Quando se estuda a organização dos “seres vivos”, em algumas áre- as da Biologia, como a botânica e a zoologia, percebe-se que é comum a forma pentagonal. Um exemplo é a Estrela do Mar da classe Asteroi-
dea que possui 5 braços ao redor de um disco central.
Nas flores, por exemplo, observa-se que o número de pétalas, na maioria das vezes, corresponde a um dos termos da seqüência de Fibo- nacci que é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...; no entanto, o lírio apresenta 6 pétalas sendo uma exceção à regra. Por outro lado, a Fúcsia que apresenta 4 pétalas e o famoso Trevo da Sorte que tem 4 folhas, podem ser inseri- dos em outra seqüência, a de Lucas: 1, 3, 4, 7, 11,...
François Edouard Anatole Lucas (1842-1891), matemático francês, conhecido pelos seus resultados na Teoria dos Números, em particular estudou a sucessão de Fibonacci e a associada sucessão de Lucas, as- sim nomeada em sua honra. Lucas também criou métodos para testar a primalidade de números.
Embora o número de Fibonacci apareça em muitas situações na na- tureza, não se pode afirmar que isso seja uma lei universal, pois po- dem aparecer seqüências anômalas, que em uma análise biológica seria, apenas diversidade. Isso configura uma fascinante tendência pre- dominante.
Flor de laranjeira, Lírio, Fúcsia, Trevo
Ao observar e estudar as formas encontradas na natureza, o ho- mem tem aprendido muitas coisas. Ele percebeu padrões e regularida- des com as abelhas, por exemplo, e compreendeu que o formato dos favos de mel é muito bom para guardar objetos com grande aprovei- tamento de espaço.
Fotos: http://www.sxc.hu
A beleza das formas 157
Exemplos da aplicação do formato das col- méias são os suportes de garrafas para o armaze- namento de bebidas em adegas. A mesma forma hexagonal é encontrada na cabeça de um tipo de parafuso chamado sextavado.
Consegue averiguar onde e por que é utilizado este tipo de parafuso?
Por que a cabeça dos parafusos são sempre em forma de polígonos regulares?
Para apertar ou desapertar parafusos, quanto seria preciso girar a chave se sua cabeça fosse trian- gular? E quadrada, ou hexagonal?
PESQUISA
Isso vai depender do espaço que o mecânico tem para trabalhar. Em espaços pequenos, a variação de ir e vir da chave terá que ser me- nor, ou seja, depende do ângulo central de cada polígono.
Se for verdade, então não seria mais fácil um parafuso de forma octogo- nal? Já viu alguma chave assim?
Ou ainda com o número de lados maior que seis?
Note bem: na natureza nos deparamos com padrões e usamos for- mas geométricas para descrevê-los. Mas também podemos criar pa- drões, alguns deles que não possam ser encontrados na natureza (ou que desejamos encontrar, quem sabe ainda não os tenhamos repara- do...). Uma das maneiras pelas quais podemos criar padrões utilizando formas geométricas é a construção de mosaicos.
Mosaico é uma palavra de origem grega que significa paciência. Por que paciência?
PESQUISA
O mosaico teve origem em antigas civilizações, como o Egito e a Mesopotâmia. O mais antigo de todos os mosaicos conhecidos perten- ce ao ano de 3500 a.C., foi descoberto na antiga cidade de Ur. Pode ser visto no Templo di Ur.
Os romanos difundiram a arte do mosaico em todos os confins do Império. Com o crescimento do Cristianismo, novos temas foram in-
troduzidos. Neste contexto o mosaico atingiu sua mais perfeita realiza- ção, durante o governo do Imperador Justiniano, que reinou de 527 a 565 (GRAÇA PROENÇA, 1999).
Personalidade
A figura do Imperador Justi- niano é um detalhe do mo- saico da Igreja de São Vital, onde pode ser observada a “aplicação do esquema de três círculos”, que consis- te em 3 círculos concêntri- cos: o primeiro de raio igual ao comprimento do nariz, de- terminando as faces e a tes- ta; o segundo, com o dobro do raio, determinando o ca- belo e o queixo; e o terceiro, com raio igual a três unida- des, que passa pela metade do pescoço e forma o ha- lo − como o poder e rique- za expressam autoridade ab- soluta do imperador, chegou a ser representado desta for- ma, como a cabeça aureola- da (PANOFSKY, 1976).
Imperador Justiniano, 526-547. Igreja de São Vitale, Ravenna, Itália. Mosaico.
Esquema dos três círculos
Os mosaicos também estão presentes em obras arquitetôni- cas, como nas fachadas de edi- fícios, nas pastilhas decorativas para recobrir paredes. Traba- lhos como o do espanhol Anto- nio Gaudi (1852-1926) ou ainda o mosaico da fachada do Cemitério Municipal de Curitiba.
Uma maneira especial de construir mosaico é através do ladrilha- mento, a arte de cobrir superfícies com figuras regulares planas sem sobreposição e sem falhas entre elas.
Você pode descobrir como revestir o chão de sua sala brincando com as figuras e desafiar sua criatividade!!! Realize uma experiência:
a) Em uma folha de papel desenhe um polígono regular.
b) Depois desenhe mais alguns idênticos ao pri- meiro.
c) Recorte todos os polígonos. d) Encaixe os polígonos.
e) O que se observa em relação ao tipo de polígono escolhido e o encai- xe entre eles?
f) Qual é o valor dos ângulos internos desse polígono?
g) É possível realizar o revestimento com dois ou mais tipos de polígonos? Faça uma ilustração.
ATIVIDADE
Exemplo de um revestimento
Foto: Icone Audiovisual
A beleza das formas 159159
Recobrir uma superfície plana com peças poligonais constitui uma das atividades mais antigas realizadas pelo homem. Kepler foi o pri- meiro a estudar pavimentações do plano utilizando polígonos regula- res. Em seus estudos, observou que polígonos regulares idênticos pa- vimentam perfeitamente um plano se somente seus ângulos internos forem um divisor de 360º. As pavimentações formadas apenas por la- drilhos de mesmo formato chamam-se pavimentações monoédricas ou puras. Dentro das pavimentações monoédricas, temos as chamadas pa- vimentações regulares - aquelas em que o ladrilho é um polígono re- gular.
Você sabe quais são os polígonos regulares que pavimentam? E quantas existem?
As pavimentações formadas utilizando-se mais de um tipo de po- lígonos regulares são chamadas pavimentações arquimedianas ou se- mi-regulares, e ainda de “Molécula de Arquimedes”, cujos vértices da pavimentação são todos do mesmo tipo. Por isso, são descritas de acordo com o tipo de vértice. Isto significa que existem pavimentações semi-regulares compostas pelo mesmo tipo de polígonos que não são idênticas (BARBEDO, 2005).
Se unirmos os centros dos hexágonos, verificamos que obtemos uma pavimentação regular triangular e o con- trário também se verifica, ou seja, se unirmos os centros dos triângulos, obtemos uma pavimentação regular hexa- gonal. Assim, cada uma das pavimentações diz-se du- al da outra, uma vez que a pavimentação dual é aque- la que se obtém unindo os centros dos ladrilhos da pa- vimentação.
Descubra essas moléculas!
Suponhamos que n, p e q é o número de lados de cada um dos distintos polígonos, como na figu- ra abaixo. Se n = 5, p = 6 e q = 8, pode ser representada por um nome constituído por números intei- ros: 5, 6 e 8.
Será que esta figura é uma “molécula de Arquimedes?” Você pode terminar de completar a tabela?
Nº de
lados 3 5 6 8 10 11
Ângulo
Interno 60 90 128,57 140
ATIVIDADE
Será que é possível saber para quantas pavimentações semi-regulares existem? Que tipo de pavimentação são as figuras a seguir?
Pavimentações como essas são chamadas de periódicas uma vez que recobrem o plano repetindo um mesmo padrão.
Roger Penrose, um importante físico-mate- mático, criou uma curiosa pavimentação ape- riódica (não repete padrões), que envolve po- lígonos batizados de “pipa” e “seta”. Este tipo de pavimentação foi usado por uma fábrica de papel higiênico, cujo objetivo era a redução de 15% de papel, no mesmo volume do rolo. O caso foi parar nos tribunais, pelos direitos au- torais do desenho.
Será que você consegue averiguar qual foi o desenho utilizado?
Quando estudamos Geometria, pensamos que a seqüência como ela é apresentada sempre foi a mesma e não nos damos conta das transformações das idéias dos grandes homens que a construíram, dos caminhos percorridos, e das circunstâncias em que estes conhecimentos surgiram.
As civilizações antigas que contribuíram com a evolução da Geo- metria foram: a chinesa, a indiana, a mediterrânea, a da Mesopotâmia, e as do vale do rio Nilo. O desenvolvimento da Geometria se iniciou tomando como base, o conceito de que a terra era plana, mas isto não impediu sua evolução.
As origens da Geometria (do grego: medir a terra) parecem surgir das necessidades do dia a dia. Para medir, necessitavam de padrões de medidas, assim foram surgindo: palmo, pé, passo, braça, cúbito, e is- to tudo por volta de 3.500 a.C., quando começaram a surgir os primei- ros templos, passando a adotar a longitude das partes do corpo de um único homem, geralmente o rei.
Dois papiros são relevantes contendo informações referente à ma- temática egípcia antiga: o papiro de Moscou (aprox. 1.850 a.C.) e o papiro Rhind ou Ahmes (aprox. 1.659 a.C.), contendo 26 problemas geométricos, entre eles fórmulas de mensuração necessária para cálcu- lo de áreas de terras e volumes de grãos.
Pavimentações figuras regulares
Pavimentações periódicas
Aceita um desafio? Descubra o que puder sobre os papiros.
PESQUISA
Um dos problemas que consta no papiro Rhind é quando se com- para a área do círculo e do quadrado circunscrito. Nesse papiro en- controu-se o círculo de diâmetro 9:64 setat, o quadrado de lado 9:81 setat.
A beleza das formas 161
1 setat é khet ao quadrado.
1 Khet = 100 cúbitos. 1 cúbito = 52,36cm
Os problemas clássicos da Geometria grega contribuíram para o de- senvolvimento da matemática, tendo em vista limitações técnicas pa- ra sua resolução (só se permitia o uso de uma régua sem escalas e um compasso).
Duplicação do cubo: Dado um cubo, construir outro cubo com o do-
bro do volume do anterior.
Trissecção do ângulo: Dado um ângulo, construir um ângulo com um
terço da medida.
Quadratura do círculo: Dado um círculo, construir um quadrado com
a mesma área.
Se tentarmos reproduzir a solução destes problemas da mesma for- ma como está nos papiros, teremos dificuldades na interpretação dos dados. Esta é uma das maneiras de percebemos as transformações pa- ra o avanço das ciências que ocorreram no decorrer da história.
Já pensou qual será sua contribuição, o seu legado, para a história da humanidade?
Não há na natureza, nada suficientemente pequeno ou insignificante, que não mereça ser visto pelo olho da geometria: há sim, uma ‘agra- dável geometria das criações da natureza’. Difi- cilmente encontraremos algo que não se possa relacionar com a geometria.
Leonardo da Vinci
Por que prender a vida em conceitos e normas? O Belo o Feio... o Bom e o Mau... Dor e Prazer... Tudo, afinal, são formas
E não degraus do ser!
Mário Quintana
Referências Bibliográficas
BARBEDO, J. Uma tarefa de investigação para MATB: Moléculas de
Arquimedes. Disponível em: <http://www.dgidc.min-edu.pt/mat-no-sec/pdf/ activ_judite.pdf,> Acesso em: 12 set. 2005.
SANTOS, M. G. V. P. História da Arte. 13ª ed. São Paulo: Ática, 1999.
PANOFSKY, E. Significado das Artes Visuais. São Paulo: Perspecti-
Obras Consultadas
CAVANHA, A. O. A divina proporção, o número de ouro e a espiral lo- garítmica no Universo. Curitiba: Vicentina, 2000.
DOCZI, G. O poder dos limites: harmonias e proporções na nature- za, arte e arquitetura. São Paulo: Mercuryo, 1990.
GHYKA, M. C. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes. Buenos Aires: Editorial Poseidon, 1953.
GERDES. P. Sobre o despertar do pensamento Geométrico. Curitiba:
Editora UFPR, 1992.
Documentos Consultados ONLINE
KNOTT, Dr Ron Knott. Fibonacci Numbers and Nature. Disponível em ht-
tp://www.mcs.surrey.ac.uk>. Acesso em: 17 out. 2005.
MELLO, J. L. P. Matemática: pavimentações e a matemática do mal.
Folha de São Paulo. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br>. Aces- so em: 12 set. 2005.
Snow Crystal Photographs: The Rasmussen & Libbrecht Collection. Dis-
A beleza das formas 163
ANOTAÇÕES
Se ficar, o cupim come... se tirar, a casa cai? 165
12
SE FICAR, O CUPIM
COME... SE TIRAR, A
CASA CAI?
Mírian Longaretti1 1Colégio Estadual Pedro Macedo - EFM - Curitiba - PR