - 1
A exploração do item b do problema 2, no tópico precedente, a saber, resolver a equação 3
15x 4 0
x
, apresentada na página 59, conduz à representação de 1 por i, de modo que teríamosi
2 1
. Assumindo isso eoperando-se algebricamente, chega-se à raiz x = 4. Mas isso é apenas uma suposição e torna-se necessária a sua apresentação de forma mais consistente.
O número imaginário i não está entre os números reais, representados na
reta real. A pergunta é: como representar, então, esse número i ? Como representar
os números da forma y i. , ou ainda, os da forma x y i. , em que x e y são números
reais? Como abordado na parte histórica dessa dissertação, levou muitas décadas, desde os trabalhos de John Wallis (1616 – 1703) até Gauss, em 1799, para que a representação de um número complexo z x y i. como pontos de um plano
ganhasse força e aceitação. A inspiração para tal representação pode ter partido do raciocínio que descreveremos a seguir.
Quando multiplicamos um número real positivo por -1, a sua imagem na reta real, como mostrado na Figura 9, é deslocada segundo um arco de 180o, passando
da semirreta positiva para a semirreta negativa. Isto é, se n é esse número real
positivo, então n(-1) n. Isso, graficamente, equivale a uma rotação de 180o, do
ponto que representa o número n, em torno da origem, no sentido anti-horário.
Figura 9. Multiplicação de um número real positivo por -1. Multiplicar um número real por -1, ou seja, por 2
i
, significa multiplicá-lo por ie novamente por i, isto é: n(-1) n i i n.
Como o resultado das duas multiplicações sucessivas de um número por i foi uma rotação da imagem desse número segundo um ângulo de 180o no sentido anti-
horário, torna-se natural considerar que, graficamente, cada multiplicação por
i
tem como resultado uma rotação da imagem desse número segundo um ângulo de 90o em torno da origem, no sentido anti-horário. Desse modo, multiplicar um número real por i equivale graficamente a representar a imagem desse número em um eixo perpendicular à reta real, como mostrado na Figura 10.Figura 10. Multiplicação de um número real por i².
É provável que essa tenha sido a inspiração fundamental para a representação do número imaginário i no eixo perpendicular ao eixo real. Assim, podemos representar qualquer número complexo z x yi como um ponto do
plano, gerado pelas unidades real 1 e imaginária i, o que faz do plano em que os
complexos são representados uma extensão da reta real.
É possível, a partir de agora, fazer corresponder cada número complexo
abi a um abiponto ( , )a b do plano cartesiano, e vice-versa.
Consideramos importante exemplificar como é possível visualizar os resultados de algumas operações com os números complexos no plano de Argand- Gauss por pelo menos dois motivos. O primeiro é porque representa um passo natural, uma vez que acabamos de “ampliar” a reta real; o segundo é porque ajuda a tornar plausível a manipulação com o novo tipo de representação de tais números. Entretanto são necessários tanto o enfoque vetorial dos números complexos quanto alguma nomenclatura correspondente, como imagem e afixo. Por esse motivo, deixaremos para mostrar tais visualizações depois de apresentarmos o enfoque vetorial dos números complexos, no item 3.3 do próximo capítulo.
3 REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA DE COMPLEXOS
Veremos nesse tópico os diferentes registros de representação semiótica para os números complexos: registro algébrico, registro como pares ordenados, registro vetorial, registro trigonométrico e registro matricial. Em particular, demonstramos os isomorfismos entre certos conjuntos que representam esses números.