Antes de continuarmos estudando o caso de Cr-conjugação, para r inteiro, vamos estudar o caso de Cw-conjugação, onde w é um módulo de continuidade. Em particular obteremos
resultados para Cβ-conjugação, com 0 < β < 1.
Definição 2.27. Seja ϕ ∈ C0(S1). O módulo de continuidade de ϕ é a função w definida por
w(δ ) = sup
|x−y|≤δ|ϕ(x) − ϕ(y)|.
O item d) da próxima Proposição é de (KOLODII; KHIL’DEBRAND, 1971).
Proposição 2.28. Seja w o módulo de continuidade de uma função ϕ ∈ C0(S1). Então valem
as seguintes propriedades:
a) w(0) = 0;
b) w é monótona não decrescente; c) w é contínua;
d) w(δ1+ δ2) ≤ w(δ1) + w(δ2), se δ1, δ2> 0;
e) w(nδ ) ≤ nw(δ), para n ∈ N e δ > 0; f) w(aδ ) ≤ (⌊a⌋ + 1)w(δ), se a ≥ 0.
Demonstração. Os dois primeiros itens são imediatos e o terceiro decorre do fato de ϕ ser uniformemente contínua (pois é contínua e periódica).
d) Sejam x ≤ y ∈ R tais que |x − y| ≤ δ1+ δ2. Seja z ∈ [x,y] tal que |x − z| ≤ δ1 e |z − y| ≤ δ2.
Então,
|ϕ(x)−ϕ(y)| ≤ |ϕ(x)−ϕ(z)|+|ϕ(z)−ϕ(y)| ≤ sup
|x−z|≤δ1
|ϕ(x)−ϕ(z)|+ sup
|y−z|≤δ2
|ϕ(z)−ϕ(y)|. Como a desigualdade é válida para todo |x − y| ≤ δ1+ δ2, segue que
w(δ1+ δ2) = sup |x−y|≤δ1+δ2
|ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ w(δ1) + w(δ2).
e) Consequência imediata do item anterior; f) Como w é não decrescente e a < ⌊a⌋ + 1, então
w(aδ ) ≤ w((⌊a⌋ + 1)δ) ≤ (⌊a⌋ + 1)w(δ).
2.7.1 O Espaço C
w(S
1)
Seja w : [0,1] → [0,1] uma função contínua, estritamente crescente, com w(0) = 0, w(1) = 1, e tal que w(δ1+ δ2) ≤ w(δ1) + w(δ2). Definimos Cw(S1) como o espaço das funções em
C0(S1) que possuem módulo de continuidade menor ou igual a um múltiplo de w, isto é,
Cw(S1) = ( ϕ ∈ C0(S1); |ϕ|Cw= sup x6=y |ϕ(x) − ϕ(y)| w(|x − y|) < +∞ ) .
Por exemplo, se 0 < β < 1 e w(δ ) = δβ, então
Cw(S1) = ( ϕ ∈ C0(S1); sup x6=y |ϕ(x) − ϕ(y)| |x − y|β < +∞ ) = Cβ(S1),
ou seja, é o espaço das funções que satisfazem uma condição de Hölder de expoente β . Ana- logamente, se w = Id, então Cw(S1) é espaço das funções ϕ ∈ C0(S1) lipschitzianas, isto é,
Cw(S1) = Lip(S1) ∩C0(S1), onde
Lip(S1) = (
ϕ : R → R periódica de período 1;|ϕ|Lip= sup x6=y
|ϕ(x) − ϕ(y)|
|x − y| < +∞ )
.
Diremos que f ∈ D0(S1) é um homeomorfismo de classe Cw se f − Id ∈ Cw(S1) e f−1− Id ∈
Cw(S1). Para o caso em que w = Id diremos que f é um homeomorfismo lipschitziano, e se w(t) = tβ, com 0 < β < 1, diremos que f é um homeomorfismo de classe Cβ.
Proposição 2.29. Se ϕ ∈ Cw(S1) e f ∈ D0(S1) é lipschitziana, então ϕ ◦ f ∈ Cw(S1).
Demonstração. Seja k = | f |Lip. Então, para todo x 6= y, pela Proposição 4.9,
w(| f (x) − f (y)|) ≤ w(k|x − y|) ≤ (⌊k⌋ + 1)w(|x − y|). Assim, como |ϕ( f (x)) − ϕ( f (y))| w(| f (x) − f (y)|) ≤ |ϕ|Cw < +∞ então |ϕ( f (x)) − ϕ( f (y))| w(|x − y|) ≤ (⌊k⌋ + 1)|ϕ|Cw< +∞.
Proposição 2.30. Seja ϕ : R → [a,b],ϕ ∈ Cw(S1) e ψ : [a, b] → R tal que ψ é lipschitziana em
[a, b]. Então ψ◦ ϕ ∈ Cw(S1).
Demonstração. Seja k uma constante de Lipschitz de ψ. Então, para quaisquer x,y ∈ [a,b], temos
|ψ ◦ ϕ(x) − ψ ◦ ϕ(y)| ≤ k|ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ k|ϕ|Cww(|x − y|).
Logo, |ψ ◦ ϕ|Cw = sup x6=y ψ ◦ ϕ(x) − ψ ◦ ϕ(y) w(|x − y|) < +∞. Corolário 2.31. Se ϕ ∈ Cw(S1) e ϕ > 0, então 1 ϕ ∈ C w(S1).
Demonstração. Como ϕ é contínua e periódica, então ϕ(x) ∈ [a,b] para todo x ∈ R, onde a,b > 0. Como a aplicação x 7→ 1x é lipschitziana em [a,b], o resultado segue da Proposição 2.30.
Corolário 2.32. Se 0 ≤ r < +∞ e ϕ ∈ Cr(S1), com Drϕ lipschitziana e ϕ > 0, então Dr(log ϕ)
é lipschitziana.
Demonstração. Omitiremos a demonstração, mas ela resulta da fórmula de Faà di Bruno e dos resultados anteriores.
2.7.2 Conjugação de Classe C
wLema 2.33. Seja w : [0,1] → [0,1] estritamente crescente e tal que w(0) = 0, w(1) = 1 e w(δ + δ′) ≤ w(δ ) + w(δ′)
sempre que δ + δ′≤ 1 e δ ,δ′≥ 0. Nessas condições, se 0 < δ então
δ ≤ 2w(δ ).
Demonstração. Inicialmente, note que para todo n ≥ 1 inteiro temos 1 = w(1) = w n1 n ≤ nw 1 n e, portanto 1 n ≤w 1 n .
Dado 0 < δ ≤ 1, seja n ≥ 1 inteiro tal quen + 11 < δ ≤1n. Como w é estritamente crescente, 1 n + 1 ≤w 1 n + 1 < w(δ ) =⇒ 2 n + 1 ≤2w 1 n + 1 < 2w(δ ).
Afirmamos que δ ≤ n + 12 . De fato, como n ≥ 1, então n + 1 ≤ 2n e, portanto, 1n ≤ n + 12 . Logo,
δ ≤ 1n ≤n + 12 < 2w(δ ).
Proposição 2.34. Seja f ∈ D0(S1). As seguintes afirmações são equivalentes:
a) f é um homeomorfismo de classe Cw;
b) existe C ≥ 1 tal que, para |x − y| ≤ 1, w−1 1 C |x − y| ≤ | f (x) − f (y)| ≤ Cw(|x − y|). Demonstração.
a) =⇒ b). Suponha que f seja um homeomorfismo de classe Cw. Então f = Id+ϕ e
f−1= Id +ϕ
−1, com ϕ e ϕ−1em Cw(S1). Tomando C = max{2 + |ϕ|Cw, 2 + |ϕ−1|Cw} e usando
o Lema 2.33 temos
| f (x) − f (y)| ≤ |x − y| + |ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ (2 + |ϕ|Cw)w(|x − y|) ≤ Cw(|x − y|).
assim, 1 C |f−1(x) − f−1(y)| ≤ w(|x − y|) w−11 C |f−1(x) − f−1(y)| ≤ |x − y| w−11 C |x − y| ≤ | f (x) − f (y)|.
b) =⇒ a). Suponha que | f (x) − f (y)| ≤ Cw(|x − y|) e defina ϕ = f − Id. Então, usando o Lema 2.33 temos
|ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ | f (x) − f (y)| + |x − y| ≤ | f (x) − f (y)| + 2w(|x − y|). Logo,
|ϕ(x) − ϕ(y)|
w(|x − y|) ≤ C + 2 < +∞, e portanto ϕ ∈ Cw(S1). Da mesma forma, definindo ϕ
−1= f−1− Id, como w−1 1 C |x − y| ≤ | f (x) − f (y)| então | f−1(x) − f−1(y)| ≤ Cw(|x − y|) e procedendo como antes segue que ϕ−1∈ Cw(S1).
Teorema 2.35. Seja f ∈ D0(S1) um homeomorfismo lipschitziano com ρ( f ) = α e w um módulo
de continuidade. Se
sup
n∈Z| f n
− Id−nα|Cw < +∞,
então f é C0-conjugada a Rα por um homeomorfismo de classe Cw.
Demonstração. Como sup
n∈Z| f n
− Id−nα|Cw < +∞ e w é contínua, não é difícil verificar que a
sequência ( fn)
n∈N é equicontínua. Pela Proposição 2.17, existe g ∈ D0(S1) tal que f = g−1◦
Rα◦ g.
Seja ℓ1= sup n∈Z| f
n
−Id−nα|Cw< +∞ e ℓ = 1+ℓ1. Então, procedendo como na demonstração
da Proposição 2.34, obtemos, para todo n ∈ Z e 0 ≤ x − y ≤ 1, w−11
ℓ(x − y)
≤ fn(x) − fn(y) ≤ ℓw(x − y).
Suponha que α ∈ R \ Q. Então, pela Proposição 2.24, Sk( f ) = 1
k
k−1
∑
i=0
uniformemente para g + c, onde c é uma constante, quando k → +∞. Logo, w−1 1 ℓ(x − y) ≤ Sk( f )(x) − Sk( f )(y) ≤ ℓw(x − y), e, fazendo k → +∞, w−1 1 ℓ(x − y) ≤ g(x) − g(y) ≤ ℓw(x − y). Para α = p q ∈Q, pelo Corolário 2.15 g = 1 q q−1
∑
i=0 fi− ip q , e também temos w−11 ℓ(x − y) ≤ g(x) − g(y) ≤ ℓw(x − y). Pela Proposição 2.34, g é um homeomorfismo de classe Cw.2.7.3 Conjugação de Classe C
r+wSe w é como na definição de Cw(S1), e r ≥ 1 é inteiro, definimos Dr+w(S1) como o conjunto
dos difeomorfismos de classe Cr cuja r-ésima derivada tem módulo de continuidade menor ou
igual a um múltiplo de w, isto é,
Dr+w(S1) = { f ∈ Dr(S1); Drf ∈ Cw(S1)}. Em Dr+w(S1) definimos Hr+wda seguinte forma:
Hr+w: Dr+w(S1) → R = R ∪ {+∞}
f 7→ Hr( f ) + sup n∈N|D
rfn
|Cw.
A seguir provaremos que f ∈ Dr+w(S1) é Cr+w-conjugada a uma translação Rα se, e so-
mente se, Hr+w( f ) < +∞. Para isso usaremos o próximo Lema:
Lema 2.36. Seja f ∈ D1(S1). Se f = h−1◦ Rα◦ h, com α ∈ R \ Q,h ∈ D0(S1) e h : R → R de
classe C1, então h ∈ D1(S1).
Demonstração. Como h é um homeomorfismo crescente, então Dh ≥ 0. Vamos mostrar que na verdade Dh > 0; pelo Teorema da Função Inversa seguirá que h é um difeomorfismo.
Suponha, por absurdo, que exista x0∈ R tal que Dh(x0) = 0. Como h ◦ fn= Rnα◦ h, para
todo n ∈ N, então
Mas como f é um difeomorfismo, então D fn(x
0) 6= 0, de forma que Dh ◦ fn(x0) = 0, para
todo n ∈ N. Por outro lado, como α ∈ R \ Q, a sequência ( fn(x
0)) é densa (módulo 1). Pela
continuidade de Dh, segue que Dh ≡ 0 e, portanto, h é constante. Absurdo, pois h é um home- omorfismo.
Proposição 2.37. Sejam 1 ≤ r < ∞ e f ∈ Dr+w(S1). Então H
r+w( f ) < +∞ se, e somente se, f
é Cr+w-conjugada a uma translação R α.
Demonstração. ( =⇒ ) Se Hr+w( f ) < +∞, então H1( f ) < +∞ e, pelo Teorema 2.23, existe
h ∈ D1(S1) tal que f = h−1◦ Rα◦ h. Precisamos mostrar que h ∈ Dr+w(S1). Vamos considerar
dois casos: a) ρ( f ) = p
q ∈Q. Neste caso, pela Proposição 2.14, fq= Rpe h é dada por
h = 1 q q−1
∑
i=0 fi− ip q .Falta mostrar que Drh ∈ Cw(S1). Mas note que para todo x 6= y temos
|Drh(x) − Drh(y)| w(|x − y|) ≤ 1 q q−1
∑
i=0 |Drfi(x) − Drfi(y)| w(|x − y|) ≤ supn∈N|D rfn |Cw< +∞. Logo Drh ∈ Cw(S1) e h ∈ Dr+w(S1). b) ρ( f ) = α ∈ R \ Q. Considere a soma Sk( f ) = 1k k−1∑
i=0( fi− iα). Se k → +∞, pela Pro- posição 2.24 Sk( f ) converge para h + c na topologia C0, onde c é uma constante. Pela
Proposição 2.17 a sequência ( fn)n∈N é equicontínua e, consequentemente, (Sk( f ) − Id)k∈N
também é equicontínua. Além disso, como Hr+w( f ) < +∞, segue que (Sk( f ) − Id)k∈N é
limitada e, pelo Teorema de Arzelà-Ascoli (veja (FOLLAND, 1999), p. 137), o fecho de {Sk( f ) − Id}k∈N é compacto na topologia Cr. Logo, h é de classe Cr, já que h + c é o único
limite possível para a sequência. Na verdade h é de classe Cr+w. De fato, seja H
r+w( f ) =
ℓ < +∞. Então, para todo x, y ∈ R e n ∈ N temos |Drfn(x) − Drfn(y)| ≤ ℓw(|x − y|) e, consequentemente, |DrSk( f )(x) − DrSk( f )(y)| ≤ ℓw(|x − y|). Tomando o limite,
|Drh(x) − Drh(y)| ≤ ℓw(|x − y|)
e, portanto, Drh ∈ Cw(S1). Finalmente, pelo Lema 2.36, h ∈ Dr+w(S1).
(⇐=) Suponha que f é Cr+w-conjugada a uma translação Rα. Então, pela Proposição
ela pode ser feita usando as fórmulas de Faà di Bruno e da Inversão de Lagrange, além da Proposição 2.30.
Corolário 2.38. Seja f ∈ Dr(S1), com r ≥ 1 tal que ρ( f ) = α ∈ R \ Q e H
r( f ) < +∞. Então
f = h−1◦ Rα◦ h, onde h ∈ Dr−1(S1) e Dr−1h é lipschitziana.
Demonstração. Basta tomar na Proposição 2.37 w = Id.
2.8 Conjugação de Classe C
rSeja ϕ ∈ C0(S1) lipschitziana. Então ϕ tem variação limitada e é absolutamente contínua sobre intervalos compactos. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de Lebesgue (veja o Apêndice B, Teorema B.11), ϕ é diferenciável m-quase sempre, onde m é a medida de Lebesgue, e ϕ(x) − ϕ(0) = Z x 0 Dϕ(t)dt. Como ϕ é lipschitziana, sup x6=y |ϕ(x) − ϕ(y)| |x − y| = ℓ < +∞
e, portanto, em todo ponto onde ϕ é diferenciável temos |Dϕ(x)| ≤ ℓ. Logo, Dϕ ∈ L∞(S1, m) e
|Dϕ|L∞ = ℓ.
Lema 2.39. Se ϕ ∈ C0(S1) é lipschitziana e Dϕ é m-quase sempre igual a uma função contínua
g, então ϕ ∈ C1(S1).
Demonstração. Como Dϕ = g m-quase sempre, então ϕ(x) = ϕ(0) +
Z x
0 Dϕ(t)dt = ϕ(0) + Z x
0 g(t)dt.
Como g é contínua, entãoZ x
0 g(t)dt é de classe C 1.
Finalmente, podemos provar a recíproca da Proposição 2.18:
Teorema 2.40. Sejam 1 ≤ r ≤ +∞ inteiro e f ∈ Dr(S1), com ρ( f ) = α. Então f é Cr-conjugado
a Rα se, e somente se, Hr( f ) < +∞, para r finito, e Hk( f ) < ∞ para todo k, para r = +∞.
Demonstração. Se f é Cr-conjugado a R
α já provamos na Proposição 2.18 que Hr( f ) < +∞.
Reciprocamente, se Hr( f ) < +∞ então H1( f ) < +∞ e, pelo Teorema 2.23, f é C1-conjugada a
a) ρ( f ) = p
q ∈Q. Pela Proposição 2.14, fq= Rpe, pela mesma Proposição, f é Cr-conjugada a Rp/q.
b) ρ( f ) = α ∈ R\Q e r < +∞. Este caso será provado por indução sobre r, já que o caso r = 1 é válido, pelo Teorema 2.23. Suponha que f ∈ Dr+1(S1) e Hr+1( f ) < +∞. Pelo Corolário
2.38, f = g ◦ Rα◦ g−1, com g ∈ Dr(S1) e Dr(g−1) é lipschitziana; usando a Fórmula da
Inversão de Lagrange é possível mostrar que Drg também é Lipschitziana. Logo, Drg é
m-quase sempre diferenciável e Dr+1g ∈ L∞(S1, m). Mostraremos que na verdade Drgé de
classe C1. Veja que
f ◦ g = g ◦ Rα
D f ◦ g · Dg = Dg ◦ Rα
log(D f ◦ g) = log(Dg ◦ Rα) − logDg
Dr−1(log(D f ◦ g)) = Dr−1(log(Dg ◦ Rα)) − Dr−1(log Dg).
Como Drgé lipschitziana, resulta que Dr−1log Dg também é lipschitziana (veja (HERMAN,
1979), p. 44). Assim, como observamos no início da Seção, Drlog Dg ∈ L∞
(S1, m) e m-quase sempre,
Dr(log(D f ◦ g)) = Dr(log(Dg ◦ Rα)) − Dr(log Dg).
Pela Proposição 2.21 Dr(log(D f ◦ g)) ∈ C0(S1), já que f ∈ Dr+1(S1), g ∈ Dr(S1) e
Drlog Dg ∈ L∞(S1, m). Portanto, Dr(log Dg) é m-quase sempre igual a uma função con-
tínua. Como Dr−1log Dg é lipschitziana, pelo Lema 2.39, Dr−1(log Dg) ∈ C1(S1). Segue que g ∈ Dr+1(S1) e, portanto, f é Cr+1-conjugada a R
α.
c) ρ( f ) = α ∈ R \ Q e r = +∞. Pelo item anterior, f é Cr-conjugada a R
α, para todo r < +∞;
consequentemente, f é C∞-conjugado a R α.