A autora, em sua dissertação sobre o tema A Geometria dedutiva em livros didáticos das escolas públicas do Estado de São Paulo para o 3º. e 4º. Ciclos do Ensino Fundamental, analisou livros didáticos referentes à época de 1990 até 2005. O objetivo de seu trabalho era verificar como as coleções de livros didáticos acompanharam as discussões na área da Didática da Matemática relacionadas ao ensino-aprendizagem da Geometria Dedutiva, incluindo diferentes apreensões em épocas distintas.
Carlovich buscou responder às seguintes questões:
Em que medida os livros didáticos paulistas de 3º. e 4º. Ciclos do Ensino Fundamental acompanharam discussões da Didática da Matemática sobre o ensino da Geometria nos períodos anterior e posterior à implantação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), para este nível de ensino, em 1995?
O que distingue os livros didáticos paulistas de 3º. e 4º. Ciclos do Ensino Fundamental do período anterior daqueles do período posterior à implantação do PNLD (1995) quanto à incorporação dos resultados de pesquisas sobre o ensino-aprendizagem da Matemática, mais especificamente sobre o ensino da Geometria Dedutiva? (CARLOVICH, 2005, p.35).
A fundamentação teórica do trabalho de Carlovich baseou-se nos estudos realizados por Parzysz (2000) sobre a classificação de Geometrias, e na Teoria Antropológica do Didático (TAD), sugerida por Chevallard (1999), sobre a análise de tarefas propostas nos livros didáticos. Na classificação de Geometrias, feita por Parzysz (2000), foram consideradas duas posições de estudo: os objetos em jogo – físicos ou teóricos – e os
modos de validações – perceptivos ou dedutivos.
Figura 6 – Classificação das Geometrias conforme Parzysz (2000, apud CARLOVICH 2005, p.30)
A articulação entre os diferentes níveis das Geometrias é o ponto principal do ensino da Geometria, salienta Parzysz (2000), permitindo aos iniciantes nos estudos das demonstrações perceberem a importância do salto do raciocínio empírico ao dedutivo. Essa teoria auxiliou a autora nas análises das propriedades geométricas apresentadas em cada coleção, na percepção da passagem de G1 para G2, como também na articulação dos dois tipos de validação – perceptivas e dedutivas.
Em relação à TAD de Chevallard, a autora analisou a Organização Praxeológica, em termos do discurso teórico-tecnológico, associada aos exercícios que foram propostos sobre propriedades geométricas referentes aos conteúdos que requeriam demonstrações.
A autora utilizou a pesquisa documental e bibliográfica para selecionar as coleções de livros didáticos em épocas distintas, ao mesmo tempo em que realizava um estudo histórico sobre o ensino-aprendizagem da Geometria Dedutiva.
Em suas considerações, Carlovich evidenciou que nas coleções de 1990 há um predomínio de validações dedutivas com raras verificações empíricas, não havendo articulação entre G1 e G2. Uma das coleções apresenta as demonstrações como deduções, e as solicitações para que os alunos demonstrem alguma propriedade são raras. Em uma outra coleção dessa mesma época, há um cuidado maior com o dedutivo, como a preocupação em definir o que é uma demonstração, a apresentação das demonstrações e o enunciado dos teoremas. Entretanto, em nenhuma das coleções é explicada a importância da demonstração no processo axiomático da Matemática. Observou a autora que nas
coleções da época de 1990 há uma intenção de ruptura com o ensino da Geometria nos moldes euclidianos, buscando-se uma aplicação mais prática da Geometria.
Nas coleções analisadas a partir de 2000 percebe-se o estudo da Geometria intercalado com outras partes da Matemática, até mesmo com outras áreas do conhecimento. As validações das propriedades geométricas ocorrem tanto em G1 – empiricamente – como em G2 – dedutivamente. Em uma das coleções há a preocupação em explicar que a demonstração é uma forma de mostrar uma propriedade além da verificação empírica; todavia, nas coleções analisadas não é feita a diferenciação entre os termos postulado e teorema. Aparece como característica de duas coleções a solicitação de demonstração nos exercícios propostos, amparada em exemplos anteriores. Nas coleções de 2000 há um equilíbrio entre as validações empíricas e dedutivas.
Sintetizando as considerações da autora sobre as análises realizadas em coleções de livros didáticos na época de 1990 e 2000, citamos:
Nossa análise das coleções de livros didáticos dos anos 2000 aponta para algum otimismo em relação ao ensino da Geometria no Brasil. Em primeiro lugar, a Geometria apresenta-se nos livros em capítulos intercalados e mais integrada com as outras partes da Matemática. Isso acena para uma mudança em relação ao seu abandono. Quanto ao ensino da Geometria dedutiva, a análise das coleções de 2000 apresenta indícios para a apropriação dos enforques empíricos e heurísticos nos livros didáticos brasileiros. Os alunos são envolvidos para conjecturar e descobrir heuristicamente as demonstrações das propriedades geométricas (CARLOVICH, 2005, p.121).
Consideramos de fundamental importância os estudos realizados por Carlovich, basicamente no que diz respeito às mudanças ocorridas nas coleções de livros didáticos a partir da década de 2000 pela criação do PNLD, proporcionando progressos em relação às abordagens dadas aos conteúdos matemáticos que exijam a formalização que caracteriza o método axiomático.
Discutiremos as contribuições da pesquisa de Carlovich juntamente com as demais pesquisas apresentadas, articulando os aspectos principais de cada uma delas.
2.2.2 Estudos sobre prova e demonstração em conteúdos do Ensino Médio – pesquisas