4.3 Trygdeforordningen artikkel 21
4.3.2 Et forbud eller presisering?
2.4.1
Modelos autorregressivos com limiar autoexcitantes
Os modelos autorregressivos com limiar autoexcitantes (SETAR), self-exciting threshold
autoregressive model, são um caso especial dos modelos TAR quando a variável politômica
{It} é função de uma defasagem dela própria.
Seja então α0, α1, . . . , αl denotando um subconjunto ordenado linearmente dos números
reais, tais que α0 < α1 < . . . < αl, onde α0 e αl representam −∞ e +∞, respectivamente.
Esse subconjunto define uma partição do conjunto dos números reais R, isto é, R = R1 ∪
R2∪ ... ∪ Rl, onde Ri = (αi−1, αi]. Suponha Zt = (Zt, Zt−1, . . . , Zt−p+1) t , A(i) =
a(i)1 a(i)2 . . . a(i)p−1 a(i)
p
Ip−1 0(p−1)×1
,
B(i) = 0, εt(i) = (εt(i), 0, . . . , 0), C(i) = (a
(i)
0 , 0, . . . , 0) e R (p)
i é o conjunto de cilindros no
produto cartesiano de p retas reais, no intervalo Ri com d-ésimo espaço de coordenadas,
para algum d inteiro fixo pertencente a 1, 2, ..., p. Além disso, It= i se Zt−1∈ R
(p)
A substituição desses elementos em (2.47), resulta na seguinte equação Zt = a (i) 0 + p X j=1 a(i)j Zt−j+ ε (i) t , se Zt−d ∈ Ri, i = 1, 2, . . . , l. (2.50)
O parâmetro d é denominado defasagem do modelo e, comumente, 1 < d ≤ p, onde p representa a ordem do modelo autorregressivo.
Uma vez que {It} é agora uma função de {Zt} denominamos a série temporal univariada
{Zt}, dada pela equação (2.50), de modelo autorregressivo com limiar autoexcitante de
ordem (l; p, . . . , p) ou SETAR(l; p, . . . , p) onde p é repetido l vezes. Se, para i = 1, 2, . . . , l,
a(i)j = 0, para j = pi+ 1, pi+ 2, . . . , p, então denominamos {Zt} de SETAR(l; p1, p2, . . . , pl).
Denominamos ainda α1, . . . , αl−1, os parâmetros limiares. Observe que um SETAR(1; p) é
apenas um modelo AR linear de ordem p.
Para exemplificar os modelos SETAR, suponha s = 2, k = 2 e tome It = 1, se Zt−d ≤ α
e It= 2, se Zt−d > α, onde d e α representam, respectivamente, os parâmetros de defasagem
e limiar. Dessa forma, podemos escrever o SETAR com 2 regimes de ordem 2, da seguinte forma Zt= φ(1)0 + φ(1)1 Zt−1+ φ (1) 2 Zt−2+ a (1) t , se Zt−d ≤ α φ(2)0 + φ(2)1 Zt−1+ φ (2) 2 Zt−2+ a (2) t , se Zt−d > α · (2.51)
O sistema de equações anterior indica que se o valor de defasagem d do processo não for maior que o parâmetro limiar α, a distribuição condicional de Zt segue um modelo AR(2)
com intercepto φ(1)0 e parâmetros autorregressivos φ(1)1 e φ(1)2 . Por outro lado, se Zt−d for
maior que α, o processo segue a distribuição dada pelo outro regime, ou seja, AR(2) com (φ(2)0 , φ(2)1 e φ(2)2 ).
Assim, o processo se alterna entre dois mecanismos lineares dependentes da posição do valor de defasagem d do processo. Quando Zt−d não excede o limiar, dizemos que o processo
está no regime inferior e, caso contrário, está no regime superior (Cryer e Chan, 2008). Ergodicidade geométrica
Na análise de séries temporais é interessante verificar em que condições é possível se obter estacionariedade. Tong e Lim (1980) mencionam que uma condição suficiente para o SETAR, descrito em (2.50), ser ergódico no sentido de Tweedie (1975), é que o autovalor máximo de C = A(i)TA(i), onde T representa a transposta da matriz, seja estritamente menor que 1, para i = 1, . . . , l e que os (i)t tenham distribuições absolutamente contínuas.
An e Huang (1996) também argumentaram sobre as condições suficientes para ergodici- dade geométrica de modelos autorregressivos não lineares (NLAR) e, as definições expostas pelos autores, serão utilizadas para a apresentação dos seguintes conceitos.
O modelo NLAR(p) pode ser escrito da seguinte maneira
em que at, t ≥ 1 são variáveis aleatórias iid com densidades positivas em quase todo ponto e
primeiro momento finito. Além disso, at é independente de Zt−s, s ≥ 1, E(at)=0 e a função
φ, de Rp a R, é mensurável.
A fim de escrever o modelo (2.52) vetorialmente, definimos Zt= (Zt, Zt−1, . . . , Zt−p+1)t,
T : Rp −→ Rp, T(Z
t) = (φ(Zt), Zt, Zt−1, . . . , Zt−p+2)t e at = (at, 0, ..., 0)t, então (2.52) pode
ser reescrito como
Zt= T(Zt−1) + at, t ≥ 1. (2.53)
Dessa forma, Zt é uma cadeia de Markov e podemos verificar sob que condições o pro-
cesso (2.52) é geometricamente ergódico. Para isso, serão utilizados alguns lemas e teoremas descritos a seguir. De acordo com (Fadel, 2012, p.6), o estudo da ergodicidade geométrica é realizado, porque se a cadeia de Markov definida em (2.53) for geometricamente ergódica, então o processo gerado pelo modelo (2.52) é estritamente estacionário.
Inicialmente, será apresentado o Lema 2.1, de autoria de Chan e Tong (1985).
Lema 2.1. Suponha que a função autorregressiva não linear φ dada no modelo expresso
pela equação (2.52) seja delimitada por conjuntos limitados. Então {Zt} satisfazendo (2.53)
é uma cadeia de Markov aperiódica e µ-irredutível, onde µ representa a medida de Lebesgue. Além disso, os conjuntos µ-compactos não nulos são conjuntos pequenos.
Definição 2.11. Um conjunto K ∈ R é dito pequeno se para todo conjunto A ∈ R
infy∈K m
X
n=1
Pn(y, A) > 0, (2.54)
para algum m = m(A) > 0, onde Pn(y, ·) é a probabilidade de transição a n passos de Z t.
Para determinar a ergodicidade geométrica de {Zt} será utilizado o seguinte lema:
Lema 2.2. (Critério de Tweedie (1975)) Seja {Zt} uma cadeia de Markov aperiódica e
irredutível. Suponha que exista um pequeno conjunto C, uma função mensurável não negativa g e constantes positivas c1, c2 e ρ < 1, tal que
E{g(Zt+1)|Zt = z} ≤ ρg(z) − c1, para qualquer z /∈ C, (2.55)
e
E{g(Zt+1)|Zt= z} ≤ c2, para qualquer z ∈ C. (2.56)
Então {Zt} é geometricamente ergódica.
Esse critério é utilizado para obtermos a ergodicidade geométrica de cadeias de Markov. Ao comprovar a ergodicidade geométrica das cadeias de Markov, outra lema muito útil é o seguinte
Lema 2.3. (Critério de Tjostheim (1990) h-passos) Se houver um inteiro positivo h tal que {Zkh} seja geometricamente ergódica, então {Zt} é geometricamente ergódica.
Prova. A prova desse lema pode ser encontrada em Tjostheim (1990).
Combinando os Lemas 2.1 e 2.3, o seguinte lema, proposto por Tjostheim (1990), pode tornar mais fácil e clara a obtenção da ergodicidade geométrica dos modelos NLAR.
Lema 2.4. Suponha que Zt satisfaça (2.53) e a função φ(·) satisfaça o Lema 2.1. Então,
se existir um inteiro positivo q, constantes positivas c1, c2 e ρ < 1 e um conjunto limitado
CK = {z : ||z|| ≤ K} tal que (2.55) e (2.56) valham quando Zt for substituído por Zqt,
segue-se que {Zt} é geometricamente ergódico.
Suponha agora o caso em que a função autorregressiva não linear φ(·), atinente ao modelo dado na equação (2.52), satisfaz as seguintes condições
sup ||z||≤K ||φ(z)|| < ∞, para cada K > 0, (2.57) e lim ||z||→∞ |φ(z) − ατz| ||z|| = 0, (2.58) onde α = (α1, . . . , αp)τ satisfaz up − α1up−1− · · · − αp−1u − αp 6= 0, ∀ |u| ≥ 1 (2.59)
e || · || denota a norma Euclideana em Rp.
Assim, o seguinte teorema foi apresentado por An e Huang (1996).
Teorema 2.2. Se a função autorregressiva não-linear φ, cujo modelo é encontrado na equa-
ção (2.52), satisfaz (2.57) e (2.58), então o modelo (2.53), e, consequentemente, o modelo (2.52), são geometricamente ergódicos.
Prova. A prova deste Teorema pode ser encontrada em (An e Huang, 1996, p. 948).
No entanto, para a classe de modelos autorregressivos com limiar, o Teorema 2.2 é ina- dequado na obtenção da ergodicidade geométrica. Para estudar a ergodicidade geométrica dessa classe de modelos, An e Huang (1996) propuseram o seguinte teorema
Teorema 2.3. Se existe um número positivo λ < 1 e uma constante c tal que
|φ(Z1, Z2, . . . , Zp)| ≤ λ max{|Z1|, . . . , |Zp|} + c (2.60)
então o modelo dado pela equação (2.52) é geometricamente ergódico.
Prova. A demonstração completa do Teorema 2.3 pode ser encontrada em (An e Huang,
1996, p. 949-950).
Modelos autorregressivos com
memória variável
Discutiremos aqui, de forma mais detalhada, os modelos autorregressivos com memória va- riável (AR-MV). Este capítulo é composto pela Seção 3.1, na qual será verificada a condição de ergodicidade geométrica para um AR-MV; pela Seção 3.2, na qual analisaremos o com- portamento gráfico do modelo; pela Seção 3.3, na qual versaremos sobre a estimação dos parâmetros do modelo; pela Seção 3.4, na qual discutiremos os métodos de previsão do modelo; pela Seção 3.5, na qual serão realizados estudos simulados detalhados dos modelos AR-MV(4) e AR-MV(5), de forma a avaliar com maior profundidade suas propriedades; e pela Seção 3.6, na qual analisaremos as propriedades assintóticas desses modelos.
3.1
Ergodicidade geométrica para um modelo AR-MV
O modelo AR-MV pode ser entendido como um modelo SETAR com a restrição de que o parâmetro de defasagem d é fixado no valor 1 e que apenas alguns coeficientes variam conforme a mudança entre os regimes. A razão da expressão “memória variável” é que em relação ao SETAR, termos autorregressivos serão adicionados ao modelo a depender do valor defasado Zt−1. Assim, o alcance do modelo se torna variável (Fadel, 2012).
Suponha o seguinte modelo AR-MV(p)
Zt= Lt
X
i=1
φiZt−i+ at, (3.1)
onde at são variáveis aleatórias iid com distribuição N(0,σ2), e independentes de Zt−s, com
s ≥ 1, e Lt = 1 se α0 < Zt−1 ≤ α1 2 se α1 < Zt−1 ≤ α2 .. . ... p se αp−1 < Zt−1 ≤ αp · 27
Os valores {α0, α1, . . . , αp} são chamados de parâmetros limiares do modelo AR-MV(p).
Eles formam uma partição dos números reais de forma que α0 = −∞ e αp = ∞, R =Sp−1i=0 Ai
e Ai = (αi, αi+1], i = 0, 1, 2, . . . , p − 1.
Como exemplo, suponha o modelo AR-MV(3), onde 3 representa a maior ordem autor- regressiva entre todos os regimes, que pode ser escrito da seguinte maneira
Zt= φ(1)1 Zt−1+ at, se Zt−1 ≤ α1 φ(1)1 Zt−1+ φ (1) 2 Zt−2+ at, se α1 < Zt−1 ≤ α2 φ(1)1 Zt−1+ φ (1) 2 Zt−2+ φ (1) 3 Zt−3+ at, se Zt−1 > α2 · (3.2)
Percebemos que o critério de seleção da variável Zt, para cada um dos três regimes, é
baseado no valor da variável imediatamente anterior (Zt−1). Ademais, o parâmetro autorre-
gressivo φ(1)1 é o mesmo para os três regimes, assim como o parâmetro φ(1)2 é o mesmo para os regimes 2 e 3. Além disso, os erros nos três regimes são idênticos.
Com o intuito de encontrar condições suficientes para garantir a ergodicidade geomé- trica de (3.1), Fadel (2012) utilizou o Teorema 2.3 (An e Huang, 1996), para que pudesse apresentar a seguinte proposição.
Proposição 3.1. Se Pp
i=1|φi| < 1, então o modelo AR-MV(p) é geometricamente ergódico.
Prova (Fadel, 2012). Primeiramente, podemos escrever a equação (3.1) da seguinte forma Zt = φ1Zt−1+ φ2Zt−2I(Zt−1> α1) + . . . + φpZt−pI(Zt−1 > αp−1) + at, (3.3) em que φ(Zt−1, . . . , Zt−p) = φ1Zt−1+ φ2Zt−2I(Zt−1 > α1) + . . . + φpZt−pI(Zt−1 > αp−1) = φ1Zt−1+ p X i=2
Assim,
|φ(Zt−1, . . . , Zt−p)| = |φ1Zt−1+ p
X
i=2
φiZt−iI(Zt−1> αi−1)|
≤ |φ1Zt−1| + | p
X
i=2
φiZt−iI(Zt−1 > αi−1)|
≤ |φ1Zt−1| + p
X
i=2
|φiZt−i|I(Zt−1 > αi−1)
≤ |φ1Zt−1| + p X i=2 |φiZt−i| = p X i=1 |φiZt−i| = p X i=1 |φi||Zt−i| ≤ máx{|Zt−1|, . . . , |Zt−p|} p X i=1 |φi|. (3.5)
Dessa forma, é suficiente que Pp
i=1|φi| < 1 para garantir que (3.1) seja geometricamente
ergódico. De fato, basta conhecer os coeficientes do modelo relativo ao j-ésimo regime (φ(j)i ). Além disso, como os primeiros coeficientes se repetem, φ(1)1 = φ(2)1 = φ(3)1 = . . . = φ(j)1 , e
φ(j)i = 0, para i > j, o máximo será atingido no último regime.