Na década de 60 do século XX ocorreu uma mudança sem precedentes nos currículos de Matemática na maioria dos países do mundo, inclusive no Brasil, ao qual darei maior ênfase no item seguinte. A denominada Matemática Moderna ou Nova Matemática tem sido usada para indicar essa mudança. Na realidade, a Matemática Moderna foi o único movimento internacional unificado de reestruturação do ensino da Matemática que se tem notícia até o presente, provocando alterações curriculares em países com sistemas educativos diversos.
Entretanto, a única instância em que efetivamente se produziu a modernização nos currículos de matemática foi a dos conteúdos propostos para o ensino fundamental e médio, cujo objetivo principal era de aproximar a matemática escolar do desenvolvimento da ciência Matemática, ou seja, “uma Matemática útil para a técnica, para a ciência e para a economia moderna”, ressalta Pires (2000, p. 11).
As principais ideias defendidas pelos adeptos da Matemática Moderna estavam concentradas nos trabalhos de Nicolas Bourbaki. Nicolas Bourbaki2 foi o pseudônimo usado por um grupo de matemáticos franceses, em sua maioria, entre os quais pode citar: Jean Dieudonné, Gustavo Choquet, Henri Cartan, Claude Chevalley, André Weil, que em livros e artigos publicados nas décadas de 1930 e 1940, defendiam uma evolução interna na Matemática a partir do desenvolvimento e estudo da noção de estrutura3.
2 Nicolas Bourbaki tinha a intenção de apresentar toda a Matemática de seu tempo em uma obra
intitulada Élements de mathématique. O 1º volume dessa obra apareceu em 1939 (BOYER, 1994).
3 Estruturas matemáticas – “A matemática estruturada procura encontrar propriedades comuns a
classes de objetos chamadas estruturas, ou seja, tenta encontrar semelhanças entre conjuntos e operações, por exemplo, embora os objetos não sejam os mesmos. Procuram uma similaridade de forma. As estruturas servem, entre outras coisas, para fazer divisões não muito arbitrárias no campo
Bourbaki identificou três estruturas fundamentais na Matemática, que chamou de estruturas-mãe: as estruturas algébricas, as estruturas de ordem e as estruturas topológicas. Estas três estruturas seriam capazes de gerar todas as outras. Para Bourbaki, as estruturas são ‘ferramentas’ para o matemático e seu estudo proporciona uma considerável economia de pensamento. Na verdade, a intenção do grupo Bourbaki era a de reescrever toda a Matemática usando o método axiomático4.
Analisam os pesquisadores desse movimento modernizador que o conceito matemático mais central ou com mais ênfase que essa reforma tenha dado foi à noção de conjunto. Pretendia-se que a teoria dos conjuntos fosse ensinada aos alunos de todos os níveis de escolaridade, desde o ensino fundamental até a universidade, como orientava Castrucci (1969), à época, na introdução do seu livro Elementos de teoria dos conjuntos, “estas noções básicas devem começar a aparecer desde os cursos mais elementares da Matemática, a fim de que a unidade da Ciência Matemática, não mais dividida em compartimentos estanques, possa surgir aos olhos dos jovens o mais cedo possível”.
Afirmam os modernistas da Nova Matemática que a ênfase nos conjuntos era fundamental por ser um conceito básico da Matemática, além de uma poderosa ferramenta para a unificação da disciplina Matemática, que no século XIX e início do século XX era separa nas disciplinas Aritmética, Álgebra e Geometria. Além disso, o emprego da teoria de conjuntos permitiria renovar totalmente o ensino da matemática de modo que até aqueles alunos com mais dificuldades na aprendizagem dessa disciplina chegariam a compreendê-la.
Esse Movimento propôs ainda que se fizesse o desenvolvimento de certos conceitos utilizando o estudo das estruturas algébricas5. A Matemática ensinada por meio dessas estruturas desviaria o aluno de falsas interpretações. Mas, na realidade, a ideia de estrutura foi menos explorada e menos incorporada ao
da matemática. Certas estruturas, dotadas de funções-operações, chamam-se algébricas. Então, a álgebra pode ser conceituada como o estudo das estruturas algébricas. Outras estruturas, onde temos definida a noção de distância, expressam propriedades geométricas. Então, a geometria pode ser definida como o estudo das estruturas geométricas” (LUNGARZO, 1990, p. 80-81).
4 Método axiomático - “A ideia de que sendo a Matemática a ciência das demonstrações rigorosas,
seu ensino também devia partir de alguns termos não definidos e de algumas afirmativas não definidas sobre esses termos – as hipótese ou axiomas – com base nos quais seriam articuladas deduções lógicas, chegando-se a resultados – os teoremas” (PIRES, 2000, p. 14).
Movimento do que a ideia de conjunto. Em verdade, “o estruturalismo da Matemática Moderna nunca funcionou realmente, nem chegou às escolas”, ressaltam Miorim, Miguel e Fiorentini (1993, p. 30).
Os matemáticos modernistas defendiam também uma abordagem dedutiva da Matemática aliada a uma maior precisão na linguagem utilizada. Para que isso fosse possível, muitas definições ditas tradicionais foram substituídas por linguagens simbólicas. Nesse sentido, os livros didáticos ficaram sobrecarregados de definições abstratas e muitas vezes desnecessárias, como lamenta Kline (1976, p. 94), “no uso excessivo de símbolos o currículo de matemática moderna fez da virtude um vício”.
As ideias de Bourbaki os modernistas incorporaram a Psicologia de Jean Piaget (1896-1980) que deu ao Movimento validação e caráter científico a partir da provável existência de uma correspondência entre as estruturas mentais de pensamento e as estruturas matemáticas. Para Piaget (1990) a inteligência se desenvolve segundo uma sequência de etapas ou estágios de evolução mental. Esses estágios, denominado por esse autor (ibidem) de sensório-motor, pré- operacional, operacional-concreto e operacional-formal6, são delimitados pela idade e, ao passar de um estágio para o outro, se nota na criança o desenvolvimento de habilidades de raciocínio e coordenação que a faz progredir no seu modo de agir e pensar, possibilitando a passagem ao estágio seguinte.
No estágio operacional-concreto, que vai dos 7 aos 12 anos. Piaget (1980) constatou nas crianças um desenvolvimento espontâneo das operações dedutivas, com suas características de conservação, inversão, reversibilidade, reciprocidade, entre outras. Isto quer dizer que, permite a elaboração elementar da lógica de classe e de relações, a construção operacional da série de números naturais pela síntese das noções de inclusão e de ordem, além de intuições geométricas. Essas
6 Jean Piaget distingue quatro etapas ou estágios de desenvolvimento cognitivo: sensório-motor, pré-
operacional, operacional-concreto e operacional-formal. O estágio sensório-motor vai do nascimento
até cerca de dois anos de idade. A criança, nesse estágio, não diferencia o seu eu do meio em que rodeia: ela é o centro e os objetos existem em função dela. No estágio pré-operacional, que vai dos dois aos seis ou sete anos de idade, o pensamento da criança começa a se organizar, mas não é ainda reversível, isto é, não é capaz de percorrer um caminho cognitivo e, após, percorrê-lo mentalmente em sentido inverso, de modo a reencontrar o ponto de partida não modificado. No estágio operacional-concreto, que vai dos sete aos 12 anos de idade, o pensamento da criança, agora mais organizado, possui características de uma lógica de operações reversíveis. Ela é capaz de pensar no todo e nas partes simultaneamente. Por volta dos 12 anos de idade, inicia-se o estágio
operacional-formal. A principal característica desse estágio é a capacidade de raciocinar com
características, ressalta Piaget (ibidem), podem se repartir em três categorias gerais que equivalem às estruturas-mãe de Bourbaki: as estruturas algébricas, as de ordem e as topológicas. Veja a explicação desse autor a esse respeito:
Primeiro, há a construção das estruturas de natureza algébrica uma vez que suas leis de composição têm inverso e um elemento identidade + A – A = 0. [...] Em segundo lugar podem ser encontradas estruturas cujas leis de composição estão baseadas na reciprocidade, e isto caracteriza o sistema de relações. Finalmente, podem ser observadas estruturas topológicas baseadas nas ideias de continuidade, vizinhança e separação (idem, 1980, p. 71).
A partir dessas concepções de Piaget, houve no Movimento Matemática Moderna a tentativa de ligar as propostas matemáticas defendidas por Bourbaki à teoria desenvolvida nos trabalhos de Piaget e ensinar a Matemática a partir das estruturas fundamentais. Acreditavam os educadores matemáticos que com a compreensão explícita destas estruturas facilitaria o processo de aprendizagem de todo o resto do corpo do conhecimento matemático, que decorreria daí de uma maneira natural, como enfatiza Pires (2000, p. 26), “os reformadores se apoderam dessa noção de estrutura [de Piaget], igualmente central na matemática Moderna, e assumem que a aprendizagem das estruturas matemáticas deve corresponder ao desenvolvimento das estruturas intelectuais da criança”.
No Brasil, as ideias de Piaget estavam presentes no discurso do Grupo de Estudos de Ensino de Matemática - GEEM, mas, não há indicações de que este Grupo tenha realizado estudos ou debates mais profundos sobre a obra desse autor, como mostrarei mais adiante. Na verdade, o uso das concepções de Piaget pelo GEEM limitava-se a justificar o estudo das estruturas da matemática e mental, como apresentou Osvaldo Sangiorgi (1964), coordenador do GEEM, em 1964, em palestra no Departamento de Educação da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de São Paulo, a correspondência entre o sistema mental e o matemático, mediante esquema a seguir.
O objetivo da apresentação desse esquema por Sangiorgi (ibidem) foi mostrar a correspondência entre o sistema mental e o matemático. Para isso, ele fez analogias entre os conjuntos, relações e linguagem estudadas nas diversas disciplinas ligadas à estrutura mental e o sistema matemático por meio de situações matemáticas que favorecessem essa correspondência, utilizando para isso conjuntos, símbolos e operações inerentes à estrutura matemática. Então, como exemplo, afirmou que uma criança mesmo não conhecendo terminologia científica, nem símbolos, era capaz de fazer, com conjuntos simples, as operações práticas correspondentes às três operações lógicas: reunião, interseção e complementação.