Nesta secção analisamos as respostas dos alunos às questões 3, 4 e 5, sendo que estas são questões de caráter geral e envolvem relações entre áreas de superfícies e volumes.
Neste conjunto de itens consideramos corretas as respostas mesmo que os alunos não as tenham justificado. Tal como para o primeiro conjunto de questões, classificamos como parcialmente incorretas respostas que tivessem partido de pressupostos corretos, mas que, por erros cometidos no seu desenvolvimento, tivessem conduzido a um resultado incorreto.
Tabela 6 — Frequência dos diferentes tipos de resposta às alíneas 3a), 3b), 4 e 5.
Itens
Tipos de resposta Não responde Correta Parcialmente correta Incorreta
3. Dado um cubo constrói-se um novo cubo duplicando o comprimento da aresta. a) A área total do novo cubo é quantas
vezes a área total do primeiro? 5 0 9 8
b) O volume do novo cubo é quantas
vezes o volume do primeiro? 4 1 8 9
4. Dados dois cubos, um menor do que
o outro, comparar a razão entre a área total e o volume de cada um dos cubos.
1 0 13 8
5. Dada uma folha de papel A4,
enrolando a folha segundo as duas formas possíveis, o volume dos cilindros obtidos é igual ou diferente?
5 0 17 0
A alínea 3a) foi respondida corretamente por cinco alunos. Destes, três justificaram as suas respostas com a concretização de casos particulares, sendo que um destes alunos particularizou para mais do que um caso (Figura 25).
Figura 25. Resolução apresentada pelo aluno A18 à alínea 3a).
O aluno A18 depois de concretizar quatro casos calculou a área total de cada um dos cubos e abstraiu a relação pretendida.
Das respostas apresentadas à alínea 3a), só uma foi considerada parcialmente correta (Figura 26).
Figura 26. Resolução apresentada pelo aluno A21 à alínea 3a).
O aluno A21 utilizou um esquema de dois cubos nas condições pedidas e recorreu à fórmula de cálculo da área de um quadrado, que multiplicou pelo número de faces do cubo, 6. No entanto, acabou por dar uma resposta parcialmente correta devido a, no desenvolvimento da sua resposta, ter incorrido em um erro de cálculo algébrico, quando considerou 2
2x
x
x .
Em relação às respostas incorretas à alínea 3a), estas foram nove e cinco destas foram justificadas usando estratégias intuitivas (Figura 27).
Figura 27. Resolução apresentada pelo aluno A15 à alínea 3a).
O aluno A15 recorreu à regra mais A – mais B para justificar a sua resposta, isto apesar de ter feito um esquema geométrico de dois cubos que acabou por não utilizar na sua justificação. Duas das respostas incorretas afirmavam que a área total do cubo duplicava quando era duplicada a aresta, sem apresentarem qualquer justificação.
Das nove respostas incorretas, sete afirmavam que quando a aresta de um cubo duplica, a área do cubo também duplica. Fica evidente o enraizamento que as relações lineares têm na forma de raciocinar dos alunos, tal como advogam De Bock et. al., citado por Martins e Fernandes (2011): “as proporções parecem estar profundamente enraizadas no conhecimento intuitivo dos alunos e são usadas de forma espontânea e até mesmo inconsciente, o que torna a abordagem linear natural, inquestionável e, em certa medida, inacessível à introspeção ou reflexão” (p. 2002). As restantes duas respostas erradas envolveram o uso de fórmulas erradas da determinação da área total do cubo.
Na alínea seguinte 3b) obtiveram-se quatro respostas corretas. Destas, uma foi dada utilizando a razão de semelhança entre volumes (Figura 28).
Figura 28. Resolução apresentada pelo aluno A19 à alínea 3b).
O aluno A19, apesar de ter respondido de forma correta, não apresentou qualquer justificação para a sua resposta.
As restantes três respostas corretas foram dadas com recurso à concretização de casos particulares (Figura 29).
Figura 29. Resolução apresentada pelo aluno A3 à alínea 3b).
O aluno A3 considerou dois cubos, um com aresta 2 e outro com aresta 4, calculou os respetivos volumes e de seguida determinou a razão entre os seus volumes para obter a resposta.
Na única resposta parcialmente correta, o aluno A21 voltou a cometer um erro de cálculo algébrico que o levou a uma conclusão incorreta, tal como aconteceu na alínea 3a).
Em relação às respostas incorretas, das oito destacamos quatro. Nessas quatro respostas cada um dos alunos respondeu que o volume do cubo duplicava quando era duplicado o comprimento da sua aresta. Mais uma vez temos presente a prevalência da linearização, desta vez na relação entre volumes. Dois destes quatro alunos utilizaram estratégias intuitivas do tipo mais A – mais B para justificar a sua resposta (Figura 30).
Figura 30. Resolução apresentada pelo aluno A15 à alínea 3b).
O aluno A15 argumenta que se a aresta do cubo duplica, então o mesmo acontece com o volume, ou seja, se a aresta aumenta o mesmo acontece com o volume e na mesma razão.
Em relação à questão 4, esta foi, conjuntamente com a alínea 6b), a que obteve menos respostas corretas. Somente um, dos vinte e dois alunos, respondeu corretamente a esta questão (Figura 31).
Figura 31. Resolução apresentada pelo aluno A18 à questão 4.
O aluno A18, tal como já tinha feito nas alíneas 1b), 3a) e 3b), recorreu à concretização de casos particulares para justificar a sua resposta, não utilizando nenhuma regra intuitiva.
À questão 4 não foi apresentada qualquer resposta parcialmente correta.
As respostas incorretas dadas à questão 4 foram treze, o que faz desta a segunda questão em que mais alunos erraram. Destas treze respostas, duas foram justificadas com casos particulares (Figura 32).
Figura 32. Resolução apresentada pelo aluno A3 à questão 4.
Apesar de o aluno A3 ter determinado corretamente o volume de ambos os cubos, para os casos que considerou, não soube determinar as suas áreas totais, ao considerar que estas seriam a soma das áreas de uma só face de cada cubo.
Das restantes onze respostas incorretas, três não apresentaram qualquer justificação e oito justificaram com recurso à regra intuitiva mais A – mais B (Figura 33).
Figura 33. Resolução apresentada pelo aluno A19 à questão 4.
A questão 5 era acompanhada de um esquema que apresentava duas folhas A4, cada uma enrolada segundo um dos seus lados, formando cada uma um cilindro (Figura 34). O objetivo era a comparação dos volumes destes dois sólidos com a mesma área lateral.
Figura 34. Esquema das folhas apresentado na questão 5.
À pergunta se os volumes dos dois cilindros formados seriam iguais ou diferentes, apenas cinco alunos responderam, de forma correta, que os volumes seriam diferentes. Nenhum destes alunos recorreu a cálculos para justificar a sua resposta, tendo todos optado por justificações intuitivas: um aluno recorreu à regra mais A - mais B (Figura 35), três alunos recorreram à regra intuitiva diferente A - diferente B (Figura 36), e outro aluno, apesar de ter dado a resposta correta, não soube justificá-la de forma clara.
Figura 35. Resolução apresentada pelo aluno A17 à questão 5.
Ao utilizar a regra intuitiva mais A - mais B o aluno A17 chegou à resposta correta, embora possamos conjeturar que a sua ideia seria a de que o cilindro B teria maior volume que o cilindro A, logo diferentes, o que não é correto, pois o cilindro A tem maior volume que o cilindro B. Deduzimos que quando escreve “comprimento” o aluno se refere à altura do cilindro.
Figura 36. Resolução apresentada pelo aluno A19 à questão 5.
O aluno A19 aplicou a regra intuitiva diferente A - diferente B para justificar a sua resposta, embora não seja claro o raciocínio que o conduziu à conclusão, pois utilizou parte dos dados do problema para se justificar.
Dos alunos que responderam corretamente que os volumes dos cilindros seriam diferentes, apenas um aluno utilizou a regra intuitiva mais A – mais B (Figura 37).
Figura 37. Resolução apresentada pelo aluno A1 à questão 5.
Também neste caso, o aluno A1 não deixa claro na sua resolução o que o levou à conclusão apresentada, embora este aluno tivesse intuído, corretamente, que o cilindro A teria maior volume que o cilindro B, ao contrário do que parece ter acontecido com o aluno A17.
Relativamente às respostas incorretas, nenhuma delas foi apresentada com recurso a cálculos, tendo sido todas justificadas com base em regras intuitivas.
A aplicação da regra intuitiva mesmo A – mesmo B é ilustrada na Figura 38.
Figura 38. Resolução apresentada pelo aluno A12 à questão 5.
O aluno A12 considerou que pelo facto de a folha ser a mesma, isso daria origem a um cilindro com o mesmo volume. Respostas incorretas equivalentes a esta foram apresentadas por dezasseis alunos.