Probability Weighting functions
5.4. Does loss aversion make a difference?
A partir do enfoque conceitual que estamos considerando até agora para o ‘concreto’ e para o ‘abstrato’, somos levados a classificar que tudo o que há em termos de conhecimento matemático se insere na perspectiva do mundo da abstração.
No entanto, a partir de uma nova compreensão para esses conceitos, conforme veremos mais adiante, essa classificação do conhecimento matemático pode ser alterada. Com isso, defendemos uma dialética entre o concreto e o abstrato para os objetos matemáticos estruturada na tese de que o nível de abstração desses objetos é relativo e numa síntese de que a construção dos conceitos matemáticos sobre tais objetos só é possível se os professores forem devidamente formados, no sentido de compreender essa relatividade da abstração dos objetos da matemática. A antítese desse processo dialético se configura pela
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análise de que, em razão da formação dos nossos docentes não contemplar tais aspectos, a construção de conceitos matemáticos fica comprometida.
O modo de conceber o concreto e o abstrato disjuntos tem fortes marcas de um modelo de conhecimento linear, que os coloca em campos opostos e os reduz a definições simplistas. Tal concepção, no nosso entendimento, pode ser responsável por equívocos que trazem sérios danos para seu ensino. O entendimento de que as dificuldades de aprendizagem em Matemática estejam ligadas ao caráter abstrato dessa ciência é uma das justificativas equivocadas para o fracasso dos alunos nessa área de conhecimento. Essa consideração remete ao entendimento disseminado pela concepção platônica de ser a Matemática um conhecimento contemplativo, e, assim, não “acessível” por muitos.
Mas, existem outras questões que estão enraizadas nas concepções gerais sobre a Matemática e que podem também explicar as objeções e ‘medos’ dos estudantes quando se trata de aprendê-la. Considerar, por exemplo, que a Matemática é uma ciência exata, é um desses equívocos. “Como disse certa vez Bertrand Russell: embora isso possa parecer um paradoxo, toda a ciência exata é dominada pela ideia da aproximação” (SINGH, p.42, 1999).
De fato, tudo o que possamos imaginar de aplicações da Matemática está marcado pelo processo de aproximação, uma vez que todos os eventos que ocorrem no mundo físico têm limites finitos, ao passo que ao adentrar-se no campo da abstração essas limitações desaparecem. Daí decorre o entendimento de que os que pensam o mundo da Matemática dentro da perspectiva da exatidão, assim o fazem por considerá-la de acordo com a concepção descrita acima, ou seja, uma “ciência contemplativa”, de um conhecimento unicamente abstrato.
No entanto, isso não quer dizer que, para fugirmos das aproximações, das limitações, da relatividade, o ensino da Matemática deva ser pautado puramente no aspecto do abstrato, renegando ou ignorando a função precípua desse conhecimento que é explicar o mundo, os seus objetos e as relações internas e externas entre estes. Ao contrário, não deveríamos fugir desses aspectos pois eles ocorrem cotidianamente em nossa vida.
Assim, entendemos que a questão central do ensino de Matemática, em especial na Educação Básica, está resumida da seguinte forma: como ajudar ao aluno a fazer a passagem da compreensão dos objetos reais, concretos, para os
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objetos da Matemática? Dizendo de outra forma: como compreender os objetos matemáticos a partir dos objetos concretos, que, quando muito, seriam representações grosseiras dos primeiros?
Defendemos que a aprendizagem não se tornará significativa se as ações educativas se concentrarem em apenas um desses pontos. Por isso, entendemos que é fundamental que haja uma relação dialógica entre os elementos desse par – concreto e abstrato – para dar sustentação e significado ao conhecimento e a aprendizagem matemática.
Desligar completamente a Matemática das aplicações do mundo real e vê-la como uma estrutura de conhecimentos acabados (inertes) e exatos, pode desencandear uma série de problemas para o ensino, especialmente quando estamos tratando de Educação Básica. Não podemos ter certeza do peso dessas questões para a aprendizagem dos estudantes, mas, em face dos baixos resultados da aprendizagem matemática em avaliações oficiais19, têm surgido questionamentos críticos sobre as metodologias de ensino aplicadas em sala de aula e baseadas exclusivamente em tais concepções.
No entanto, as investigações voltadas apenas para a forma como se ensina, sobre as metodologias e recursos didáticos utilizados, deixam à margem das discussões questões primordiais, que deveriam anteceder qualquer outra: o que são os objetos de estudo da Matemática? Há alguma relação entre eles e os objetos concretos? Se ela existe, qual é sua natureza e como contemplá-la no ensino dessa disciplina escolar?
Nas últimas décadas, têm-se intensificado a utilização de exemplos do mundo real para ensinar os conceitos matemáticos. A ideia defendida é a de que tornar esses conceitos mais relevantes, em termos de ligação com o cotidiano, torna-os mais fáceis de serem aprendidos, compreendidos pelos estudantes.
Esses procedimentos são realizados e justificados a partir de enfoques distintos, no entanto, algumas vezes desprovidos de aprofundamentos teórico- filosóficos. Alguns falam de contextualização, outros, de resolução de problemas, e há ainda a denominação de tornar a “Matemática concreta”, questão que discutiremos com mais ênfase no próximo tópico. O que se nota, nas perspectivas consideradas, e que se traduz como elemento positivo nesse contexto, é uma busca
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aflita de possíveis mudanças de rumo pedagógico para tornar a Matemática mais compreensível, a aprendizagem matemática mais consistente e as aulas de Matemática mais prazerosas.
Concordamos com a opinião de Giardinetto (1999), quando ele afirma que:
[...] [O]s conceitos escolares, na medida em que não apresentam uma relação imediata com a vida dos alunos, são regidos por procedimentos de ensino arbitrários, como que um amontoado de regras sem nexo que são impostas aos alunos (GIARDINETTO, 1999, p.04).
No entanto, em detrimento de tais posturas didáticas no ensino de Matemática, percebemos, muitas vezes, um exagero na aplicação de tais modelos metodológicos, gerando sérios obstáculos para a compreensão de conceitos, promovendo efeito contrário ao imaginado para a aprendizagem. “Da necessária valorização do conhecimento cotidiano, viu-se ocorrer uma supervalorização do conhecimento cotidiano perdendo-se de vista à relação com o saber escolar” (GIARDINETTO, 1999, p.05).
Por outro lado, os defensores de tais práticas argumentam que, quando bem elaboradas e planejadas, essas abordagens contribuem para a melhoria da aprendizagem. Esse embate sobre as vantagens ou não de se ensinar Matemática buscando relacionar os seus conceitos a situações do cotidiano, tem recebido destaque nos anos recentes.
Tentando demarcar esse conflito e algumas de suas consequências para o desenvolvimento das práticas de ensino de Matemática, adentraremos em algumas considerações extraídas de pesquisas desenvolvidas sobre essa temática, para, depois, apontarmos nosso posicionamento frente a essa relação da Matemática com a realidade e, mais especificamente, do concreto com o abstrato no conhecimento matemático.
Kaminski et al (2008), ao estudar um grupo de universitários, buscando entender a importância da ligação de conceitos abstratos da Matemática com problemas do mundo real para a aprendizagem, defenderam que essa forma de tratar o ensino de Matemática não traz benefícios para a compreensão dos conceitos matemáticos. Para eles, o problema com os exemplos do mundo real é que eles obscurecem a Matemática subjacente, e os estudantes não são capazes de
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transferir o conhecimento para novos problemas, tendendo a lembrarem apenas do que é superficial.
É possível que essas conclusões estejam ratificando o pensamento de Giardinetto (1999), que mostrou não ser significante para a aprendizagem matemática a supervalorização do conhecimento cotidiano, pois deixa-se à margem o elemento essencial da aprendizagem escolar que é transpor os muros do perceptível, do visual. Em outras palavras, para ele, a prática de sala de aula não deve ficar presa aos limites do cotidiano.
Em resposta a pesquisa de Kaminski et al (2008), Mourrat (2008) e Stephen, (2008), ressaltaram que os procedimentos adotados em tal estudo tendiam ao favorecimento das conclusões delineadas. Na visão destes, o estudo não garante que o modelo essencialmente abstrato de lidar com a Matemática nas práticas de ensino seja o mais adequado para uma melhor aprendizagem.
O que se percebe é uma simplificação ou uma visão superficial no entendimento sobre o abstrato e o concreto, com aproximações das concepções do senso comum. Ou seja, o concreto é concebido apenas como algo que está ao alcance do sujeito, que é palpável, que pode ser manipulado, enquanto o abstrato é aquilo que não se pode tocar, que está apenas no pensamento.
Maia (2001), em uma pesquisa com mais de uma centena de professores de Matemática, investigou que elementos do senso comum justificam o uso de duas categorizações para essa área de conhecimento, sendo uma abstrata e outra concreta. Ela direcionou seu estudo a partir da seguinte questão: “podemos falar em matemática concreta, quando, na sua essência, a ciência matemática é um construto mental, no sentido dado por Piaget à ação do homem sobre o mundo?” (MAIA, 2001, p.2).
No levantamento feito por Maia (2001), os professores indicaram, a partir de um conjunto de palavras, as que consideravam mais importantes, associadas à Matemática dita concreta, assim como às associadas à Matemática dita abstrata (Quadro1).
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Quadro 1: Lista de palavras mais importantes associadas pelos professores à matemática concreta e à matemática abstrata
Matemática concreta Matemática abstrata
Palavra Quantitativo de professores Palavra Quantitativo de professores Cotidiano 10 Raciocínio 22 Problema 10 Lógica 11 Cálculo 8 Álgebra 9 Lógica 8 Análise 7 Prática 8 Pesquisa 7 Raciocínio 8 Imaginação 6 Jogos 7 Abstração 5 Fração 5 Cálculo 5
Material didático 5 Dificuldade 5 Material concreto 4 Teorema 5
Fonte: MAIA (2001, p.12)
Nota-se que as palavras mais indicadas pelos professores, tanto para a categoria de Matemática concreta quanto para a de Matemática abstrata, estão em consonância com o entendimento geral, do senso comum, qual seja, o concreto está associado ao cotidiano e manipulável, enquanto o abstrato está ligado a elementos como o raciocínio e a lógica. Para Maia (2001), parece haver uma concepção associando a Matemática concreta à facilidade e a Matemática abstrata à complexidade, concebendo-se
[...] a lógica e a álgebra como elementos privilegiados da matemática abstrata e as quatro operações e a aritmética como expressões fundamentais da matemática concreta, refletem, de certa maneira, os distanciamentos que marcam os discursos dos especialistas. Matemática, disciplina da razão, do raciocínio lógico ou da simbolização e matemática, instrumento de profissionalização, do contar, do juntar ou do separar (MAIA, 2001, p.96).
No âmbito de qualquer concepção sobre Matemática, entendemos que a análise dos conceitos de concreto e de abstrato precisa ser dividida em dois aspectos: um relativo ao conhecimento matemático, no qual pretendemos
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compreender como esses conceitos são considerados frente às correntes teóricas da Matemática; outro, referente ao uso de tais termos nas práticas de ensino, buscando entender de que modo tais concepções são inseridas nos contextos educacionais.
Em termos epistemológicos, as ideias sobre a construção do conhecimento matemático que têm dominado o cenário educacional estão diretamente ligadas a duas correntes: o Empirismo e o Idealismo. Ambas defendem que a construção do conhecimento se dá em uma via de mão única. Os empiristas compreendem que o ponto de partida é o concreto e o ponto de chegada é o abstrato. Os idealistas pensam o contrário, ou seja, defendem que se atinge o conhecimento partindo do campo abstrato e chegando ao concreto.
O que vemos no ensino da Matemática são professores positivistas e, por outro extremo, professores essencialmente pragmáticos. Dessa forma, o professor com uma postura positivista, de modo autoritário, vai imprimindo na folha branca que é o aluno (tábula rasa) conceitos que não fazem sentido algum para ele e ali permanecem algum tempo em virtude apenas da capacidade de memorização. Em contraposição, tem-se o professor – e, de modo geral, o aluno e a sociedade – essencialmente pragmático que, de forma simplista, busca e valoriza apenas o que tem utilidade imediata para a solução dos problemas cotidianos. (GRANDO, 1999, p. 05).
Esse modelo, no entendimento de Grando (1999), é um grave equívoco no percurso do ensino de Matemática. Por um lado, o conhecimento é exposto no seu estado mais abstrato possível, no sentido de não apresentar qualquer ligação com o concreto, o cotidiano. Por outro, pautam-se as ações explorando-se apenas as relações possíveis e visíveis do conhecimento com o cotidiano. No entanto, segundo a autora, a Matemática não pode ser ensinada de maneira utilitarista pragmática - ela deve conferir ao detentor habilidades e competências mentais e motoras necessárias para o mais efetivo exercício da profissão e da vivência cotidiana.
Nesse contexto, as noções de concreto e abstrato que estão sendo consideradas se aproximam muito das noções contidas no senso comum. Ou seja, concreto é algo real, objeto físico, palpável, de fácil entendimento, enquanto abstrato é o que existe no pensamento ou na teoria e não na matéria ou na prática, demandando complexidade.
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Para Machado (2011, p.54), é muito difundida a concepção segundo a qual o processo de conhecimento, de uma maneira geral, desenvolve-se numa ascensão do concreto ao abstrato, da realidade aos modelos teóricos. Ele considera que tal concepção frequentemente reduz a função do pensamento teórico à de uma via de mão única, através da qual são criadas abstrações generalizadoras, que se tornam cada vez mais abrangentes e, naturalmente, mais distantes do real. Em consequência, a partir de um ponto de não retorno cuja localização é muito difícil de precisar, tal concepção conduz à consideração das abstrações como um objeto em si mesmo, mitigando ou elidindo seu verdadeiro papel.
Temos a impressão que por muito tempo imperou o entendimento de que o processo de aquisição do conhecimento matemático ocorre em um sentido único, sempre do concreto para o abstrato. Nessa direção, entendemos que haveria uma interpretação equivocada da teoria construtivista piagetiana.
Piaget defendia que os processos de construção do conhecimento pela criança deveriam ocorrer através de uma aprendizagem ativa, elemento central de sua teoria. No entanto, essa ideia foi mal interpretada por alguns professores, que a consideraram como sendo unicamente uma ação constituída pela manipulação direta de objetos, através da experiência sensório-motora, baseada no uso dos cinco sentidos.
Para Freitas (2001), após o fracasso do Movimento da Matemática Moderna, fortaleceu-se, no ensino de Matemática, a crença de que, partindo da manipulação de objetos concretos, a criança naturalmente desenvolveria o raciocínio abstrato. Como marca dessa interpretação surgiram no ensino de Matemática, expressões como “primeiro trabalha-se o conceito no concreto para depois trabalhá-lo no abstrato”, ou seja, concreto e abstrato se caracterizando como dois elementos dissociados.
O concreto seria identificado com aquilo que é manipulável e o abstrato com as representações formais, definições e sistematizações teóricas. Essas interpretações reducionistas constituem, em nossa visão, equívocos relativos aos conceitos centrais destacados em nosso estudo e dos quais tratamos em seguida.
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