Forberedelse og gjennomføring av intervjuene

Nesta seção, um método analítico e automático para a estimação do ruído dependente do sinal é proposto. Para isto, inspirado no modelo definido em (Foi, 2009), vamos considerar o seguinte modelo aditivo, equivalente à Equação 3.2

(6.12) onde é o pixel ruidoso, é o pixel livre de ruído a ser estimado e _{é um ruído Gaus-} siano, dependente do sinal (função de ) e de média zero, tal que _{, onde a vari-} ância do ruído é .

Seja a função de densidade de probabilidade da verossimilhança dada por

(6.13)

Onde e são os parâmetros.

Definido este modelo, vamos estimar o valor de por Máxima Verossimilhança. As- sim, sejam a verossimilhança conjunta e o seu o logaritmo

(6.14) e (6.15)

Aplicando a derivação com relação a _{e igualando a zero, temos}

(6.16)

(6.17)

onde e correspondem às médias globais das imagens ruidosa e livre de ruído, respectiva- mente, sendo que a última pode ser estimada sobre uma imagem pré-suavizada pelo método Non Local Means, por exemplo.

Desta forma, temos que a variância final do ruído pode ser definida como

(6.18)

6.2 Metodologia

A metodologia proposta consiste em utilizar Campos Aleatórios Markovianos utili- zando um modelo a priori contextual para a filtragem de imagens tomográficas. Para isso é necessário inicialmente efetuar a estimação de parâmetros de Campo Aleatório Markoviano a

priori.

Em (Mascarenhas e Frery, 1994) foi derivada a Equação de Máxima Pseudo Verossi- milhança para a estimação do parâmetro beta do modelo de Potts para o caso de vizinhança de primeira ordem, enquanto que em (Levada, 2010) foi derivada para segunda e terceira ordens. Em ambos os trabalhos, esta equação foi resolvida por métodos numéricos. Em nosso caso, adotamos o modelo de Potts com até 256 tons de cinza, representando a imagem original (sem ruído), estimando o parâmetro beta pelas Equações de Máxima Pseudo Verossimilhança.

Por outro lado, no Modelo de Potts, a contribuição de um pixel vizinho ao pixel cen- tral da vizinhança é não nula apenas quando o pixel da vizinhança é igual ao pixel central. Para obter um modelo mais contínuo, Li (Li, 2009) propôs o chamado Generalized Isotropic

Multi-Level Logistic Markov Random Field Model (GIMLL), onde a contribuição do pixel

vizinho é contínua, dependendo da diferença entre o pixel vizinho e o pixel central. Como uma alternativa ao Modelo de Potts adotamos também o Modelo GIMLL.

Neste modelo, é utilizada a norma L2 sobre a diferença entre o pixel vizinho e o cen- tral. Desta forma também propomos o uso da norma L1, definindo o modelo que chamamos aqui de GIMLL-L1. Também para o GIMLL, não é possível obter-se uma forma fechada para

a estimação do parâmetro beta, sendo ele obtido por método numérico (Martins, Levada et al., 2009). E ainda, podemos utilizar diferentes vizinhanças.

Além destes modelos foi utilizado também o modelo GMRF. Este último foi utilizado também para modelar a verossimilhança, que geralmente foi modelada por Gaussiana. Portan- to, ao todo temos oito combinações verossimilhança-priori, escolhendo-se um modelo para a verossimilhança entre Gaussiana e GMRF e um modelo para a priori entre Potts, GIMLL, GIMLL-L1 e GMRF.

Estes modelos foram utilizados em conjunto com diversos algoritmos de otimização estatística como o ICM, GSA e MPM. Para esta abordagem ver o Capítulo 4. Vale ressaltar ainda que para considerar o ruído dependente do sinal nos métodos iterativos, foi proposto substituir o valor da variância da verossimilhança (observação) em cada ponto pela soma das variâncias , onde a primeira vem da estimava da imagem livre de ruído dada pelo filtro da Média e a segunda dos métodos de estimação do ruído.

Além de comparar os resultados com esses diferentes algoritmos, os resultados foram comparados também às filtragens de Wiener Pontual, Wiener com MRF Separável, Wiener com MRF Isotrópico e Wiener Generalizado (veja o Capítulo 5) e do método estado da arte para filtragem de ruído Gaussiano denominado Non Local Means. E mais, foram comparados os resultados para ruído dependente do sinal e independente do sinal.

O desenvolvimento do trabalho contemplou a implementação dos estimadores dos pa- râmetros dos modelos contextuais, dos algoritmos ICM, GSA, MPM, dos métodos baseados em Wiener (Pontual, MRF Separável, MRF Isotrópico, Informação de Fisher), dos métodos de estimação de ruído dependente do sinal e de outros métodos da literatura que foram utili- zados para a comparação de desempenho. Para isso, o software Matlab foi utilizado para sua implementação que ao final do processo produziu os resultados que foram analisados e discu- tidos no trabalho proposto.

Vale ressaltar que foram estendidas as implementações feitas em (Levada, 2010) dos métodos de otimização ICM, GSA, MPM e dos estimadores dos parâmetros dos modelos con- textuais. Além disso, o algoritmo de reconstrução POCS paralelo utilizado foi o de (Salina, 2007).

Diversas medidas quantitativas para avaliação de qualidade de imagens foram utiliza- das na comparação entre os diferentes métodos, dentre as quais Mean Square Error (MSE),

Peak Signal-To-Noise Ratio (PSNR), Improvement in Signal-To-Noise Ratio (ISNR), Univer- sal Image Quality Index (UIQ) e Structural Similarity Index (SSIM) (Wang e Bovik, 2009).

Estas medidas de avaliação serão apresentadas na Seção 6.3.

Para fazer estes testes e avaliar o desempenho dos métodos, dispomos de dados de projeção das imagens CT do CNPDIA da Embrapa (fornecidas em parceria), com baixa (3s de exposição por ponto de projeção) ou alta (20s de exposição por ponto de projeção) taxa de contagem. No primeiro caso, consideramos que a imagem é ruidosa, enquanto que no segundo caso a imagem foi considerada sem ruído permitindo assim comparação com outros métodos já propostos anteriormente. E também foram implementadas as filtragens de imagens clássi- cas na área de Tomografia, como a do phantom de Shepp-Logan (Shepp e Logan, 1974), cor- rompida por ruído gaussiano (gerado por ruído Poisson nas projeções). Vale ressaltar que fil- traremos imagens que foram reconstruídas por Retroprojeção Filtrada (FBP) ou por POCS. Além disso, foi gerado um conjunto de imagens simuladas, cujo processo está descrito no Apêndice A. Estas imagens também foram utilizadas para a avaliação dos métodos de filtra- gem de ruído. Por fim, estudos dos parâmetros dos métodos de estimação do ruído e de filtra- gem também foram realizados e encontram-se nos Apêndices D a F.