3. Das Pilotprojekt
3.2 Die Ergebnisse der Pilotuntersuchung
3.2.1 Beweggründe, Deutsch zu lernen - Gruppe VG2 Niveau 1
Como estamos investigando essencialmente um “livro didático” publicado em 1910, entendemos que é conveniente fazer uma breve análise dos livros didáticos de Cálculo utilizados nesse mesmo período. Isso porque a apropriação da teoria de limites no ensino do cálculo diferencial e integral, assim como o enfoque formalizado e rigoroso oriundo do século XIX, pode ser observada sensivelmente em alguns livros utilizados em fins do século XIX e início do século XX. Estamos interessados, nesta seção, em responder à pergunta que
8Ver Anexo I.
9 David Tall é professor e pesquisador da Universidade de Warwick – Reino Unido. Há mais de 20 anos, vem
publicando artigos a respeito do ensino de Cálculo. Destacamos, nesse sentido, o artigo Intuition and rigour: the role of visualization in the calculus, Visualization in Mathematics (Zimmermann & Cunningham), M.A.A., Notes No. 19, 105-119.
formulamos no início deste trabalho: Em quais aspectos o livro de Silvanus Phillips Thompson difere do estilo de abordagem utilizado nos demais livros de Cálculo da época?
Para responder a ela, não procederemos a uma análise sistemática de todos os livros utilizados em fins do século XIX e princípios do século XX. Esse inventário, além de exaustivo, não estaria em conformidade com os objetivos de nossa pesquisa. Apesar disso, acreditamos que pode ser importante analisar o enfoque dado aos conceitos do Cálculo em alguns didáticos utilizados nesse período, traçando algumas características particulares desses textos. Nesse sentido, julgamos oportuno analisar dois livros didáticos de Cálculo utilizados por volta de 1900:
• HARDY, G. H. A Course of Pure Mathematics. 1908.
• GRANVILLE, W. A. Elements of the differential and integral Calculus.
1904.
A escolha desses livros foi baseada essencialmente na época em que foram publicados: a primeira década do século XX. Acreditamos, com isso, que podem fornecer-nos uma importante noção da maneira como o Cálculo costumava ser ensinado naquele período, possibilitando, assim, assinalar as principais diferenças entre as propostas desses textos e as de Thompson.
3.4.1 UM CURSO DE MATEMÁTICA PURA: G. H. HARDY - 1908
O livro de Hardy (1908) é certamente o livro mais lógico – em termos do rigor matemático – que analisaremos aqui. Ao que parece, foi escrito tendo como
principal preocupação o rigor e o formalismo matemáticos típicos do século XIX. Podemos atestar isso lendo as palavras de Hardy (1908, p. vi) no prefácio:
Este é um livro para matemáticos: não há nenhuma preocupação com as necessidades dos estudantes de engenharia ou até mesmo de classes que não tenham interesse primariamente em matemática.
O autor começa o curso com uma discussão acerca das variáveis reais no primeiro capítulo; discute a idéia das funções de variáveis reais no segundo capítulo; aborda os números complexos, no terceiro; limites de funções, no capítulo quarto; limites de funções de variáveis contínuas, no quinto capítulo e, a partir do sexto capítulo, começa a trabalhar as derivadas e as integrais.
Podemos notar, também, que o livro de Hardy (1908) está atrelado ao modelo de Cauchy para o desenvolvimento do Cálculo. Depois de dois longos capítulos tratando apenas de limites, o autor define a derivada da seguinte forma:
h x h x h Φ − + Φ → ) ( lim 0
O livro esboça grande preocupação com as provas e as demonstrações de todos os teoremas e artifícios utilizados durante as exposições e, ao final de cada capítulo, uma volumosa lista de exercícios é recomendada ao estudante. No apêndice do livro, o autor ainda aborda temas como “o infinito na análise e na geometria”, “a prova que toda equação possui uma raiz”, “as inequações de Hölder e Minkowski” etc.
Hardy (1908) adota, desde os primeiros capítulos, um estilo que tem fortes ligações com os fundamentos do cálculo diferencial e integral desenvolvidos no século XIX: um estilo formalista, livro exclusivamente para matemáticos.
3.4.2 ELEMENTOS DE CÁLC.DIFER. E INTEGRAL – W. A. GRANVILLE -1904
O livro de Granville (1904) é visivelmente mais aplicativo do que o anterior. E podemos perceber isso logo nas primeiras páginas do prefácio, quando o autor tece algumas considerações sobre os problemas apresentados no livro:
Os problemas [...] apresentam maior interesse e objetividade. Alguns deles são aplicações da matemática à economia. Os finais de muitos capítulos trazem novos problemas destinados a estudantes mais avançados (GRANVILLE, 1904, p. iv).
O livro é iniciado com o estudo da álgebra e geometria elementares no primeiro capítulo; no segundo, há uma discussão sobre variáveis, funções e limites; as derivadas aparecem no capítulo III; os capítulos seguintes são dedicados exclusivamente à derivada; as integrais somente aparecem no capítulo XII; e, depois de 14 capítulos, o livro termina tratando de integrais múltiplas, no capítulo XXV.
Granville (1904), já na p. 23 do livro, expõe a noção de derivada por meio da idéia de comparação de acréscimos. Nesse sentido, o autor começa o capítulo sobre derivadas com um exemplo particular: f(x)=x2, utilizando um método
muito parecido com o de Leibniz para a razão dos acréscimos de x e y :
Supondo um acréscimo em x e em y , temos:
2 ) (x x x y+∆ = +∆ 2 2 2x. x ( x) x x y+∆ = + ∆ + ∆ ________________________ subtraindo y=x2 2 ) ( . 2x x x y= ∆ + ∆ ∆
Dividindo ambos os lados por ∆x, temos: x x x y = +∆ ∆ ∆ 2
Nessa última igualdade, o livro exibe a notação em termos do limite, fazendo a grandeza ∆x tender para zero. Deve-se destacar, entretanto, que todo esse processo de comparação de acréscimos, executado no texto, é feito antes mesmo da definição de derivada.
O didático também apresenta demonstrações de teoremas e exercícios, estimulando a prova. Todo o estilo do livro é bem mais aplicativo, com muita preocupação com o desenvolvimento dos conceitos elementares do cálculo diferencial e integral, com grandes “diálogos” sobre as noções do Cálculo. Do ponto de vista matemático, não há como negar seu rigor, embora seu estilo e exposições sejam bastante diferentes do livro anterior.
Resguardadas as limitações dessa análise, é possível notar que o estilo de curso esboçado nesses dois livros, apesar de distinto, defendia uma matemática formal. Além disso, as características do período de formalização do Cálculo podem ser observadas na seqüência programática desses textos: funções, limites, derivadas, integrais etc. Nos próximos capítulos, voltaremos a essas considerações didáticas quando analisarmos o livro Calculus Made