No livro “Lógica? É lógico!”, Nílson José Machado (2008) utiliza uma forma simples e didática de explicar alguns conceitos básicos dessa área de conhecimento. Tomam- se como base alguns conceitos preliminares.
Machado (2008) ilustra o raciocínio lógico por uma situação em que uma professora, ao entrar em sala de aula é logo questionada por um aluno sobre a nova data da prova que seria naquele dia. Os colegas e a professora ficaram surpresos, pois como o aluno saberia que a prova, previamente marcada para aquela data, seria adiada? Indagado pela professora, o aluno descreveu todos os argumentos que apoiaram sua conclusão. Ele explicou que em dia de prova a professora sempre chegava com antecedência na sala de aula, com a caixa de giz de cor nas mãos e um livro para leitura. Esses fatos não aconteceram naquele dia, evidenciando a conclusão do aluno. Por fim, a professora informou a todos que o aluno estava correto e que a prova seria transferida para outra data.
Quantas vezes utilizamos ou até exclamamos a expressão “É Lógico!”, sobre coisas do dia-a-dia, sobre o futuro, sempre defendendo um ponto de vista. Na maioria das vezes refere-se a algo que parece evidente ou porque é muito fácil de ser provado. Em seguida, normalmente enumeramos razões para fundamentar a conclusão evidenciada.
O encadeamento de razões é o que chamamos de argumento, um elemento de fundamental importância para o raciocínio lógico. A relação entre a conclusão e as razões constitui uma boa ou má argumentação.
Para Machado (2008, p. 11), “a Lógica trata das formas de argumentação, das maneiras de encadear nosso raciocínio para justificar, a partir de fatos básicos, nossas conclusões. A Lógica se preocupa com o que se pode ou não concluir a partir de certas informações.”. Muitas vezes ligamos a Lógica apenas à Matemática, porém, ela faz parte de inúmeras outras áreas e no cotidiano de profissões como: advogados, policiais, detetives e o mundo dos negócios. Mas é na Matemática em que ela aparece com maior frequência, sendo levados a conclusões como consequência lógica de determinados fatos. Exemplos: x + 2 = 7, então x = 5; se o triângulo é equilátero, então cada um dos ângulos internos mede 60o. Machado (2008) afirma que estudar Matemática pode ser um permanente exercício de lógica, pois cada afirmação, por mais complicada que pareça, sempre pode ser justificada por outras argumentações mais simples.
Para Bandura et al. (2008), a lógica também é utilizada para verificações do pensamento, além das fontes diretas, vicárias e sociais, sendo estas últimas advindas de influências externas. Especialmente em fases mais avançadas de desenvolvimento, Bandura et al. (2008) afirma que as pessoas utilizam regras de inferência para avaliação e adequação de seu raciocínio, ligadas com conhecimentos anteriores para obtenção de novos conhecimentos.
O filósofo Aristóteles, para Machado (2008), pode ter sido o primeiro a se preocupar com o estabelecimento de regras para a argumentação. Realizou um estudo minucioso de certos tipos básicos de argumentos, estabelecendo regras de distinção dos válidos e não válidos (estes últimos chamados de falácias ou sofismas). Além desses, existem as frases ambíguas, sendo aquelas que podem ser entendidas de maneiras diferentes, por exemplo: Atletas são saudáveis. Ela pode ser entendida
como todos os atletas são saudáveis ou como apenas alguns atletas são saudáveis. São significados bastante diferentes, e, por isso, Aristóteles estudou certas sentenças e as classificou em quatro categorias:
Afirmação Universal – Todos os atletas são saudáveis. Negação Universal – Nenhum atleta é saudável.
Afirmação Particular – Alguns atletas são saudáveis ou Existem atletas saudáveis.
Negação Particular – Alguns atletas não são saudáveis ou Existem atletas não saudáveis.
Machado (2008) menciona algumas figuras importantes para a Lógica: Anhalt- Dessau e Euler. Anhalt-Dessau, princesa da monarquia alemã do século XVIII, se interessava por questões filosóficas e possuía amizade com um famoso matemático suíço, que ministrava aulas em Berlin, chamado Euler. Este dedicou um pequeno livro intitulado “Cartas a uma princesa da Alemanha” que procurava explicar o significado das quatro proposições básicas classificadas por Aristóteles. Para isso, utilizou desenhos representativos do que se podia ou não concluir diante das proposições, se tornando, posteriormente, vastamente conhecido na Matemática como diagramas de Euler. Os diagramas são de extrema importância para entendermos algumas proposições lógicas e nos ajuda na resolução de inúmeros problemas dessa área de conhecimento.
Outra contribuição de Aristóteles foi tentar sistematizar as regras lógicas, principalmente aquelas de um tipo específico, com duas proposições iniciais e uma conclusão. Por exemplo, Todo A é B e Todo B é C (premissas), então Todo A é C (conclusão). Neste exemplo, temos argumentos bem construídos, mas nem sempre isso acontece. Em alguns casos teremos o que é chamado de sofisma ou falácia na Lógica, cuja conclusão não necessariamente é uma forma bem construída das premissas iniciais. A forma Lógica descrita por premissas iniciais e uma conclusão é chamada de silogismo. Aristóteles classificou os silogismos, criando regras para distinção dos válidos e não válidos. Uma das regras dizia que: de duas premissas afirmativas não se pode obter uma conclusão negativa. Exemplo:
Premissas: Todos os alemães são europeus. Alguns alemães são loiros. Conclusão: Nenhum europeu é loiro.
Se forem utilizadas apenas proposições categóricas, como “Todo A é B”, “Algum A é B”, “Nenhum A é B” ou “Algum A não é B”, é possível construir 256 tipos diferentes de silogismo. Porém, apenas 24, menos de 10%, são argumentos válidos, sendo o restante falacioso.
Desde os esforços de Aristóteles que a Lógica vem evoluindo, não se limitando aos silogismos. Muitos filósofos e matemáticos modernos realizam trabalhos de sistematização das regras lógicas, com a finalidade de organizar as leis gerais do pensamento humano. Essas regras ajudam as pessoas a raciocinarem corretamente e a generalizar com base em fatos conhecidos, obtendo conclusões coerentes. Constitui também, como base da lógica, a resolução de problemas.
Para Pólya (2006, p. 12), “Resolver problemas é uma atividade humana
fundamental. De fato, a maior parte do nosso pensamento consciente relaciona-se com problemas”. Nesse contexto, uma parte fundamental de análise deste estudo são problemas de Lógica Matemática. Em seu livro “A Arte de Resolver Problemas”, Pólya (2006) discute vários pontos que perpassam sobre essa “Arte”. Apresentam- se as de maior relevância para esse estudo, por acreditar que durante o processo de resolução dos problemas propostos e interações dos participantes no jogo, vários desses elementos são utilizados, justamente pelo jogo proporcionar um ambiente de resolução de problemas. Este estudo não se utiliza de nenhum instrumento que comprove tal utilização ou que se aprofunde em tais discussões. Mas, nas observações participantes e análise dos vídeos das atividades, é perceptível a utilização dos elementos que serão discutidos a seguir.
Um dos pontos mais importantes é a compreensão do problema proposto. É preciso começar pelo enunciado, tentando visualizar o problema como um todo, com clareza e nitidez. Após essa parte, um bom exercício de estímulo à memória e atenção é memorizar o objetivo do problema. Além disso, não basta apenas o entendimento, é preciso que o estudante queira resolvê-lo.
Quando um estudante comete erros realmente tolos ou é irritantemente vagaroso, a causa é sempre a mesma: ele não tem qualquer desejo de
resolver o problema, nem mesmo deseja entende-lo adequadamente e, por isso, não chegou sequer a compreendê-lo (PÓLYA, 2006, p. 131).
Pólya, na descrição acima, faz menção à motivação do estudante na resolução de problemas. O autor ainda complementa que problemas difíceis ensinam o estudante a perseverar em relação aos insucessos, a observar progressos em seu
aprendizado na busca pela ideia principal – a concentração está inserida neste meio
– que lhe ajudará na resolução. Pólya também exprime ideia semelhante quando diz “Querer é poder”. Ele ainda acrescenta que “Se o estudante não tiver, na escola, a oportunidade de se familiarizar com as diversas emoções que surgem na luta pela solução, a sua educação matemática terá falhado no ponto mais vital.” (Pólya, 2006, p. 131). É nesse sentido que se acredita que o QUIZ e seu ambiente motivacional sejam figuras importantes para o “querer” dos estudantes, na tentativa interacionista do grupo de resolver os problemas.
O elaborador do problema também é importante nesse processo, pois é preciso que o problema seja interessante e de fácil entendimento, principalmente na identificação das partes principais, da incógnita, dos dados e da condicionante. Nesse contexto, a busca por uma notação adequada, buscando variáveis, perguntas, figuras e elementos textuais que ajudem no entendimento de estudantes familiarizados ou não com o assunto, pode ser de fundamental importância. Nesse contexto, é preciso cuidado ao elaborar questões ao jogo, para que as dificuldades de resolução não fiquem concentradas na dificuldade de atendimento dos estudantes.
Outro ponto assinalado por Pólya (2006) é o estabelecimento de um plano, isto é, um caminho que vai da compreensão do problema até a sua solução, podendo ser longo e tortuoso. A ideia pode surgir gradualmente, após algumas tentativas sem sucesso ou depois de um período de hesitação. Algumas vezes surge repentinamente, como uma “ideia brilhante”. Normalmente, boas ideias advêm de experiências passadas e de conhecimentos previamente adquiridos. Com isso, é importante refletir, após o entendimento do problema, se conhecemos outro problema semelhante com o problema proposto.
A decomposição e recombinação também são tratadas por Pólya (2006). A decomposição são operações mentais de investigação de detalhes ou fatos no problema que chamam a atenção. A recomposição desses fatos do problema com
o risco de neles se perder” (Pólya, 2006, p. 47). Um grande número de particularidades muito minuciosas pode causar uma sobrecarga mental, podendo impedir o indivíduo de se concentrar no ponto principal a ser trabalhado. Pólya metaforiza esse fato falando do homem que não podia ver a floresta por causa das árvores.
Caso nenhum dos caminhos anteriores consiga ajudar no plano, pode-se tentar reformular o problema, em busca de uma variação, generalização, particularização ou analogia.
Para Pólya (2006, p. 97), generalização “É a passagem da consideração de um elemento para a consideração de um conjunto que contém esse elemento; ou a passagem de consideração de um conjunto para um conjunto mais abrangente, que contém o conjunto restrito”. Por exemplo, considere 1 + 8 + 27 + 64 = 100. Pode-se reescrever essa soma da seguinte maneira 13 + 23 + 33 + 43 = 102 . Será que se pode generalizar para a3 + b3 + c3 + d3 + ... + e3 = (a + b + c + d + ... + e)2 ? Ao se passar um problema numérico para a literalidade, ganha-se acesso a novos procedimentos e possibilidades de verificação de vários dados diferentes e alcance a resultados que talvez não se consiga realizar sem a generalização. Em alguns dos problemas propostos, no estudo quantitativo, é preciso que o estudante trabalhe com generalizações para se chegar ao resultado final.
A particularização “É a passagem da consideração de um dado conjunto de elementos para a consideração de um conjunto maior, ou para a de apenas um dos elementos contidos no conjunto dado.” Pólya (2006, p. 124). Esta prática também é uma boa opção para a resolução de problemas. Um caso particular poderá mostrar um caminho para a resolução do problema, ou indicar um caminho que não deve ser seguido. Em alguns casos, a particularização pode ser realizada aplicando alguns exemplos concretos à situação abstrata proposta. Essa prática é de grande valia também para o entendimento do problema.
Para Pólya (2006, p. 33), analogia é uma espécie de semelhança, em que “objetos análogos coincidem em certas relações das suas respectivas partes”. A analogia está presente nos pensamentos, fala cotidiana e em conclusões triviais. Também está presente em modos de expressão artística e conclusões científicas, sendo empregada nos mais diferentes níveis. É comum utilizarmos analogias vagas,
incompletas ou obscuras, podendo chegar ao rigor matemático. Todos os tipos podem proporcionar função de descoberta da solução, com isso, não podemos desprezar nenhum deles. É comum conseguirmos resolver um problema com a ajuda de um problema análogo mais simples.
Pólya (2006) discute uma ideia de raciocínio heurístico que, para ele, é essencial sua utilização para atingir-se um resultado final na resolução de um problema. O raciocínio heurístico é aquele que não possui regras e nem tampouco é finalizado com elegância. Pode ser expresso de forma mental ou por meio de rascunhos em folha de papel ou sobre um material provisório. É fundamental para registrar-se uma ideia momentânea ou para realizar-se algum cálculo ou anotação auxiliar. Antunes (2012b) também cita o pensamento heurístico como uma estratégia de ensino. Para ele, heurístico é o método usado nas descobertas, e deve ser trabalhado preferencialmente em atividades com grupos de estudantes, para incentivar a troca de informações e experiências. O raciocínio heurístico se insere no contexto deste estudo como elemento que pode ser observado durante as atividades, seja pela interação dos envolvidos, seja pelas tentativas de utilizar um pedaço de papel para um desenho ou cálculo auxiliar. Todas essas iniciativas contribuem para se chegar à resolução da questão e à construção e compartilhamento do conhecimento.
Outro ponto importante tratado por Pólya (2006) é o retrospecto, isto é, pensar sobre os passos pelos quais se chega ao resultado. Em grande parte das vezes, não fazemos um retrospecto do problema finalizado, com isso deixamos de armazenar informações importantes para problemas futuros. O retrospecto consiste em se pensar na possibilidade de verificação do resultado, possibilidade de verificar o argumento, possibilidade de chegar ao resultado por um caminho diferente e possibilidade de utilizar o resultado ou o método em algum outro problema. Antunes (2012b) também trata a busca de resultados semelhantes por intermédio de estratégias diferentes, como um ponto importante no desenvolvimento do raciocínio lógico. Para ele, não basta que o estudante chegue ao resultado de um problema, é importante repensar sobre a via utilizada e se ela é única. Essa reflexão é importante também em nossa vida cotidiana, não apenas em nossa vida acadêmica. Em problemas de geometria ou não, que utilizam figuras, Pólya (2006) traz alguns pontos a serem observados. Em alguns casos, é mais importante tentar imaginar a
figura em nossa mente do que desenhá-la. No caso de criação do desenho em papel ou sobre algum outro material, uma dúvida que sempre vêm à tona é de se a figura deve refletir a situação com exatidão ou apenas uma aproximação é suficiente? Pólya (2006) coloca que a exatidão das figuras não é de suma importância, mas para um principiante, é preciso tentar desenhá-las as mais exatas possíveis, para adquirir boa base experimental. Também é preciso observar para que os elementos sejam reunidos com todas as suas correlações, não sugerindo nenhuma particularização indevida. E por fim, Pólya realça que é sempre bom destacar as diferentes funções das diversas linhas da figura, seja por um traço contínuo, pontilhado ou tracejado e, quando possível, fazê-los de cor diferente.
Apesar de todas as considerações sobre o que a mente deverá realizar e as atitudes exigidas do indivíduo, para Pólya (2006) não há regras de descobertas infalíveis, que culminem na resolução de todos os problemas matemáticos. Para o autor, a descoberta de regras desse porte seriam “mais preciosas que a pedra filosofal ... sendo um velho sonho filosófico que nunca passará de sonho.” (Pólya, 2006, p. 56). Pólya (2006, p. 116) afirma que o futuro Matemático deverá ser um “hábil solucionador de problemas”, e, mais do que isso, deverá descobrir qual a área em que possui maior habilidade. E também
O futuro matemático aprende, como todos, pela imitação e pela prática. Ele deverá procurar, para imitar, o modelo certo. Deverá observar o professor que o estimula a competir com um colega capaz. (PÓLYA, 2006, p. 116)
Para o autor, a maior parte do pensamento consciente está relacionada com a resolução de problemas. E ele diria ainda que grande parcela desses problemas envolve raciocínio lógico matemático. Aqui se encontra a grande importância de se trabalhar os elementos anteriormente assinalados por Pólya (2006), potencializados no trabalho em grupo, troca de experiências e formas de resolução e em ambiente motivacional proporcionado pelo QUIZ.
3 REVISÃO DE LITERATURA
Bibliografias científicas atualizadas fortalecerão as discussões por possuírem sintonia com o objeto de estudo deste trabalho, qual seja: raciocínio lógico, QUIZ e motivação de estudantes.
Em um artigo intitulado “Peer Instruction Improves Performance on Quizzes”, Rao e DiCarlo (2000) apresentam uma experiência utilizando a técnica Peer Instruction no conteúdo de Componentes Respiratórios, na disciplina de Fisiologia Médica em uma turma com 256 estudantes do primeiro ano do curso de Medicina do Department of
Physiology, Wayne State University, School of Medicine, Detroit, Michigan. Peer Instruction é uma técnica cooperativa de aprendizado para promoção do
pensamento crítico, criada por Eric Mazur, professor da Universidade de Harvard. Consiste em, basicamente, verificar o aprendizado dos estudantes e desenvolver o conhecimento de forma crítica pela interação entre os próprios estudantes, por meio de perguntas de múltipla escolha e do uso da tecnologia para gerir o processo. O artigo descreve que a técnica foi utilizada em 10 aulas de 50 minutos, sendo que cada aula era subdividida da seguinte forma: apresentação do conteúdo em 12 a 20 minutos, após a apresentação de cada conteúdo era disponibilizada uma questão, sendo que cada questão os estudantes possuíam 1 minuto para a primeira resposta, mais 1 minuto para discussão e depois uma nova votação era realizada. O estudo indica dados sobre a concentração dos estudantes e retenção do conteúdo transmitido pelo professor em aulas expositivas de longa duração. Foi indicado que durante uma aula, são retidos, aproximadamente, 41% do conteúdo nos primeiros 15 minutos de aula, 25% em 30 minutos e 20% durante 45 minutos, indicando que aulas expositivas longas não são eficientes no aprendizado.
Para maior eficiência das aulas (com 50 minutos, por exemplo), o professor Rowe, mencionado no estudo, pausava pelo menos três vezes, privilegiando a discussão entre os estudantes nesses intervalos, focando o esclarecimento e a assimilação do conteúdo transmitido por meio da interação no Peer Instruction. Nos resultados obtidos, em todas as perguntas feitas, nas respostas antes da discussão e depois da discussão puderam ser percebidas melhoras consideráveis no número de acertos, em alguns casos, passou de 73,1% para 99,8% antes e depois da interação,
respectivamente. De forma resumida, o estudo ressalta a falta de eficiência em aulas expositivas de longa duração e reforça a eficiência da técnica de Peer Instruction em intervalos de aula expositiva, privilegiando a discussão e a interação dos estudantes à respeito do conteúdo recém-abordado.
O estudo anterior motiva a investigação do QUIZ como um evento capaz de promover ganhos no aprendizado dos estudantes, por se tratar de um jogo que utiliza conceitos similares ao Peer Instuction.
Em um artigo intitulado “Formative Assessment in Physiology Theaching Using a Wireless Classroom Communication System“, Paschal (2002) discute a utilização de sistemas de comunicação sem fio em sala de aula na inserção de questões de múltipla escolha feita aos estudantes. Desse modo, há a possibilidade de interação estudante-professor e este último pode mensurar seus rendimentos de forma ágil e rápida do conteúdo passado. A autora ressalta que esses sistemas são complementares às leituras e tarefas de casa, sendo também uma forma de despertar a motivação e participação dos estudantes em sala de aula, tornando-os mais ativos na construção do conhecimento. O autor também cita pesquisas que questionam as tarefas de casa em sua eficiência na fixação do conteúdo. Em pesquisas de Foyle e Bailey, citado por Paschal, realizada de 1904 a 1984, em metade dos experimentos, os estudantes apresentaram melhor rendimento com professores que utilizavam métodos alternativos às tarefas de casa. Paschal discute que essas tarefas, considerando sua realização pelos alunos e correção por parte do professor, é um ciclo demorado. O ideal é que o professor possa tomar alguma atitude ou intervenção no processo de aprendizagem dos estudantes em um espaço de tempo menor possível, para que falsos conceitos não sejam fixados na memória dos estudantes.
Paschal (2002) sugere vários sistemas a serem utilizados para este fim, alguns deles são: Personal Response System (PRS), Classtalk, Classroom Performance
System (CPS), TI-Navigator e Interactive Presenter. Para sua pesquisa, Paschal
utilizou uma turma de Engenharia Biomédica do segundo semestre de 2000 (que recebeu orientações tradicionais) e uma turma do primeiro semestre de 2001 (que utilizou o sistema) na disciplina de fisiologia. Os grupos receberam todas as informações de forma semelhante, pelos mesmos professores, que já lecionavam a
disciplina há vários anos. O ensino tradicional utilizado na turma de 2000 engloba indicações de leitura disponibilizadas no site da universidade antes das aulas e