A distinção entre um objeto e a sua representação é essencial para a compreensão da matemática. Uma escrita, uma notação, um símbolo, uma figura, um círculo, segundo Duval (1993, p.268) representam um objeto matemático, e o objeto matemático não deve ser confundido com a representação que dele se faz.
Duval (1993, p.269) denomina esta situação de paradoxo cognitivo, questionando, “como podemos não confundir um objeto e sua representação se não temos acesso a esse objeto, a não ser por meio de sua representação?”.
Para Duval (1993, p.270), “o recurso a diferentes representações é uma condição necessária, para que o objeto possa ser reconhecido em cada uma de suas representações e também, para que o objeto matemático não seja confundido com as suas representações”. É nestas duas condições que uma representação funciona como representação, dando acesso ao objeto representado.
O Programa de Ensino Básico vai de encontro a esta ideia, como se referencia:
Os alunos têm de compreender que existe uma variedade de representações para as ideias matemáticas, e a capacidade de passar informação de uma forma de representação para outra é tão importante como saber reconhecer as convenções inerentes a cada tipo de representação e interpretar a informação apresentada. (ME, 2007, p.9).
Segundo Duval (1993, p.271), “a compreensão do objeto ocorre quando o aluno é capaz de mobilizar mais do que uma representação” através da formação de uma representação identificável, através de transformações e através de conversões.
Representação discursiva Representação não discursiva Representação
multifuncional Os tratamentos não
Língua natural
Associações verbais (conceituais). Formas de raciocinar:
Argumentação a partir de observações, de crenças;
Representações geométricas Planas ou em perspetiva:
Apreensão operatória e não somente percetiva;
Dedução valida a partir de definição ou de teoremas. Construção com instrumentos. Representação monofuncional Os tratamentos são principalmente algoritmos. Sistemas de escrita
Numéricos (binaria, decimal, fracionaria) Algébrico;
Simbólicos (línguas formais); Cálculo.
Gráficos cartesianos
Mudanças de sistemas de coordenadas;
Interpolação, extrapolação.
Quadro 7.1: Classificação dos registos que podem ser mobilizados (Duval, 1993)
No quadro 7.1 Duval (1993) apresenta uma classificação dos registos que podem ser mobilizados. Na formação de uma representação, como um texto, um gráfico, uma expressão, isso implica por parte do aluno, uma análise e interpretação de relações e de dados, mediante regras que asseguram as condições de identificação e de reconhecimento da representação.
O autor considera como representações, as figuras geométricas, as notações algébricas e formais, os gráficos e a linguagem corrente.
Duval (1993) refere que, por exemplo, na resolução de problemas, uma representação pode dominar o processo de resolução, porém deve haver sempre a possibilidade de passar de uma representação para outra. Como característica relevante, destaca a mobilização simultânea de pelo menos duas representações diferentes ou a possibilidade de mudar de uma representação para outra, em qualquer momento.
As transformações na forma de representar um objeto podem ser de dois tipos, segundo Duval (1993): por tratamento e por conversão.
O tratamento de uma representação, são as mudanças que se efetuam numa representação, mantendo o mesmo registo, como por exemplo 𝑦 + 3 = 𝑥 ⟺ 𝑦 = 𝑥 − 3.
A conversão é uma mudança de registo, conservando a referência ao mesmo objeto.
Na conversão deve ocorrer congruência da representação de que se parte para a representação que se obtém. Se a representação de que se parte, apresenta mais dificuldades de visualização e de compreensão que a representação obtida, segundo Duval (1993), dá-se uma não-congruência.
Representação A Conceito, objeto representado Representação B Tratamento sobre Conversões 2 1 C 4 3
Efetuar tratamentos e conversões de representações é uma condição necessária para a apreensão do objeto matemático. Na figura 7.2 é apresentado um esquema de Duval (1993), de uma hipótese de aprendizagem:
Neste esquema, as setas 1, 2, 3 e 4 correspondem a transformações operadas em representações diferentes do mesmo conceito, a seta C corresponde à compreensão integral do conceito por coordenação de duas representações. As setas distintas marcam a distinção entre representante do objeto e objeto representado.
No estudo da função afim, Duval (1998a) apresenta o seguinte quadro de possíveis relações entre unidades simbólicas e unidades visuais dessa função:
Variáveis visuais Valores Unidades simbólicas correspondentes Sentido da inclinação Ascendente
Descendente
Coeficiente > 0 Coeficiente < 0
Ausência de sinal Presença de sinal ‒ Ângulo com os eixos Partição simétrica
Ângulo menor Ângulo maior
Coefic. Variável =1 Coefic. Variável <1 Coefic. Variável >1
Não há coefic. escrito Há coefic. escrito Há coefic. escrito Posição sobre os eixos Corta acima
Corta abaixo Corta na origem
Acresc. Constante subtrai constante sem correção aditiva
Sinal + Sinal ‒
Ausência de sinal Quadro 7.2: Relação entre as unidades simbólicas e visuais da função afim (Duval, 1998a)
Para Duval (1998a), a leitura das representações, requer que os alunos sejam capazes de discriminar as diferentes representações visuais das representações gráficas e respetivas alterações nas representações algébricas.
Tendo por base o quadro apresentado por Duval (1998a), relativo às unidades simbólicas e visuais da função afim, podemos alargá-lo à função quadrática, construindo unidades simbólicas, visuais e de linguagem. Apresenta-se no quadro seguinte, uma possível relação entre unidades simbólicas, unidades visuais e unidades de linguagem, da função quadrática:
Unidades em linguagem natural: Unidades visuais do gráfico: Unidades simbólicas correspondentes: Parábola com eixo de simetria vertical
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Parábola com concavidade voltada para
cima 𝑎 > 0
Parábola com concavidade voltada para
baixo 𝑎 < 0
Parábola com vértice no ponto (ℎ, 𝑘)
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2+ 𝑘
Perante uma representação da função quadrática, o aluno no final da unidade de ensino, deve identificar as unidades visuais e as unidades simbólicas correspondentes, percecionar unidades simbólicas e visuais efetuando transformações de forma a torna-las percetíveis e dando-lhes significado. Num estudo de caso realizado por Duval (1998b), tendo por base os resultados obtidos por alunos ao nível do 10.º ano do Ensino Secundário, após o ensino de função quadrática, Duval (1998b) fundamenta o facto de os alunos não conseguirem distinguir as variáveis visuais significativas nos gráficos, nem conseguirem articular estas variáveis com as expressões algébricas correspondentes.