En stille hevn over de menneskelige begrensninger

A primeira lei de Kepler enuncia que, desconsiderando os efeitos perturbadores a qual sua ´orbita est´a sujeita, parte dos parˆametros que descrevem a trajet´oria orbital de um sat´elite, pode ser conhecida atrav´es do conhecimento dos parˆametros geom´etricos de uma figura derivada de uma cˆonica (Elipse, par´abola, hip´erbole) com a Terra posicionada em um dos focos dessa figura, sendo a ´orbita circular apenas um caso particular da ´orbita el´ıptica quando a excentricidade ´e igual a zero. A maioria das ´orbitas dos sat´elites ´e el´ıptica e dentre essas as mais t´ıpicas s˜ao ´orbitas quase circulares [21].

Ainda sem considerar o posicionamento do plano orbital no espac¸o, a figura4.1ilus- tra os parˆametros geom´etricos de uma elipse que permitem definir todos os pontos desse plano. Esses dados de definic¸˜ao da elipse em conjunto com outros parˆametros que ser˜ao vistos a seguir, quais sejam: a localizac¸˜ao do sat´elite nessa trajet´oria para um determinado tempo, e o posicionamento do plano orbital no espac¸o a partir de um sistema de referˆencia pr´e-estabelecido, permitem definir por completo a trajet´oria orbital [20].

Para a an´alise da figura 4.1 considera-se que tanto o sat´elite quanto a Terra s˜ao corpos esf´ericos e homogˆeneos com relac¸˜ao `a sua distribuic¸˜ao de massa e assim poder reduzi-los a um ponto material [20]. Considerando o sat´elite posicionado no ponto P e a Terra em um dos focos no ponto F2, pode-se definir os seguintes parˆametros: ν ´e um ˆangulo chamado de anomalia verdadeira que representa o ˆangulo entre a linha do perigeu e a posic¸˜ao do sat´elite em um dado tempo;E tamb´em ´e um valor angular denominado de anomalia excˆentrica, as distˆanciasrp e ra s˜ao respectivamente o perigeu e o apogeu; a ´e o semi-eixo maior,b ´e o semi-eixo menor; c ´e a distˆancia do centro da elipse at´e um dos focos, que por sua vez definem a excentricidade e, dada pore = c/a. A excentricidade indica a forma da elipse, e descreve o quanto a ´orbita ´e achatada comparada com um circulo.

Para as ´orbitas circulares, os pontos focais F 1 e F 2 ficam sobrepostos e como a distˆanciac fica igual a zero, temos que a excentricidade e = 0 . No caso de uma ´orbita hipot´etica bastante el´ıptica quase se aproximando de uma reta,a = c e a excentricidade fica pr´oximo do valor 1. Desta forma tem-se que,_{0 ≤ e ≥ 1.}

Considerando o plano xy da figura 4.1, onde o eixo x cruza o perigeu, podemos derivar a equac¸˜ao4.5da elipse, que relaciona o raio our em func¸˜ao da anomalia verdadeira ν.

r = a(1 − e

2₎

1 + e cos ν (4.5)

As coordenadas retangulares x2 e y2 sao dadas respectivamente pelas equac¸˜oes4.6

e4.7. x2 = ae + cos θ 1 + cos ν (4.6) y2 = b √ 1 − e2 1 + cos ν (4.7)

A segunda lei de Kepler enuncia que, o vetor posic¸˜ao de um sat´elite, com origem na Terra, varre ´areas iguais em tempos iguais. Essa lei pode ser melhor visualizada atrav´es da an´alise da figura4.2. Assumindo que as ´areas A1 e A2 s˜ao iguais, o tempo que o sat´elite leva para percorrer os arcos S1 e S2 s˜ao iguais. Isto demonstra que a velocidade orbital do sat´elite n˜ao ´e constante. Ele se move muito mais r´apido em pontos pr´oximos `a Terra e atinge sua menor velocidade exatamente no seu ponto mais distante, no apogeu. Um uso pr´atico dessa propriedade ´e feito, quando se quer aumentar o tempo que um sat´elite

Figura 4.2: Visualizac¸˜ao da segunda lei de Kepler. Fonte: Adaptado de Roddy-2006 [22]

fica vis´ıvel em uma determinada localidade, geralmente usado em pa´ıses de alta latitude geogr´afica.

A terceira lei de Kepler enuncia que, o quadrado do per´ıodo da ´orbita ´e proporcional ao cubo da distˆancia m´edia entre os dois corpos. Essa distˆancia dada ´e igual ao semi-eixo maior, a. Para sat´elites artificias orbitando a Terra, temos:

T2 = 4π

2

µ !

a3 (4.8)

Onde T ´e o per´ıodo orbital, a ´e a distˆancia entre o centro de massa dos dois corpos eµ ´e a constante gravitacional geocˆentrica.

A equac¸˜ao4.8demonstra que, sob certas condic¸˜oes, o per´ıodo de uma ´orbita ´e cons- tante e determinado apenas pela escolha adequada da distˆancia entre a Terra e o sat´elite. Dependendo da quantidade de revoluc¸˜oes di´arias ou per´ıodo orbital requeridos para uma determinada aplicac¸˜ao, ´e escolhida a altitude do sat´elite.

Como a velocidade angular do vetor posic¸˜ao do sat´elite durante o seu trajeto numa orbita el´ıptica n˜ao ´e constante, sua determinac¸˜ao em func¸˜ao do tempo ´e vari´avel. Por outro lado, sendo o per´ıodo T constante, pode-se definir uma velocidade angular m´edia constanten, dada pela equac¸˜ao4.9denominada tamb´em de movimento m´edio.

n = 2π

T (4.9)

Considerando a velocidaden constante, pode-se definir um angulo M , dado pela equac¸˜ao

um sat´elite fict´ıcio movendo ao redor da elipse numa velocidade angular constanten.

M = nt (4.10)

Pode-se ainda, atrav´es da substituic¸˜ao de 4.8 em4.9 e de 4.9 em4.10, encontrar a seguinte definic¸˜ao para a anomalia m´edia M:

M = r_µ

a3t (4.11)

Onde t ´e o tempo percorrido pelo sat´elite ap´os seu cruzamento com o ponto do perigeu. Combinando as equac¸˜oes4.9e4.10, obtemos a equac¸˜ao seguinte, que relaciona o tempo instantˆaneo com a anomalia m´edia:

M = 2π

T t (4.12)

Para estabelecer a relac¸˜ao existente entre a anomalia verdadeira θ e a anomalia m´edia M , usamos um segundo ˆangulo auxiliar, fisicamente descrito na elipse, que re- cebe a denominac¸˜ao de anomalia excˆentricaE que, conforme ilustrado na figura4.3, ´e estabelecido atrav´es da criac¸˜ao de um c´ırculo auxiliar concˆentrico com a elipse, cujo raio ´e igual ao semi-eixo maior a da elipse e c = ae ´e o produto da excentricidade e com o semi-eixo maior [23].

Figura 4.3: Parˆametros de uma ´orbita el´ıptica. Fonte: Adaptado de Kuga-2008 [20]

Dessa figura podemos estabelecer as seguintes relac¸˜oes trigonom´etricas:

a cos E = c + r cos ν (4.13)

Substituindo o valor der dado pela equac¸˜ao4.5, obt´em-se: cos E = e + cos ν

1 + e cos ν (4.14)

Permitindo derivar as seguintes equac¸˜oes, que relacionam a anomalia verdadeiraν com a anomalia excˆentrica E: cos ν = e − cos E e cos E − 1 (4.15) sin ν = √ 1 − e2_{sin E} 1 − e cos ν (4.16)

A f´ormula que relaciona a anomalia m´edia M e a anomalia excˆentrica E, ´e dada pela equac¸˜ao4.17, cujo desenvolvimento matem´atico pode ser encontrado em [19].

M = E − e sin E (4.17)

Considerando que os parˆametros orbitais iniciais conhecidos de um sat´elite s˜ao a anomalia m´edia associada ao tempo, a equac¸˜ao 4.17 permite estabelecer o elo entre as anomalias excˆentrica e verdadeira com o tempo, tornando poss´ıvel encontrar a posic¸˜ao do sat´elite em determinado instante.

Dada a anomalia m´edia e a excentricidade de uma ´orbita, pode-se encontrar a ano- malia excˆentrica E usando a equac¸˜ao 4.17. Substituindo E na equac¸˜ao 4.15 ou 4.16, obtemos a anomalia verdadeira ν, a qual representa a posic¸˜ao real do sat´elite no plano orbital.

A equac¸˜ao4.17 ´e uma equac¸˜ao transcendental de suma importˆancia para a ´area de mecˆanica orbital e conhecida como equac¸˜ao de Kepler. Esta equac¸˜ao n˜ao possui uma soluc¸˜ao direta, pois a vari´avel independenteE n˜ao pode ser colocada em evidˆencia. Sua soluc¸˜ao, que ´e aproximada dentro de uma faixa de erro estipulada, requer o uso de m´etodos de c´alculo num´erico, usando um dos v´arios m´etodos de processos iterativos dispon´ıveis. Usa-se geralmente o m´etodo de c´alculo num´erico Newton-Raphson [20].