11.3 Multiple valuation
11.3.4 Fair value, relative value and market consensus
Mesmo em uma regi˜ao distante do Sol, tal como a regi˜ao onde est˜ao os sat´elites conhecidos de Plut˜ao, os efeitos da press˜ao de radia¸c˜ao solar devem ser levados em con- sidera¸c˜ao para que se avalie a dinˆamica de gr˜aos microm´etricos de uma forma completa. A componente RP da radia¸c˜ao solar dita a dinˆamica orbital dos gr˜aos aumentando as excentricidades de suas ´orbitas e conduzindo-os a encontros pr´oximos com corpos mas- sivos do sistema em poucos anos ou escape. A componente devido ao arrasto PR pode ser seguramente negligenciado na escala de tempo aqui considerada.
Simulamos numericamente a evolu¸c˜ao orbital de conjuntos de part´ıculas de 3 tamanhos diferentes, 1, 5, e 10µm de raio, ejetadas perpendicularmente das superf´ıcies dos sat´elites Nix e Hidra. Estas part´ıculas se moviam sob os efeitos gravitacionais de Plut˜ao, Caronte e dos pr´oprios sat´elites-fontes al´em da press˜ao de radia¸c˜ao solar. Nosso modelo simplificado assumiu um fluxo constante e isotr´opico de impactores nas superf´ıcies de ambos sat´elites pequenos de Plut˜ao na distˆancia do peri´elio deste planeta-an˜ao. As part´ıculas que escapam dos sat´elites s˜ao rapidamente espalhadas e formam um anel tempor´ario de grande largura, englobando as ´orbitas de Nix e Hidra. No entanto, colis˜oes com os corpos massivos, principalmente devido ao efeito da componente RP remove 30% das part´ıculas de 1µm em apenas 1 ano.
Encontramos que um anel muito tˆenue com uma profundidade ´optica normal da or- dem de 10−11
poderia ser mantido pelo mecanismo colisional. ´E v´alido dizer que a dis- tribui¸c˜ao de gr˜aos encontrada no meio interplanet´ario no sistema Solar externo ´e pouco conhecida. Muitas estimativas, fluxo de impactores e Yield, por exemplo, tiveram que ser adotadas para que pud´essemos obter um limite para τ atrav´es deste estudo dinˆamico. Esses s˜ao parˆametros que diretamente est˜ao relacionados ao c´alculo da massa de um
anel estacion´ario. Portanto, se deve tomar com precau¸c˜ao o valor final obtido, uma vez que incertezas nos c´alculos residem no conhecimento muito restrito que temos da real distribui¸c˜ao de gr˜aos presente no ambiente interplanet´ario.
Thiessenhusen et al. (2002) derivou uma profundidade ´optica m´axima de 3 × 10−11
. O foco do trabalho citado era analisar nuvens de poeira ao redor de cada membro do bin´ario Plut˜ao-Caronte. Em nosso estudo, focamos na produ¸c˜ao de poeira por Nix e Hidra, e no fim obtivemos valores de mesma ordem de magnitude de Thiessenhusen et al.. Isto refor¸ca a hip´otese de que mesmo com sondas espaciais cruzando o sistema em quest˜ao, imageamento de an´eis em Plut˜ao seria um desafio, caso eles existam.
A estimativa de τ = 5 × 10−6
de Stern et al. (2006) foi obtida assumindo que uma fra¸c˜ao de 1/10.000 dos gr˜aos era da ordem de micrometros e que o tempo de vida desse conjunto era de 105 anos. O tempo de vida foi adotado tendo como base estudo anterior
que fornecia o tempo m´edio para que n˜ao ocorresse a sublima¸c˜ao dos gr˜aos. Uma vez que os efeitos da RP n˜ao foram inclu´ıdos na an´alise de Stern et al., o tempo de vida m´edio dos gr˜aos ´e muito maior naquele trabalho, e consequentemente a profundidade ´optica derivada ´e maior tamb´em que a que obtivemos. Basicamente, os dois modelos, de Stern e desta tese, s˜ao diferentes e o τ ´e ordens de magnitude menor aqui.
Como discutimos anteriormente, uma sonda espacial que tem a bordo um aparelho detector de poeira espacial pode contribuir no reconhecimento das popula¸c˜oes de detritos presentes no espa¸co. A miss˜ao New Horizons ir´a oferecer uma grande oportunidade para que se tenha medidas deste tipo durante todo o seu caminho at´e o KB. O contador de poeira embarcado nesta sonda pode detectar part´ıculas maiores do que 1µm de raio (Hor´anyi et al. 2008).
3
Captura dinˆamica no sistema Plut˜ao-Caronte
Nesta se¸c˜ao ´e apresentado o estudo desenvolvido durante o meu est´agio de 6 meses de pesquisa em Nice, Fran¸ca. O est´agio foi realizado sob supervis˜ao do pesquisador A. Morbidelli e durante este per´ıodo analisamos um cen´ario alternativo para a origem dos sat´elites pequenos de Plut˜ao e para suas ´orbitas peculiares.
Em termos gerais, estudamos a captura dinˆamica de planetesimais por Plut˜ao-Caronte, durante uma fase intermedi´aria do sistema Solar, quando existia um disco heliocˆentrico de planetesimais ao redor dos planetas j´a formados, e o bin´ario estava supostamente inserido neste disco. A nossa motiva¸c˜ao vem do fato de que n˜ao existe ainda um modelo que explique completamente como Estige, Nix, C´erbero e Hidra foram formados e como eles evoluiram posteriormente at´e suas ´orbitas atuais. Constru´ımos nosso modelo baseado na possibilidade de que a intera¸c˜ao de 3 corpos (entre Plut˜ao, Caronte e um planetesimal) poderia resultar na captura tempor´aria dos planetesimais em ´orbitas plutocˆentricas. As- sim, se planetesimais capturados colidissem com outros planetesimais do disco em uma taxa suficiente, um disco de proto-sat´elites poderia se formar, levando `a acres¸c˜ao de pe- quenos sat´elites, tais como os observados ao redor do baricentro de Plut˜ao atualmente.
Acredita-se que o sistema Solar passou por dois est´agios antes de chegar ao est´agio at- ual. O primeiro foi caracterizado pela existˆencia de um disco de g´as: os planetas gigantes tinham excentricidades orbitais e inclina¸c˜oes muito pequenas, al´em de estarem em uma configura¸c˜ao compacta, muito mais pr´oximos uns dos outros do que est˜ao hoje em dia (Pollack et al. 1996, Lubow et al. 1999); e o segundo pela existˆencia de um disco de plan- etesimais: o g´as j´a havia sido dissipado e um disco de objetos existia al´em da ´orbita dos planetas gigantes. A segunda fase teria durado cerca de 700 milh˜oes de anos (Morbidelli 2010). Trabalhamos com a hip´otese de que o bin´ario Plut˜ao-Caronte estava inserido no disco de planetesimais, o qual foi provavelmente 1.000 vezes mais populoso do que o at- ual Cintur˜ao de Kuiper (p. ex., Morbidelli et al. 2008). O disco pode ter existido por centenas a milhares de anos, antes de ser fortemente destru´ıdos pela evolu¸c˜ao orbital dos planetas gigantes (Levison et al. 2008). Durante essa fase massiva do disco, planetesimais em grande n´umero devem ter tido encontros pr´oximos com o bin´ario Plut˜ao-Caronte. Nossa hip´otese ´e baseada na existˆencia de Caronte vinculado a Plut˜ao, assim temos a possiblidade de troca de energia entre 3 corpos (bin´ario mais a part´ıcula), possibilitando capturas dos planetesimais em ´orbita ao redor deles. De outra maneira, se Plut˜ao fosse um ´unico objeto, ter´ıamos somente part´ıculas atravessando sua esfera de Hill em ´orbitas hiperb´olicas.
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E esperado que as part´ıculas capturadas estejam em ´orbitas altamente excˆentricas e que as capturas sejam tempor´arias, pois trocas de energias s˜ao revers´ıveis. No entanto, se o planetesimal (ou planetesimais) capturado fosse quebrado por colis˜oes com outros planetesimais que sofrem encontros com o bin´ario durante a fase como capturado, ent˜ao o disco de detritos gerado por tais colis˜oes poderia se comportar de uma maneira dis- sipativa, amortecendo a excentricidade e inclina¸c˜ao dos detritos pelas colis˜oes m´utuas.
Eventualmente um disco de detritos coplanar com Caronte e com part´ıculas em ´orbitas circulares poderia ter se formado, o que conduziria, subsequentemente, `a forma¸c˜ao de sat´elites pequenos tais como Estige, Nix, C´erbero e Hidra.
Investigamos este modelo alternativo quantitativamente. Na subse¸c˜ao 3.1, n´os ex- plicamos o m´etodo aplicado, a probabilidade de haver encontros entre planetesimais e o bin´ario, assim como as orienta¸c˜oes e velocidades m´utuas das ´orbitas de encontro. N´os utilizamos estas informa¸c˜oes para modelar o problema numericamente, isto ´e, fazer simula¸c˜oes das capturas. Na subse¸c˜ao 3.2 discutimos os resultados relacionadas as cap- turas e fornecemos uma estimativa para o tamanho do maior planetesimal que poderia ter experimentado uma captura tempor´aria pelo bin´ario. Tamb´em calculamos o tempo de vida colisional das part´ıculas capturadas e o comparamos com os respectivos tempos de vida dinˆamico (aquele obtido atrav´es das simula¸c˜oes num´ericas) como objetos ligados a Plut˜ao. Na se¸c˜ao 3.3 apresentamos uma discuss˜ao dos resultados deste cap´ıtulo. Uma c´opia do artigo Dynamical capture in the Pluto-Charon system est´a no Anexo A2.
3.1
M´etodo
Como foi dito anteriormente, consideramos Plut˜ao como um objeto do disco primor- dial massivo de planetesimais. Devido ao fato de Plut˜ao ter sido um dos objetos mais massivos do disco, presume-se que sua ´orbita apresentava valor em excentricidade e in- clina¸c˜ao pequenos em rela¸c˜ao ao plano m´edio do disco, como consequˆencia de fric¸c˜ao dinˆamica (Wetherill & Stewart 1993). Assim, assumimos por simplicidade que ambas, ex- centricidade e inclina¸c˜ao, eram nulas. Hoje em dia, h´a um consenso em rela¸c˜ao a posi¸c˜ao na qual Plut˜ao estava antes da ocorrˆencia dos eventos que desencadearam a migra¸c˜ao de planetesimais do disco primordial transnetuniano para a regi˜ao definida como Cintur˜ao de Kuiper (“colocando” o pr´oprio Plut˜ao em sua atual posi¸c˜ao). Plut˜ao estava mais pr´oximo do Sol do que est´a atualmente (Malhotra 1993, Levison et al. 2008). Sem perda de generalidade, assumimos que a ´orbita de Plut˜ao tinha semi-eixo maior de 20 UA.
Como primeiro passo de nosso estudo, calculamos as probabilidades, velocidades e posi¸c˜oes das part´ıculas-teste do disco em rela¸c˜ao ao bin´ario Plut˜ao-Caronte. Com esse prop´osito, as excentricidades dos elementos do disco foram aleatoriamente escolhidas at´e um valor m´aximo (emax-parˆametro livre), cujo valor ser´a discutido na subse¸c˜ao 3.2, en-
quanto que as inclina¸c˜oes pertencem ao intervalo [0,imax], com imax= emax/2. O semi-eixo
maior dos planetesimais foi aleatoriamente selecionado dentro do intervalo [18, 22] UA. Geramos, assim, este conjunto de condi¸c˜oes iniciais (a, e, i) para o disco de planetesimais, at´e encontrarmos um n´umero M de ∼1.200 planetesimais cruzando a ´orbita representativa do bin´ario.
Para cada um desses planetesmais, a probabilidade de colis˜ao intr´ınseca p (definida como a probabilidade por alvo km2, por ano), a velocidade no infinito v e a orienta¸c˜ao do
vetor velocidade relativa (θ, φ) foram calculados. Para isto foi utilizada uma abordagem do tipo Opik (Wetherill 1967). Os ˆangulos de orienta¸c˜ao (θ, φ) s˜ao definidos em um
sistema de referˆencia onde o eixo x est´a na mesma dire¸c˜ao do vetor velocidade do bin´ario Plut˜ao-Caronte relativo ao Sol, enquanto que o eixo y aponta na dire¸c˜ao do Sol a partir do baricentro de Plut˜ao-Caronte (Fig. 7-topo). Mais precisamente, θ ´e o ˆangulo que define a proje¸c˜ao do vetor velocidade relativa do planetesimal no plano x–y e φ fornece a latitude do vetor velocidade relativa a este plano. Na realidade, h´a 4 configura¸c˜oes de encontro equiprov´aveis, correspondendo a 4 poss´ıveis combina¸c˜oes de sinais para θ e φ. Para cada planetesimal, selecionamos aleatoriamente estes 2 sinais, fixando, desta maneira, a geometria do encontro.
Figura 7: De cima para baixo: plano de referˆencia x-y e uma representa¸c˜ao do plano-b quando φ = 0◦
. A linha conectando o Sol, Plut˜ao e Caronte define o eixo-X.
Caronte com um conjunto de N part´ıculas, sendo que N ´e proporcional ao valor de p para o considerado planetesimal3. Utilizamos, a seguir, N = 1 para o planetesimal
com a menor probabilidade (p = 9, 3 × 10−21
km−2
y−1
). As part´ıculas s˜ao uniformemente distribu´ıdas no plano-b (Valsecchi & Manara 1997), todas tendo o mesmo vetor velocidade relativa em rela¸c˜ao ao bin´ario assim como o planetesimal considerado possui. O plano-b ´e definido como o plano ortogonal ao vetor velocidade relativa, o qual ´e tangente `a esfera de Hill de Plut˜ao-Caronte (Fig. 7-base). No plano-b foi estabelecido um novo sistema de coordenadas. O centro do sistema de referˆencia ´e a proje¸c˜ao do baricentro de Plut˜ao- Caronte na dire¸c˜ao do vetor velocidade relativa.
Devido `a focaliza¸c˜ao gravitacional do sistema Plut˜ao-Caronte ser pequena para a ve- locidade relativa dos planetesimais considerados neste estudo (veja subse¸c˜ao 3.2), as tra- jet´orias das part´ıculas que est˜ao chegando ao sistema s˜ao fracamente curvadas ou pertur- badas. Assim, part´ıculas que passam al´em de 20Rp do centro do sistema de referˆencia no
plano-b n˜ao tem chance de ser defletida pelos encontros com Caronte (o qual est´a a ∼15Rp
do baricentro do sistema). Por essa raz˜ao, redistribuimos as part´ıculas uniformemente no plano-b mantendo 20Rp como o limite superior relativo ao centro do sistema de referˆencia.
Para part´ıculas que constituem o conjunto associado com cada planetesimal, a receita acima define as posi¸c˜oes iniciais e velocidades relativas ao baricentro do bin´ario Plut˜ao- Caronte. Para iniciar as integra¸c˜oes num´ericas, foi necess´ario fixar a ´orbita de Caronte. Fizemos isto da seguinte maneira: assumimos que a inclina¸c˜ao da ´orbita de Caronte ao redor de Plut˜ao, medida relativa ao plano do bin´ario ao redor do Sol, era a mesma que a atual inclina¸c˜ao orbital de Caronte em rela¸c˜ao ao plano da ecl´ıptica 119◦
(Tholen & Buie 1997). Assumimos que a linha dos nodos da ´orbita de Caronte tinha uma orienta¸c˜ao aleat´oria no plano (x, y). Al´em disso, foi assumido que Caronte estava em uma posi¸c˜ao aleat´oria ao longo de sua ´orbita circular.
Finalmente, aplicamos uma s´erie de rota¸c˜oes e transla¸c˜oes de maneira a transformar todo o sistema (Plut˜ao, Caronte, Sol e part´ıculas do aglomerado) para um novo sistema de referˆencia, centrado em Plut˜ao, cujo plano de referˆencia ´e o plano orbital de Caronte. As integra¸c˜oes num´ericas foram realizadas neste sistema plutocˆentrico, utilizando o inte- grador swift rmvs3 presente no pacote Swift (Levison & Duncan 1994). Cada integra¸c˜ao ´e realizada at´e que todo conjunto de part´ıculas exceda uma distˆancia de 2 raios de Hill (ou 12.000 Rp) de Plut˜ao (2 RH, a seguir). Definimos como “temporariamente capturadas”
as part´ıculas que tiveram, em algum momento, energia negativa relativa a Plut˜ao. A probabilidade Pi que um dado planetesimal seja capturado temporariamente em
uma ´orbita ao redor de Plut˜ao-Caronte ´e obtida como segue. Denotamos por Ki o n´umero
de part´ıculas temporariamente capturadas das Ni part´ıculas integradas em determinado
conjunto, e denotamos por pi a probabilidade intr´ıseca colisional do planetesimal. Assim,
obt´em-se:
3
Planetesimais com maior probabilidade de colis˜ao intr´ınseca ter´a um n´umero maior de part´ıculas no enxame. ´E o planetesimal que d´a origem ao conjunto de part´ıculas.
Pi = pi(20Rp)2Ki/Ni (19)
a probabilidade Pi ´e expressa em ano−1.
A probabilidade m´edia para capturas tempor´arias para a popula¸c˜ao de planetesimais do disco primordial que cruzam a ´orbita que foi assumida para Plut˜ao ´e, portanto
P =
M
X
i=1
(Pi/M ). (20)
em que M ´e o n´umero de planetesimais que s˜ao interceptados por Plut˜ao-Caronte.