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Suponhamos uma partícula movendo-se numa região onde existem apenas campos gravitacio- nais. De acordo com o princípio da equivalência, discutido na seção anterior, existe um sistema de coordenadas no qual localmente nenhum campo gravitacional é observado (dessa vez não vamos supor que tais campos sejam uniformes, o próprio campo gravitacional produzido pela terra não é, diminuindo à medida que nos afastamos dela). Tal referencial é exatamente aquele que, localmente, anula o efeito do campo gravitacional e por esse motivo é chamado de referencial localmente inercial. Nesse sistema de referência, a segunda lei de Newton é escrita como:

d

d � � (2.4)

onde d � d d é o tempo próprio3_.

Mas como um segundo sistema (digamos de coordenadas ), que não seja localmente iner- cial, escreveria a sua equação de movimento para essa mesma partícula? Certamente ele o fará de uma forma diferente, mas que felizmente pode ser relacionada com (2.4), através de uma transformação de coordenadas. Nessa transformação de para , temos que as coordenadas

são funções das coordenadas . Assim, a equação (2.4) pode ser reescrita como � � _dd d_d � d d d d � d_d � d_{d d} (2.5)

multiplicando a expressão acima por � e usando a relação

� � (2.6)

obtemos

� � d_d � d_d d_d (2.7)

3_{É o intervalo de tempo decorrido entre dois eventos medidos por um observador que encontra-se em um}

referencial na qual os eventos ocorrem na mesma posição. É um parâmetro invariante em relação ao qual calculamos as derivadas temporais, para que assim, grandezas físicas como a velocidade, continuem se transformando como vetores, quando submetidas a uma mudança de coordenadas.

logo, a equação de movimento no segundo sistema (de coordenadas ) é d d � ⎟ d d d d � � (2.8)

onde⎟ são os coeficientes da chamada conexão afim, definidos por

⎟ � (2.9)

Ao fazermos uma simples mudança de coordenadas, observamos o aparecimento de um termo completamente novo. Como a única diferença entre os dois sistemas de referência consi- derados são os campos gravitacionais presentes, só podemos associar a segunda parcela do lado esquerdo da equação (2.8) a eles.

Enquanto no sistema de coordenadas , a partícula descrevia seu movimento em linha reta. Devido à presença dos campos gravitacionais, ela começará a se mover ao longo de uma curva nas coordenadas . Tal curva é a solução da equação (2.8). Nessa perspectiva, pode-se interpretar a gravidade como uma força inercial.

Outro fato interessante, que reforça o que acabamos de falar, é a interpretação da equação (2.8), também conhecida na literatura [32,33,15] como a equação de uma geodésica sobre uma superfície curva. Dentre todas as curvas que ligam dois pontos fixos e de uma determinada superfície, apenas uma, denominada geodésica entre e , tem comprimento menor que todas as outras. A solução da equação (2.8) nos dá exatamente essa curva.

Numa tentativa de deixar o conceito de geodésica menos abstrato, podemos imaginar, por exemplo, uma partícula obrigada a mover-se em cima de uma superfície esférica. Se supormos que a tal partícula deseja ir de um ponto A até um outro B (ambos os pontos localizados sobre a superfície esférica), percorrendo a menor distância possível, ela certamente não seguirá em linha reta, pois isso significaria “entrar” na esfera, o que não é permitido. Dessa maneira, vemos que a menor distância entre dois pontos, dado a geometria do problema, não é sempre uma reta e sim uma outra curva que chamamos de geodésica, diferente para cada geometria. Para o caso da esfera, essa curva é o que chamamos de um grande círculo4_{, como se pode ver na figura2.2.}

4_{Um círculo traçado sobre a superfície de uma esfera com o mesmo perímetro de sua circunferência, dividindo-a}

Figura 2.2 – A curva que nos dá a menor distância entre dois pontos localizados na superfície da esfera é um grande círculo [13].

Um elemento de linha invariante, também chamado de intervalo espaço-temporal (análogo à distância no espaço Euclidiano), é definido por

d � d � d d (2.10)

No entanto, nosso principal interesse não é nesse objeto em si, mas em um outro, de extrema importância em RG, que aparece quando expressamos o intervalo espaço-temporal5 _{em um}

sistema de coordenadas arbitrário

d � d d

� � d d (2.11)

onde

� � (2.12)

é o objeto procurado. Ele é o chamado tensor métrica, ou também conhecido simplesmente por métrica. É um tensor simétrico (� � � ) de segunda ordem, que trasmite todas as informações sobre geometria do espaço-tempo. Usando-o, podemos definir noções de distâncias, volumes, ângulos e curvatura; exatamente o que faremos na seção (2.5). No momento, precisamos saber expressar a conexão afim em termos da métrica, pois sabendo a geometria do espaço-tempo, isto é, conhecendo� , conheceremos ⎟ e por meio da equação (2.8) saberemos o movimento do objeto ou partícula considerado [32].

2.2.1 Relação Entre a Conexão Afim e o Tensor Métrico

Como explicado anteriormente, estamos interessados em obter uma relação entre a conexão afim e o tensor métrica, definidos respectivamente pelas equações (2.9) e (2.12). De agora em diante, usaremos sempre que necessário a notação simplificada, que foi apresentada no início desse trabalho. Nessa notação, a aquação (2.12) pode ser reescrita como

� � � �� � (2.13)

tomando-se a derivada com relação à e fazendo uma permutação cíclica nos índices, obtemos:

� � � �� � � � �� � (2.14)

� � � �� � � � �� � (2.15)

� � � �� � � � �� � (2.16)

somando as equações (2.14) e (2.15) e subtraindo a equação (2.16), ficamos com

� � � � � � � �� � (2.17) De (2.9), temos que: � � �⎟ (2.18) e substituindo (2.18) em (2.17), obtêm-se: � � � � � � � �� �⎟ � �� ⎟ (2.19)

Neste momento, faz-se necessário definirmos a inversa do tensor métrica� . A denotare- mos por� e obedecerá a seguinte relação:

aplicando a identidade acima na equação (2.19), obtêm-se finalmente a relação procurada ⎟ � �

�� � � � � � � (2.21)

O que essa equação faz é nos dizer como obter as componentes da conexão afim, uma vez conhecida a métrica. Recorreremos a esta relação com frequência no restante deste trabalho.

Outra informação conceitualmente muito importante é que a conexão afim não é um tensor. Existem duas maneira simples e diretas de se demonstrar isso: a primeira é que se o tensor é nulo num dado sistema de coordenadas, então ele também o será em todos os outros. E através das equações (2.4) e (2.8), vimos que isso não ocorre com a conexão afim. Matematicamente, pode- mos chegar a essa mesma conclusão submetendo a conexão a uma transformação de coordenadas que, de acordo com (2.9), deve se dar da seguinte forma:

⎟′ _� ′

′ ′ �

′

′ ′

� ′ _{′ ′} � _{′ ′} (2.22)

onde, usando novamente a definição (2.9), obtemos ⎟′ _� ′

′ ′ ⎟ �

′

′ ′ (2.23)

se⎟ fosse de fato um tensor, esperaríamos obter apenas o primeiro termo do lado direito da equação (2.23); mas existe um segundo termo, não-homogêneo, que faz com que essa transfor- mação não seja a de um tensor. É justamente esse termo extra que garante podermos encontrar referenciais nos quais a conexão afim é nula (os referenciais inerciais) e outros nos quais ela não é (referenciais não inerciais).