Expression of genes uniquely expressed in the resistant cultivar Beate

O texto est´a dividido em cinco Cap´ıtulos. Neste primeiro Cap´ıtulo ´e apresentada a intro- duc¸˜ao ao assunto abordado, o objetivo deste trabalho e uma revis˜ao de literatura relacionada ao estado da arte em aeroelasticidade computacional transˆonica.

O Cap´ıtulo 2 trata da formulac¸˜ao aeroel´astica formada pelo modelo aerodinˆamico em es- coamentos transˆonicos e o modelo dinˆamico-estrutural, e s˜ao apresentadas as n˜ao linearidades concentradas em arfagem no modelo estrututral. Tamb´em, s˜ao discutidas as metodologias aero- dinˆamicas usadas nos dois c´odigos de CFD considerados neste trabalho. E por fim, a metodo- logia de marcha no tempo do sistema aeroel´astico, com a descric¸˜ao das sequˆencias nos c´alculos na interac¸˜ao entre as soluc¸˜oes do modelo estrutural e o c´odigo de CFD.

O Cap´ıtulo 3 cont´em uma discuss˜ao de conceitos de estabilidade em sistemas dinˆamicos n˜ao lineares e alguns termos utilizados para caracterizar os tipos de soluc¸˜oes. Posteriormente, o Cap´ıtulo apresenta a classificac¸˜ao de pontos de equil´ıbrio pelo processo de linearizac¸˜ao. A partir da´ı ´e tratada a bifurcac¸˜ao do tipo Hopf, caracterizando o movimento peri´odico do sistema aeroel´astico. Foi analisado o oscilador de Van der Pol para efeito de exemplificar a metodologia de bifurcac¸˜ao de Hopf. Tamb´em ´e apresentada no Cap´ıtulo 3 a metodologia de potˆencia inversa utilizada para o c´alculo da fronteira de flutter pela an´alise de bifurcac¸˜ao de Hopf. O c´alculo da matriz jacobiana do sistema aeroel´astico, necess´ario para an´alise de bifurcac¸˜ao considerando o modelo estrutural linear e n˜ao linear, ´e o ´ultimo assunto do Cap´ıtulo 3.

O Cap´ıtulo 4 mostra os processos de verificac¸˜ao e de validac¸˜ao do c´odigo de CFD que utiliza malhas n˜ao estruturadas. Nestes processos s˜ao obtidas as soluc¸˜oes de estados estacion´ario e n˜ao estacion´ario, e estas s˜ao comparadas com dados experimentais e com as soluc¸˜oes do outro c´odigo de CFD que utiliza malhas estruturadas, obtidos na literatura t´ecnica.

Os resultados da resposta aeroel´astica no dom´ınio no tempo est˜ao no Cap´ıtulo 5. Primeira- mente, s˜ao obtidas as hist´orias no tempo em arfagem e deslocamentos verticais e s˜ao analisados os efeitos das diferentes condic¸˜oes iniciais, assim como, do tamanho do passo no tempo na resposta aeroel´astica com modelo estrutural linear. Depois, a metodologia de potˆencia inversa foi utilizada para encontrar o ponto de ocorrˆencia de flutter atrav´es da an´alise de bifurcac¸˜ao de Hopf. Os resultados s˜ao comparados com as respostas obtidas com a metodologia de marcha no tempo. N˜ao linearidades estruturais concentradas no modo de arfagem s˜ao consideradas nas metodologias de marcha no tempo e de potˆencia inversa para o c´alculo da fronteira de flutter nas mesmas condic¸˜oes de escoamento e as respostas s˜ao tamb´em comparadas. Atrav´es da me- todologia de marcha no tempo, o comportamento do sistema aeroel´astico ap´os a fronteira de fluttercom modelo estrutural n˜ao linear ´e tamb´em analisado. Da mesma forma ao realizado no caso das an´alises com o modelo estrutural linear, s˜ao apresentadas as hist´orias no tempo em ar- fagem para a mesma condic¸˜ao de escoamento com diferentes incidˆencias iniciais considerando os modelos estruturais n˜ao lineares.

2

MODELO MATEM ´ATICO

2.1

Considerac¸˜oes Iniciais

O acoplamento aeroel´astico formado pelo modelo aerodinˆamico n˜ao estacion´ario em re- gime transˆonico, o modelo dinˆamico-estrutural, e os respectivos m´etodos de marcha no tempo e discretizac¸˜oes espaciais para a soluc¸˜ao num´erica s˜ao apresentados neste Cap´ıtulo.

O modelo aerodinˆamico que descreve o escoamento em regime transˆonico, desconsiderando os efeitos viscosos, ´e dado pelas equac¸˜oes de Euler. As equac¸˜oes de Euler s˜ao apresentadas na forma conservativa bidimensional e dois c´odigos de Dinˆamica dos Fluidos Computacional (CFD) foram utilizados no presente trabalho para soluc¸˜ao das equac¸˜oes. O primeiro c´odigo de CFD corresponde `a soluc¸˜ao das equac¸˜oes utilizando-se um m´etodo de volumes finitos aplicado em um contexto de malhas n˜ao estruturadas (AZEVEDO, 1992). A marcha no tempo de sistema de equac¸˜oes semi-discretizadas ´e feita atrav´es de um m´etodo expl´ıcito do tipo Runge-Kutta h´ıbrido de cinco passos desenvolvido em Oliveira (1993).

O segundo c´odigo de CFD apresentado neste Cap´ıtulo utiliza-se de um m´etodo impl´ıcito em tempo dual de diferenc¸as finitas aplicado em um contexto de malhas estruturadas (DUBUC et al., 1997; CANTARINI et al., 1997). Este c´odigo de CFD ´e utilizado apenas em sua vers˜ao estacion´aria na metodologia para o c´alculo direto da fronteira de flutter atrav´es da an´alise de bifurcac¸˜ao de Hopf, que ser´a apresentada no Cap´ıtulo 3.

O sistema aeroel´astico ´e formado pela equac¸˜ao de movimento de um modelo cl´assico de uma sec¸˜ao t´ıpica, sem amortecimento estrutural, descrevendo o movimento oscilat´orio dado pelos deslocamentos vertical e torcional. O equacionamento primeiramente ´e apresentado com modelo estrutural linear e modificac¸˜oes s˜ao efetuadas na resposta do momento de torc¸˜ao para representar as n˜ao linearidades introduzidas no sistema aeroel´astico.

A integrac¸˜ao no tempo das equac¸˜oes ´e obtida pelo m´etodo de quarta ordem de Runge-Kutta com o c´odigo de CFD em um contexto de malhas n˜ao estruturadas (AZEVEDO, 1992). Esta an´alise fornece a hist´oria no tempo do sistema aeroel´astico para serem observados as respostas convergentes, os movimentos oscilat´orios com amplitudes finitas como os fenˆomenos de flutter, oscilac¸˜oes em ciclos limite, as respostas divergentes, e outros fenˆomenos n˜ao lineares. Atrav´es da an´alise de marcha no tempo das soluc¸˜oes aeroel´asticas, pode ser obtido um estudo completo do comportamento do sistema, no entanto, requerem um alto custo computacional relativo ao c´alculo n˜ao estacion´ario do c´odigo de CFD.