Defini¸c˜ao 2.2.1. Seja A∈ A. Definimos o primeiro pior caso de A por ppc(A) = min{n ∈ N; o(n, A) = o(A)}.
Exemplo 2.2.2. ppc(N2) = 7, ppc(N3) = 23 e ppc(A) = 0 se, e s´o se, A =N.
Note que n˜ao existe A∈ A tal que ppc(A) = 1.
Lema 2.2.3. Seja A∈ A. Se B ⊇ A e o(A) = o(B), ent˜ao ppc(B) ≥ ppc(A). Demonstra¸c˜ao: Se ppc(B) < ppc(A), ent˜ao
o(A) = o(B) = o(ppc(B), B)≤ o(ppc(B), A) < o(A), absurdo.
2.2. PRIMEIRO PIOR CASO E PSEUDOCONTINUIDADE 23 Proposi¸c˜ao 2.2.4. O ´unico ponto isolado de A ´e N.
Demonstra¸c˜ao: N ´e um ponto isolado de A porque B(N, 1) = {N}. De fato, se d(A,N) < 1, ent˜ao
o(A) = o(N) = 1,
o que implica A = N. Agora seja A ∈ A, A 6= N. Ent˜ao o(A) ≥ 2. Seja ε > 0. Mostraremos que A ´e um ponto de acumula¸c˜ao deA. Para isso, seja n0 ∈ N tal que
X
α>n0
1 α2 < ε.
SeN − A for infinito, seja
n1 = max{n0, ppc(A)}.
ComoN − A ´e infinito, existe x ∈ N − A tal que x > n1. Ent˜ao
B = A∪ {x}
´e tal que B 6= A e o(B) = o(A), pois x > n1 ≥ ppc(A). Al´em disso,
d(A, B) = 1 x2 < X α>n1 1 α2 ≤ X α>n0 1 α2 < ε.
SeN − A for finito, seja n2 ∈ N tal que se n ≥ n2, ent˜ao n∈ A. Se
x = max{n0, n2, ppc(A)},
ent˜ao
B = A− {x + 1}
´e tal que B 6= A e o(B) = o(A), pois x ∈ A e, portanto, o(x + 1, B) = 2 ≤ o(A). Logo d(A, B) = 1 (x + 1)2 < X α>x 1 α2 ≤ X α>n0 1 α2 < ε. Proposi¸c˜ao 2.2.5. O conjunto E ={A ∈ A; N − A ´e finito}
´e enumer´avel e denso em A. Em particular, A ´e um espa¸co m´etrico separ´avel. Demonstra¸c˜ao: ´E claro que E ´e enumer´avel. Vamos mostrar que E ´e denso em A. Para isto, sejam A∈ A e ε > 0, e seja n0 ∈ N tal que
X
α>n0
1 α2 < ε.
Seja
x = max{n0, ppc(A)} + 1.
Se
B = A∪ {y ∈ N; y ≥ x}, ent˜ao B∈ E, o(B) = o(A) (pois x > ppc(A)), e
d(A, B) = X α∈A△B 1 α2 ≤ ∞ X α≥x 1 α2 ≤ ∞ X α>n0 1 α2 < ε.
Logo E ´e denso emA.
Proposi¸c˜ao 2.2.6. A fun¸c˜ao
ppc : A → N
A 7→ ppc(A)
´e cont´ınua em A, mas n˜ao ´e uniformemente cont´ınua em A.
Demonstra¸c˜ao: Seja A∈ A, A 6= N para evitar o caso trivial. Dado ε > 0, seja
δ = 1
ppc(A)2 > 0.
Se
d(A, B) < δ ≤ 1, ent˜ao o(A) = o(B) e
A∩←−−−−ppc(A) = B∩←−−−−ppc(A).
Isto implica ppc(A) = ppc(B), ou seja | ppc(A) − ppc(B)| = 0 < ε. Logo ppc ´e cont´ınua emA.
Se ppc fosse uniformemente cont´ınua em A, dado ε = 1
2 existiria δ > 0 tal que se d(A, B) < δ, ent˜ao
| ppc(A) − ppc(B)| < 1
2, ∀ A, B ∈ A.
Em particular, isto implicaria ppc(A) = ppc(B), ∀ A, B ∈ A tais que d(A, B) < δ. Seja x∈ N − {0, 1} tal que
1 x2 +
1
(x + 1)2 < δ.
Se A =N − {x} e B = N − {x + 1}, ent˜ao o(A) = o(B) = 2, d(A, B) = 1
x2 +
1
(x + 1)2 < δ
2.2. PRIMEIRO PIOR CASO E PSEUDOCONTINUIDADE 25 Corol´ario 2.2.7. Seja X ⊆ A. Se existir M > 0 tal que
ppc(A)≤ M, ∀ A ∈ X, ent˜ao ppc(A)≤ M, ∀ A ∈ X.
Demonstra¸c˜ao: Seja A∈ X. Ent˜ao existe {An}n∈N ⊆ X tal que An → A. Como a
fun¸c˜ao ppc ´e cont´ınua emA,
ppc(An)→ ppc(A).
Como todos os pontos deN s˜ao isolados, existe n0 ∈ N tal que
ppc(An) = ppc(A), ∀ n ≥ n0.
Logo ppc(A) = ppc(An0)≤ M.
Definamos agora o conceito de pseudoconvergˆencia para sequˆencias em A. Defini¸c˜ao 2.2.8. Seja {An}n∈N uma sequˆencia em A. Dizemos que {An}n∈N pseu-
doconverge para A∈ A se dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que se n ≥ n0, ent˜ao
X
α∈An△A
1 α2 < ε.
Denotamos isto por An p
→ A.
Segue diretamente do lema 2.1.4 que se{An}n∈N for uma sequˆencia emA tal
que An p → A ∈ A, ent˜ao A = ∞ [ j=0 ∞ \ m=j Am.
Em particular, o limite de uma pseudoconvergˆencia, quando existe, ´e ´unico. Deixe- mos isto registrado.
Proposi¸c˜ao 2.2.9. Seja {An}n∈N uma sequˆencia em A. Se An → A ∈ A, ent˜ao
An p → A. Em particular, A = ∞ [ j=1 ∞ \ m=j Am.
Demonstra¸c˜ao: Se An → A, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que se n ≥ n0, ent˜ao
d(A, An) < ε. Assim, se n≥ n0, ent˜ao
X α∈An△A 1 α2 ≤ d(An, A) < ε. Logo An p → A.
A rec´ıproca da proposi¸c˜ao anterior ´e falsa. De fato, considere a sequˆencia de bases aditivas
An=N − {n}, ∀ n ∈ N − {0, 1}.
´
E claro que {An}n∈N−{0,1} diverge. Entretanto, An p
→ N. Com efeito, dado ε > 0, seja n0 ∈ N − {0, 1} tal que
1 n 2 0 < ε. Assim, se n≥ n0, ent˜ao X α∈An△N 1 α2 = 1 n2 ≤ 1 n 2 0 < ε⇒ An p → N. Lema 2.2.10. Seja {An}n∈N uma sequˆencia em A. Se An
p
→ A ∈ A, ent˜ao existe n0 ∈ N tal que o(An)≥ o(A), ∀ n ≥ n0.
Demonstra¸c˜ao: Seja x = ppc(A) + 1. Como An p
→ A, dado ε = 1
x2
existe n0 ∈ N tal que se n ≥ n0, ent˜ao
X α∈An△A 1 α2 < 1 x2. Em particular, An∩ ←−x = A∩ ←−x , ∀ n ≥ n0. Assim, se n≥ n0, ent˜ao
o(ppc(A), An) = o(ppc(A), A) = o(A),
o que implica o(An)≥ o(A), ∀ n ≥ n0.
Teorema 2.2.11. Seja {An}n∈N uma sequˆencia emA. Se An p
→ A ∈ A e se existir M > 0 tal que ppc(An)≤ M, ∀ n ∈ N, ent˜ao An→ A.
Demonstra¸c˜ao: Afirmo que ´e suficiente mostrar que existe n1 ∈ N tal que se n ≥ n1,
ent˜ao o(A) = o(An). De fato, mostrado isto, como An p
→ A, ent˜ao dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que se n ≥ n0, ent˜ao
X α∈An△A 1 α2 < ε. Se n2 = max{n0, n1} e se n ≥ n2, ent˜ao d(An, A) = X α∈An△A 1 α2 < ε, o que implica An → A.
2.2. PRIMEIRO PIOR CASO E PSEUDOCONTINUIDADE 27 Pelo lema anterior, existe n3 ∈ N tal que se n ≥ n3, ent˜ao o(An) ≥ o(A).
Suponha por absurdo que n˜ao exista n1 ∈ N tal que se n ≥ n1, ent˜ao o(A) = o(An).
Ent˜ao existir´a uma subsequˆencia{Am}m∈N de {An}n∈N tal que
o(Am) > o(A), ∀ m ∈ N.
Agora seja y ∈ Z+. Como An p
→ A, dado ε = 1
y2
existe n4 ∈ N tal que se n ≥ n4, ent˜ao
X α∈An△A 1 α2 < 1 y2. Em particular, An∩ ←−y = A∩ ←−y , ∀ n ≥ n4.
Se m∈ N for tal que m ≥ n4, ent˜ao
A∩ ←−y = Am∩ ←−y .
Se z ∈ N e z ≤ y, ent˜ao o(z, Am) = o(z, A) ≤ o(A). Como o(Am) > o(A), ent˜ao
ppc(Am) > y. Como y ´e arbitr´ario, n˜ao existe M > 0 tal que
ppc(An)≤ M, ∀ n ∈ N,
absurdo.
Teorema 2.2.12. Toda sequˆencia de Cauchy em A pseudoconverge. Mais especifi- camente, se {An}n∈N for uma sequˆencia de Cauchy em A e
A = ∞ [ m=0 ∞ \ n=m An, ent˜ao A∈ A, An p → A e o(A) ≤ lim n→∞o(An).
Demonstra¸c˜ao: Como{An}n∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy, dado
ε = 1 2 existe n0 ∈ N tal que se n, m ≥ n0, ent˜ao
d(An, Am) <
1 2. Em particular,
o(An) = o(Am), ∀ n, m ≥ n0.
Assim existe lim
n→∞o(An). Seja
L = lim
Para mostrar que A∈ A ´e suficiente mostrar que o(x, A)≤ L, ∀ x ∈ N.
Para isto, seja x ∈ N, x ≥ 2, uma vez que {0, 1} ⊆ A. Como {An}n∈N ´e uma
sequˆencia de Cauchy, dado
ε = 1 x2
existe n1 ∈ N tal que se n, m ≥ n1, ent˜ao
d(An, Am) <
1 x2.
Em particular,
An∩ ←−x = Am∩ ←−x , ∀ n, m ≥ n1.
Seja n2 = max{n0, n1}. Afirmo que
An2 ∩ ←−x = A∩ ←−x .
De fato:
(⊆) Seja y ∈ An2, y≤ x. Sabemos que
∞ \ m=n2 Am ⊆ A. Como n2 ≥ n1, ent˜ao An2∩ ←−x = Am∩ ←−x , ∀ m ≥ n2.
Em particular, y∈ Am, ∀ m ≥ n2, o que implica y ∈ A.
(⊇) Seja y ∈ A, y ≤ x. Como y ∈ A, existe m ∈ N tal que y∈
∞
\
n=m
An.
Seja n3 = max{n2, m}. Como n3 ≥ m, ent˜ao y ∈ An3. Como n3 ≥ n2 e y ≤ x, ent˜ao
y∈ An2. Portanto
o(x, A) = o(x, An2)≤ o(An2) = L.
Em particular, A∈ A e o(A) ≤ L. Agora vamos mostrar que An
p
→ A. Para isto, seja ε > 0 e seja z ∈ Z+ tal
que
X
α>z
1 α2 < ε.
Como{An}n∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy, dado
ε′ = 1 z2
2.2. PRIMEIRO PIOR CASO E PSEUDOCONTINUIDADE 29 existe n4 ∈ N tal que se n, m ≥ n4, ent˜ao
d(An, Am) <
1 z2.
Em particular,
An∩ ←−z = Am∩ ←−z , ∀ n, m ≥ n4.
Da mesma forma que antes,
An4 ∩ ←−z = A∩ ←−z . Isto implica A∩ ←−z = An∩ ←−z , ∀ n ≥ n4. Assim, se n≥ n4, ent˜ao X α∈An△A 1 α2 ≤ X α>z 1 α2 < ε. Logo An p → A.
A rec´ıproca do teorema anterior n˜ao vale. Por exemplo, a sequˆencia{An}n∈Z+
dada por
An ={0, 1, . . . , n, n2+ 1, . . .}
´e tal que An p → N, pois X α∈An△N 1 α2 = n2 X α=n+1 1 α2 ≤ Z n2 n 1 x2dx−−−→n→∞ 0,
mas {An}n∈Z+ n˜ao ´e uma sequˆencia de Cauchy, pois
o(An) = n, ∀ n ∈ Z+.
O lema abaixo permitir-nos-´a dar uma caracteriza¸c˜ao simples dos subconjun- tos compactos deA:
Lema 2.2.13. Seja X ⊆ A. Se existir M > 0 tal que ppc(A) ≤ M, ∀ A ∈ X, ent˜ao X ser´a completo.
Demonstra¸c˜ao: Seja{An}n∈N uma sequˆencia de Cauchy em X. Pelo teorema 2.2.12,
existe A∈ A tal que An p
→ A. Como existe M > 0 tal que ppc(A)≤ M, ∀ A ∈ X, o corol´ario 2.2.7 implica que
ppc(An)≤ M, ∀ n ∈ N.
Pelo teorema 2.2.11,
An→ A.
A rec´ıproca do lema anterior n˜ao vale. De fato, considere a sequˆencia An=N − {2, . . . , n}, n ≥ 2
e seja X ={An}n≥2. Ent˜ao
o(An) = n = ppc(An).
Segue que X ´e completo, pois d(An, Am) > 1 se n 6= m, mas n˜ao existe M > 0 tal
que ppc(A)≤ M, ∀ A ∈ X.
Note tamb´em que n´os n˜ao podemos concluir que X ´e completo no lema 2.2.13. De fato, seja
An =N − {2, n}, n ≥ 2,
e seja X ={An}n≥2. Ent˜ao
An → N − {2} 6∈ X.
Claramente, o que acontece aqui ´e que a base aditiva A, limite da sequˆencia{An}n≥2,
pode n˜ao pertencer a X.
Teorema 2.2.14 (Teorema da caracteriza¸c˜ao dos subconjuntos compactos de A). Seja X ⊆ A. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes.
1. X ´e compacto.
2. X ´e fechado, limitado, e existe M > 0 tal que ppc(A)≤ M, ∀ A ∈ X.
Demonstra¸c˜ao: (1. ⇒ 2.) Se X for compacto, claramente X deve ser fechado e limitado. Como a fun¸c˜ao ppc ´e cont´ınua em A, o conjunto
ppc(X) ={ppc(A); A ∈ X}
´e compacto em N. Em particular, existe M > 0 tal que ppc(A) ≤ M, ∀ A ∈ X. (2.⇒ 1.) Como X limitado, o corol´ario 2.1.6 implica que X ´e totalmente limitado. Como existe M > 0 tal que
ppc(A)≤ M, ∀ A ∈ X,
segue do lema 2.2.13 que X ´e completo. Mas ent˜ao X = X, o que implica X ´e completo. Logo X ´e compacto.
Corol´ario 2.2.15. Seja A∈ A, A 6= N. Se 0 < r ≤ 1
ppc(A)2,
ent˜ao B[A, r] ´e um subconjunto compacto de A. Em particular, A ´e um espa¸co m´etrico localmente compacto.
2.2. PRIMEIRO PIOR CASO E PSEUDOCONTINUIDADE 31 Demonstra¸c˜ao: ´E suficiente mostrar que
B
A, 1
ppc(A)2
´e um subconjunto compacto de A. Como B
A, 1
ppc(A)2
´e um subconjunto limitado e fechado deA, pelo teorema anterior ´e suficiente mostrar que existe M > 0 tal que
ppc(A)≤ M, ∀ A ∈ B A, 1 ppc(A)2 . Pelo corol´ario 2.2.7, ´e suficiente mostrar que existe M > 0 tal que
ppc(A)≤ M, ∀ A ∈ B A, 1 ppc(A)2 . Para isto, seja
B ∈ B A, 1 ppc(A)2 . Ent˜ao d(A, B) < 1 ppc(A)2 ≤ 1 4. Em particular, o(A) = o(B) e
A∩←−−−−ppc(A) = B∩←−−−−ppc(A), o que implica ppc(A) = ppc(B).
Note que, no espa¸co (A, d), bolas pequenas s˜ao compactas. Note tamb´em que bolas abertas tamb´em podem ser compactas, bastando para isto uma pequena condi¸c˜ao extra. De fato, seja A∈ A, A 6= N. Se
0 < r ≤ 1 ppc(A)2
eS(A, r) = ∅, ent˜ao B(A, r) ´e um subconjunto compacto de A, uma vez que B(A, r) = B[A, r] − S(A, r).
A pr´oxima se¸c˜ao deste cap´ıtulo se encarregar´a de dar uma caracteriza¸c˜ao topol´ogica de (A, d).