Até o momento foi apresentada uma metodologia para deĄnição de controladores no domínio-� e as relações que mapeiam este controlador para o domínio tempo. Resta porém relatar como identiĄcar o importante sinal de transformação �(�) no contexto das aplicações, bem como os requisitos necessários para validade do método. Esta seção é dedicada para tratar desta questão.
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Para simpliĄcar a notação, segue que ˙x(θ) denota a derivada em relação ao domínio-θ, isto é, dx(θ)/dθ. Observe que a derivada tradicional em relação ao domínio do tempo será mantida como ˙x(t) =
Capítulo 3. Metodologia Proposta 64 O método proposto pode ser empregado de forma sistemática para a classe de aplicações que satisfazem as seguintes condições listadas na sequencia.
∙ Os sinais de referência e distúrbio podem ser expressos na forma
�(�) = p� ︁
ã(�)︁ , �(�) = p� ︁
ã(�)︁ . (3.68)
∙ As funções p� : R ⊃ R e p� : R ⊃ R são periódicas de mesmo período ��, cujo valor é contante e conhecido.
∙ Os sinais ã(�) e sua derivada ˙ã(�) estão disponíveis em tempo-real para todo � ⊙ 0. ∙ O sinal ã(�) é estritamente crescente, ou seja, ˙ã(�) > 0 para todo � ⊙ 0.
Caso estes critérios forem satisfeitos, é possível aplicar o método sistemático apre- sentado para escolher a funções de transformação. Neste caso, é suĄciente o conhecimento apenas da função �(�) (e sua derivada), não havendo a necessidade de explicitar t(�) pois este não faz parte da formulação proposta.
Conforme o Teorema 3.3, segue que �(�) pode ser escolhido como
�(�) = � ã(�) ∴ Ω(�) = � ˙ã(�) , (3.69)
para qualquer constante positiva �. Assim os sinais r(�) e d(�) deverão possuir um período constante de �� = � ��.
Conforme já demonstrado na Subseção 3.2.3, a Transformada-Θ para sinais �(�) e
�(�) pertencentes a esta classe resulta na seguinte forma:
r(�) = p�(�⊗1�) , d(�) = p�(�⊗1�) , (3.70) Aplicando a função de transformação inversa �(�) = � ã(�) é fácil veriĄcar que a represen- tação retorna para forma original:
Θ⊗1︁ p�(�⊗1�) ︁ = p�(ã(�)) = �(�) , Θ⊗1 ︁ p�(�⊗1�) ︁ = p�(ã(�)) = �(�) . (3.71) A escolha do escalar � Ąca a critério do projetista. Sugere-se escolha de � para que
�� seja sempre 2Þ, isto é: � = 2Þ/��. Em grande parte das aplicações as funções p� e p� são trigonométricas de período 2Þ, nestes casos é conveniente deixar � = 1.
3.4.1 Exemplo de Aplicação 1: Máquinas Rotativas
Considere uma máquina rotativa (WIT; PRALY, 2000) onde o estado �0(�) denota
Capítulo 3. Metodologia Proposta 65 que este sistema está sujeito a uma perturbação dependente da sua posição angular na forma �(�) = p� ︁ �0(�) ︁ , (3.72)
onde p� é uma função periódica com período Ąxo de 2Þ (isto é, uma revolução em radia- nos). Observe que �(�) irá apresentar período variante no tempo dependendo da trajetória no tempo de �0(�).
Com base no procedimento sistemático proposto anteriormente, segue que ã(�) =
�0(�) e ˙ã(�) = �1(�). Então considerando � = 1 temos que a função de transformação �(�)
representa simplesmente a posição angular do motor:
�(�) = �0(�) . (3.73)
Por sua vez, a função Ω(�) irá representar a velocidade angular do motor
Ω(�) = ˙�(�) = �1(�) . (3.74)
Desta forma o sinal distúrbio pode ser representado no domínio-� conforme
f(�) = p�(�) (3.75)
com período �� = 2Þ e a função selecionada �(�) = �0(�) retorna a representação do sinal
para a forma original.
Note contudo neste exemplo que �0(�) deve ser assumido estritamente crescente.
Esta suposição é válida se a velocidade angular �1(�) do motor for sempre positiva, isto
é, a máquina não inverte o sentido de rotação.
3.4.2 Exemplo de Aplicação 2: Inversor de Frequência Variável
Considere um sistema inversor de frequência PWM de fase única (SALTON et al., 2013b) onde deseja-se obter na saída uma forma de onda senoidal com frequência fundamental variável ��(�) (em Hz) a ser imposta em tempo-real pelo operador do sistema. O sinal de referência no domínio do tempo assume a forma
�(�) = sen︁ã(�)︁, (3.76)
onde ã(�) é computado pela integração de
˙ã(�) = 2Þ��(�) . (3.77)
Neste caso pode-se escolher �(�) = � ã(�) e Ω(�) = � 2Þ��(�) para qualquer � > 0. Deixando novamente � = 1 segue que o sinal de referência pode ser representado no domínio-� como
f(�) = sen(�) , (3.78)
Capítulo 3. Metodologia Proposta 66
3.5 Comentários Finais
Este capítulo apresentou a contribuição central deste trabalho que consiste em uma metodologia para construção de Controladores Transformados para o tratamento de sinais de período variante no tempo. Na sequência do texto, esta ideia é explorada para a deĄnição dos Controladores Ressonante e Repetitivo Transformados, nos respectivos Capítulos 4 e 5.
É possível comparar a metodologia proposta com algumas técnicas de tratamento de sinais de período variante encontradas na literatura. Destaca-se aqui o método de amos- tragem de controladores em relação à posição angular para máquinas rotativas (CHEN; CHIU, 2008). Esta técnica pode ser considerada como um caso particular da metodologia proposta quando utilizada para esta classe de aplicações, conforme mostrado na Subseção 3.4.1. Entretanto, a metodologia proposta diferencia-se por oferecer um meio de trans- portar a representação da dinâmica do controlador para o domínio do tempo, evitando assim a necessidade de realizar implementação e projeto do sistema no domínio da posição angular. Na literatura também são encontrados os Controladores Repetitivos de Atraso Variante (YAO; TSAI; YAMAMOTO, 2013; MERRY et al., 2011; CHEN et al., 2013) que consistem na alteração do retardo temporal do Controle Repetitivo de acordo com o período dos sinais. Estes controladores, contudo, não apresentam uma representação no domínio da frequência por causa do atraso de transporte variante no tempo (conforme de- monstrado na Tabela 2). Em contrapartida, a metodologia proposta mostra que é possível encontrar uma resposta em frequência-� para sistemas com atraso de transporte variante no tempo, permitindo assim a clara associação com o PMI.
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4 Controlador Ressonante Transformado
Este capítulo apresenta o desenvolvimento da primeira estratégia de controle pro- posta neste trabalho: o Controlador Ressonante Transformado. Primeiramente será reali- zada a deĄnição do controlador no domínio da frequência-�, para após formular a dinâmica equivalente no domínio do tempo. Posteriormente está organizada um metodologia siste- mática para síntese robusta do controlador. Ao Ąm do capítulo são mostrados exemplos numéricos para demonstração e avaliação da proposta.