Effects of disclosure level on firm value

Os axiomas ou postulados de Wightman tˆem como objetivo estabelecer aspectos estruturais razo´aveis de qualquer teoria quˆantica de campos em que os princ´ıpios f´ısicos sejam sempre expl´ıcitos. Apresentaremos estes axiomas, seguindo a linha de Othmar Steinmann [56], mas, desde j´a orientados `a teoria livre. Como nosso primeiro objetivo ´e obter uma prescric¸˜ao para os PF e NF, explicaremos e desenvolveremos com maior ˆenfase aquelas que contribuem direta- mente com esse prop´osito.

• Postulado 1: Teoria Quˆantica.- O sistema f´ısico ´e descrito por estados, os quais per- tencem a um espac¸o de Hilbert _{H separ´avel}∗. Os observ´aveis e outras quantidades de interesse, como os campos, s˜ao representados por operadores que agem sobre_H.

Este postulado oferece um marco geral da estrutura que uma teoria quˆantica deve ter, cujos ingredientes, como os estados, s˜ao na pr´atica muitas vezes “preparados” e os observ´aveis s˜ao relacionados com as medic¸˜oes sobre este sistema preparado. Neste contexto geral, podemos implementar caracter´ısticas espec´ıficas como, por exemplo, uma ´algebra das observ´aveis, ou introduzir simetrias†. Esta ´ultima ´e realizada neste formalismo atrav´es do seguinte postulado.

• Postulado 2: Invariˆancia Relativista.- O sistema f´ısico ´e invariante por mudanc¸as de referencial; isto involve a invariˆancia por translac¸˜oes espac¸o-temporais, e invariˆancia com respeito `a escolha do sistema de referˆencia‡.

∗_{Aqui nos referimos a um espac¸o de Hilbert complexo; e pedir que seja separ´avel garante a expans˜ao (as-}

sint´otica) de um estado numa base cont´avel. Para maiores detalhes sobre este e outros conceitos do espac¸o de Hilbert vide por exemplo [57].

†_{A inclus˜ao delas nos podem levar a dividirH em setores (subespac¸os) independentes.}

‡_{Esta ´ultima proveniente do seguinte princ´ıpio relativ´ıstico: “dois observadores com movimento relativo ob-}

Como mencionamos no Cap´ıtulo 2, quando um sistema for invariante por alguma transformac¸˜ao (de simetria) significa que as probabilidades de transic¸˜ao s˜ao invariantes por essas transformac¸˜oes. Ao aplicar o teorema de Wigner para este axioma encontramos que sobre _{H ´e definido uma} representac¸˜ao unit´aria do grupo de translac¸˜oes: U (1, a); e existe um operador U (Λ, 0) que re- presenta a simetria por transformac¸˜oes de boost. Este axioma pode ser complementado exigindo a invariˆancia por outras simetrias, como por exemplo as discretas.

• Postulado 3: Existˆencia e unicidade do v´acuo invariante.- No espac¸o de estados H existe um estado chamado de v´acuo, e denotado por_{|Ωi, tal que este seja}

– Invariante pelas transformac¸˜oes de simetria do postulado 2, i.e.,

U (1, a)_{|Ωi = |Ωi} (3.1)

U (Λ, 0)|Ωi = |Ωi . (3.2)

– Normalizada a um,

hΩ|Ωi = 1 . (3.3)

Geralmente a unicidade tamb´em ´e considerada, mas esta condic¸˜ao ´e discut´ıvel, o que a unicidade implica na invariˆancia por qualquer outra simetria: cont´ınua ou discreta; pois garante um v´acuo n˜ao degenerado. A existˆencia desse estado ter´a sentido no seguinte postulado.

• Postulado 4: Campo como Distribuic¸˜ao a valor de Operador. A teoria ´e formulada em termos dos campos que ser˜ao distribuic¸˜oes covariantes a valor de operadores; os quais gerar˜ao o espac¸o de estados do sistema f´ısico, o espac¸o de Hilbert_{H, a partir do v´acuo} |Ωi.

Este postulado ser´a essencial para nossos objetivos, portanto, o desenvolveremos e ilustra- remos para o caso do campo escalar.

1. Primeiro, devemos indicar que os campos livres s˜ao soluc¸˜oes de equac¸˜oes diferenciais homogˆeneas; para o caso do campo escalar massivo,φ (x), ´e a equac¸˜ao de Klein-Gordon- Fock

 + m2
φ (x) = 0 . (3.4)

Para encontrar a soluc¸˜ao suponhamos que ela pode ser expressa como a seguinte expans˜ao de Fourier

φ (x) = (2π)−2 Z

d4k ˆφ (k) e−ikx . (3.5) Substituindo em(3.4), vemos que o campo tranformado necessariamente deve satisfazer a seguinte relac¸˜ao

A soluc¸˜ao distribucional, n˜ao trivial, dessa equac¸˜ao tem a seguinte forma:

ˆ

φ (k) =√2π˜a (k) δ k2 − m2
_{. (3.7)}

E ent˜ao o campo escalar massivo ter´a a seguinte forma geral:

φ (x) = (2π)−3/2 Z

d4kδ k2_{− m}2
˜a (k) e−ikx, (3.8) e como estamos considerando um campo hermitiano, ent˜ao deve-se cumprir que˜a (−k) = ˜

a†_(k).

2. Segundo, nesse formalismo, os campos n˜ao s˜ao simples func¸˜oes mas distribuic¸˜oes e, ent˜ao, s˜ao funcionais lineares a valor de operadores sob um espac¸o de func¸˜oes de teste,

φ : g7−→ hφ, gi , (3.9)

ondeg ´e a func¸˜ao de teste e_{hφ, gi o correspondente operador. Usualmente no formalismo} de Wightman se tem a notac¸˜aoφ [g] para indicar a_{hφ, gi, e definido pela relac¸˜ao:}

φ [g] = Z

d4xφ (x) g (x) , (3.10)

mas formalmente essa representac¸˜ao s´o ´e v´alida para um campo sum´avel.

A representac¸˜ao de uma distribuic¸˜ao no espac¸o dos momentos ´e obtida via a tranformada de Fourier, cuja existˆencia ´e garantida se a distribuic¸˜ao ´e definida sob o espac¸o de func¸˜oes de teste conhecido como espac¸o de Schwartz_{J (M}4). Se ˆφ (k) ´e o campo no espac¸o dos momentos, satisfaz a seguinte relac¸˜ao:

D ˆ

φ, ˇgE=hφ, gi = Z

dk ˆφ (k) ˇg (k) , (3.11) onde g ´e a transformada inversa de g, e ´e uma func¸˜ao de teste bem comportada de ˆˇ φ. Observamos assim que esse postulado esta em conformidade com a Teoria de Pertubac¸˜ao Causal.

3. Terceiro, como o espac¸o de Hilbert ´e gerado a partir do v´acuo, podemos assinalar parti- cularmente que um estado_{|Φi pode ser escrito como}

|Φi = |Φ (f)i = Z

d4xφ (x) f (x)_{|Ωi = φ [f] |Ωi} (3.12)

ondef ∈ J (M4_{), conhecido como o estado pacote de onda de uma part´ıcula.}

• Postulado 5: Condic¸˜ao espectral.- N˜ao existem estados com energia negativa. Ent˜ao um estado n˜ao nulo s´o pode ter componentes de momento na clausura do cone superior,

¯ V+_.

Essa ´e uma condic¸˜ao essencial para definir estados f´ısicos cujo postulado ser´a tamb´em de grande utilidade para nossos prop´ositos, portanto, faremos as seguintes indicac¸˜oes e deduc¸˜oes:

1. Primeiro, como os estados s˜ao gerados pelo campoφ (x), ser´a de grande utilidade dividir- lo nas partes correspondentes `as componentes com frequˆencia positiva e negativas:

φ (x) = φ(+)(x) + φ(−)(x) , (3.13) ondeφ(+) _{´e a parte positiva e negativa a parteφ}(−)_{do campo. Isso ´e feito usualmente ao}

usar a identidade1 = θ (k0) + θ (−k0) em (3.8) : φ (x) = (2π)−3/2 Z d4kθ (k0) δ k2− m2
˜ a (k) e−ikx + (2π)−3/2 Z d4kθ (−k0) δ k2 − m2
˜ a (k) e−ikx = (2π)−3/2 Z d4kθ (k0) δ k2− m2
 ˜ a (k) e−ikx+ ˜a†(k) eikx . (3.14) E ent˜ao, como veremos embaixo, temos que a parte positiva e negativa s˜ao naturalmente definidas pelas relac¸˜oes:

φ(+)_{(x) ≡ (2π)}−3/2Z _d4_{kθ (k} 0) δ k2− m2
˜ a†_{(k) e}ikx _(3.15) φ(−)(x) _{≡ (2π)}−3/2 Z d4kθ (k0) δ k2− m2
˜a (k) e−ikx. (3.16)

2. Segundo, desse resultado temos, que o estados pacote de onda_{|Φi podem ser escrito como} |Φ (f)i = φ(+)_{[f ]|Ωi + φ}(−)_{[f ]|Ωi , (3.17)}

onde φ(−)[f ]|Ωi = (2π)−3/2 Z d4x Z d4kθ (k0) δ k2− m2
˜ a (k) e−ikxf (x)|Ωi = Z d4kθ (k0) δ k2− m2
˜ a (k) ˆf (−k) |Ωi (3.18) φ(+)[f ]_{|Ωi = (2π)}−3/2 Z d4x Z d4kθ (k0) δ k2− m2
˜ a†(k) eikxf (x)_|Ωi = Z d4kθ (k0) δ k2− m2
˜a†(k) ˆf (k)|Ωi . (3.19)

Como por condic¸˜ao temos componentes n˜ao nulos somente se k ∈ ¯V+∗_{, ent˜ao a parte}

associada a ˆf (k) ´e n˜ao nula e a parte associada a ˆf (−k) deve ser nula, o que ´e satisfeito se

˜

a†_{(k)|Ωi 6= 0}

˜

a (k)_{|Ωi = 0 .} (3.20)

daqui o operador˜a (k) ´e naturalmente chamado de aniquilac¸˜ao e a ˜a†_{(k) de criac¸˜ao, isso}

tamb´em justifica a definic¸˜ao da parte positiva e negativa do campo. Das definic¸˜oes da parte positiva e negativa de um campo temos queφ†(+)_{(x) = φ}(−)_{(x), se denotamos ao}

v´acuo do espac¸o dual como_{hΩ|; ent˜ao enquanto hΩ| φ}(−)[f ] ´e um estado dual n˜ao nulo, hΩ| φ(+)_{[f ] ´e o estado nulo do espac¸o dual. Ent˜ao}

hΩ| ˜a†_{(k) = 0}

hΩ| ˜a (k) 6= 0 (3.21)

Essas relac¸˜oes ser˜ao de grande utilidade na pr´oxima subsec¸ˆao.

Podemos tamb´em obter uma consequˆencia trivial se considerarmos um estado, _{|Φ (f)i,} com apenas s´o componentes de frequˆencia negativa, para esse caso

hΦ (f) | Φ (f)i = 0 , (3.22)

esta relac¸˜ao tamb´em ser´a de utilidade na pr´oxima subsec¸ˆao.

Nota.- Nesta apresentac¸˜ao dos axiomas de Wightman omitimos algumas considerac¸˜oes usu- ais como a chamada ”weak clustering”e o axioma de localidade∗, mas esta ´ultima ser´a deduzida nas pr´oximas subsec¸˜oes para nosso caso alvo: a teoria livre.