De acordo com [4], o regime de juros compostos ´e o mais comum no dia a dia no sistema financeiro e no c´alculo econˆomico. Neste regime os juros gerados a cada per´ıodo s˜ao in- corporados ao capital para o c´alculo dos juros do per´ıodo seguinte. Ou seja, o rendimento gerado pela aplica¸c˜ao ser´a incorporado a ela, passando a participar da gera¸c˜ao do rendi- mento no per´ıodo seguinte, dizemos ent˜ao, que os juros s˜ao capitalizados.
A seguir utilizaremos o racioc´ınio recursivo para mostrarmos a f´ormula de c´alculo dos juros compostos.
Seja C o capital, M o montante, J o juro e i a taxa, Assim M1 = C + J = C + C.i = C(1 + i) M2 = M1 + J = M1+ M1i= M1(1 + i) M3 = M2 + J = M2+ M2i= M2(1 + i) Logo M1 = C(1 + i) M2 = M1(1 + i) M3 = M2(1 + i) ... Mn = Mn−1(1 + i)
Mn= C(1 + i)n
Exemplo 3.5.1.
A juros compostos de 20% ao mˆes, qual o montante de R$ 3 500,00 em 8 meses?
M8 = 3500(1 + 0, 2)8
Cap´ıtulo 4
Problemas Utilizando o Racioc´ınio
Recursivo
O Racioc´ınio Recursivo e as Recorrˆencias s˜ao grandes facilitadores na resolu¸c˜ao de pro- blemas no Ensino M´edio. Neste cap´ıtulo ser˜ao listados alguns problemas relativamente “complicados”, que quando resolvidos utilizando o racioc´ınio recursivo e as recorrˆencias ficam bem mais simples.
4.1
Problemas Resolvidos
Problema 4.1
Este primeiro problema, retirado de [5], pode ser resolvido tranquilamente por alunos a partir 7o
ano do Ensino Fundamental, pois envolve apenas resolu¸c˜ao de equa¸c˜ao do 1o
grau.
Enunciado
Um problema cl´assico que j´a foi recontado em outras vers˜oes ´e o da pessoa que sai `as compras e gasta na primeira loja que entra, metade do que tem no bolso e mais um real. Na segunda loja gasta metade do que sobrou e mais um real. Na loja seguinte ocorre o mesmo. Entretanto, ao sair da d´ecima e ´ultima loja, a pessoa percebe que n˜ao tem dinheiro algum. Quantos reais ela possu´ıa ao sair de casa?
Resolu¸c˜ao
Para resolver este problema iremos utilizar o racioc´ınio recursivo sabendo que a10 = 0
an+1 = an− an 2 − 1 an+1 = an 2 − 1 Basta resolver a recorrˆencia an+1 =
an
Utilizaremos a substitui¸c˜ao an = xn+ k, para tornar a recorrˆencia homogˆenea. xn+1+ k = xn 2 + k 2 − 1 xn+1= xn 2 − k 2 − 1 Tomando k = −2 , a recorrˆencia xn+1 = xn 2 − k
2−1 torna-se homogˆenea ficando xn+1= xn 2 Resolvendo xn+1= xn 2 temos: x2 = x1 2 x3 = x2 2 x4 = x3 2 ... xn= xn−1 2 Multiplicando as igualdades teremos:
xn = x1
1 2
n−1
Substituindo xn na igualdade an= xn− 2 temos que an= x1 1 2
n−1 − 2. Como a10= 0 temos que 0 = x1.
1 2 9 − 2 ; logo x1 = 1024 consequentemente an= 210.21−n− 2 an= 211−n− 2 Assim a1 = 210− 2 = 1022
Logo a pessoa possu´ıa 1022 reais quando saiu de casa. Observa¸c˜ao: Ap´os encontrar an = x1 12
n−1
− 2, podemos resolver este problema para qualquer quantidade de lojas visitadas pela pessoa, bastando apenas calcular o x1, que
ir´a depender apenas em qual loja o dinheiro acabar´a.
Problema 4.2
Este problema, que encontra-se em [5], pode ser resolvido por alunos a partir do 8o
do Ensino Fundamental, desde que estes j´a tenham aprendido os conceitos b´asicos da geometria plana (retas e planos) e tenham uma ideia de sequˆencias.
Enunciado
Qual o n´umero m´aximo de regi˜oes em que 10 retas podem dividir um plano? Resolu¸c˜ao
Observe se formos fazer o desenho a chance de atrapalharmos e, consequentemente, con- tarmos o n´umero de divis˜oes erradas ´e muito grande. Vamos partir ent˜ao para o racioc´ınio recursivo.
Com 1 reta ´e f´acil s˜ao 2 partes Com 2 retas s˜ao 4 partes
Com 3 retas o m´aximo s˜ao 7 partes Com 4 retas o m´aximo s˜ao 11 partes
Partiremos agora para o racioc´ınio recursivo a1 = 2 a2 = 4 a3 = 7 a4 = 11 ... an = an−1+ n
Resolvendo a recorrˆencia an = an−1+ n , temos:
a2 = a1+ 2 a3 = a2+ 3 a4 = a3+ 4 ... an = an−1+ n Somando as igualdades an = a1+ 2 + 3 + 4 + . . . + n
Como a1 = 2 temos an= 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n, assim
an= 1 + (n + 1)n n an = n2 + n + 2 2 Logo a10= 102 + 10 + 2 2 = 56 partes
Consequentemente o n´umero m´aximo de regi˜oes que 10 retas podem dividir o plano s˜ao 56.
Observa¸c˜ao: Conhecendo a f´ormula an =
n2
+ n + 2
2 podemos resolver este problema para qualquer quantidade de retas.
Problema 4.3
Este problema ´e uma adapta¸c˜ao feita numa quest˜ao da OBMEP [9] n´ıvel 2 (8o
e 9o
anos do Ensino Fundamental) aplicada no ano de 2014. ´E um problema que aborda formas geom´etricas e sequˆencias num´ericas.
Enunciado
Come¸cando com um quadrado de 1cm de lado, formamos uma sequˆencia de figuras, ob- serve a Figura 4.1. Cada figura, a partir da segunda, ´e formada unindo-se trˆes c´opias da anterior. Os contornos destacados em vermelho das quatro primeiras figuras medem, respectivamente, 4cm, 8cm, 20cm e 56cm. Quanto mede o contorno da figura n?
Figura 4.1: Fonte: [9] Resolu¸c˜ao a1 = 4 a2 = 8 a3 = 20 a4 = 56 ... an+1= 3an− 4
Basta agora resolver a recorrˆencia an+1 = 3an− 4
Usaremos a substitui¸c˜ao an= xn+ k , para tornar a recorrˆencia homogˆenea.
Assim teremos:
xn+1+ k = 3xn+ 3k − 4
xn+1= 3xn+ 2k − 4
Tomaremos k = 2 para que a recorrˆencia se torne a homogˆenea xn+1= 3xn.
Resolvendo esta homogˆenea
x3 = 3x2
x4 = 3x3
... xn= 3xn−1
Multiplicando as igualdades teremos:
xn = 3n−1x1
Substituindo xn em an= xn+ 2, teremos an = 3n−1x1+ 2, como a1 = 4 teremos:
4 = 30
x1+ 2, logo x1 = 2.
Concluindo
an= 2.3n−1+ 2
Problema 4.4
Novamente retiramos um problema de uma avalia¸c˜ao de da OBMEP [9] n´ıvel 2(8o
e 9o
anos do Ensino Fundamental), desta vez o ano foi o de 2012. Este aborda sequˆencias num´ericas e equa¸c˜ao do 2o
grau. Enunciado
Renata montou uma sequˆencia de triˆangulos com palitos de f´osforo, seguindo o padr˜ao indicado na Figura 4.2. Um desses triˆangulos foi constru´ıdo com 135 palitos de f´osforo. Quantos palitos formam o lado desse triˆangulo?
Figura 4.2: Fonte: [9] Resolu¸c˜ao
Utilizaremos o racioc´ınio recursivo para esta solu¸c˜ao. Observe que: a1 = 3 a2 = a1+ 3.2 a3 = a2+ 3.3 a4 = a3+ 3.4 ... an= an−1+ 3n
Somando os termos teremos que an= 3 + 2.3 + 3.3 + 4.3 + . . . + n.3 an= 3.(1 + 2 + 3 + . . . + n) ou seja an= 3[n(n + 1)] 2 an= 3n 2 + 3n 2
Agora basta substituir o an por 135, resolver a equa¸c˜ao quadr´atica e concluir que n = 9.
Observa¸c˜ao: Vale ressaltar que com a f´ormula an=
3n2
+ 3n
2 podemos calcular todas as possibilidades, n˜ao apenas a solicitada no problema.
Problema 4.5
O problema a seguir trata-se um antigo problema envolvendo sequˆencias, retirado de [7], que pode ser aplicado a partir de 9o
ano do Ensino Fundamental. Enunciado
A Torre de Han´oi1 ´
E um “quebra-cabe¸ca”que consiste em uma base contendo trˆes pinos, em um dos quais s˜ao dispostos alguns discos uns sobre os outros, em ordem crescente de diˆametro, de cima para baixo, Figura 4.3. O problema consiste em passar todos os discos de um pino para outro qualquer, usando um dos pinos como auxiliar, de maneira que um disco maior nunca fique em cima de outro menor em nenhuma situa¸c˜ao. O n´umero de discos pode variar sendo que o mais simples cont´em apenas trˆes. Escreva uma fun¸c˜ao recursiva para determinar o menor n´umero de movimentos para resolver o “quebra-cabe¸ca” da Torre de Han´oi.
Resolu¸c˜ao
Figura 4.3:
Fonte: https://waldexifba.files.wordpress.com/2011/06/300px-tower of hanoi.jpeg Se por acaso a torre tivesse apenas 1 disco ´e obvio que apenas um movimento seria suficiente ent˜ao temos a1 = 1 movimento.
Figura 4.4:
Fonte: http://jogadamais.blogspot.com.br/2013/11/torre-de-hanoi 19.html Ent˜ao a2 = 3 movimentos
Com 3 discos teremos que fazer 7 movimentos como mostrado na Figura 4.5. Ent˜ao a3 = 7
Figura 4.5:
Fonte: http://jogadamais.blogspot.com.br/2013/11/torre-de-hanoi 19.html
Observe que nos 3 primeiros e nos ´ultimos movimentos (para 3 discos) repetimos os movimentos feitos para 2 discos portanto:
a3 = 2a2 + 1. Com a2 o mesmo acontece, pois a2 = 2a1 + 1. Usando este racioc´ınio
teremos:
1
a2 = 2a1+ 1
a3 = 2a2+ 1
a4 = 2a3+ 1
...
an+1= 2an+ 1
Iremos agora resolver a recorrˆencia an+1= 2an+ 1.
Usando a substitui¸c˜ao an = yn+ k teremos
yn+1+ k = 2yn+ 2k + 1
yn+1 = 2yn + k + 1. Tomaremos k = −1 para que a recorrˆencia se torne homogˆenea
yn+1 = 2yn.
Vamos agora resolver esta homogˆenea.
y2 = 2y1
y3 = 2y2
y4 = 2y3
... yn= 2yn−1
Multiplicando as igualdades teremos:
yn = 2n−1y1
Substituindo yn= 2n−1y1 em an = yn− 1 ficamos com:
an= yn = 2n−1y1− 1, como a1 = 1 , teremos y1 = 2 consequentemente
an = 2n− 1
Curiosidade sobre a Torre de Han´oi:
Segundo publica¸c˜ao de [16], a torre de Han´oi, tamb´em conhecida por torre de brama- nismo ou quebracabe¸cas do fim do mundo, foi inventada e vendida como brinquedo, no ano de 1883, pelo matem´atico francˆes Edouard Lucas2
. O matem´atico foi inspirado por uma lenda Hindu, a qual falava de um templo em Benares, cidade santa da ´India, onde existia uma torre sagrada do bramanismo, cuja fun¸c˜ao era melhorar a disciplina mental dos jovens monges.
De acordo com a lenda, no grande templo de Benares, debaixo da c´upula que marca o centro do mundo, havia uma placa de bronze sobre a qual estavam fixadas trˆes hastes de diamante. Em uma dessas hastes, o Deus Brama, no momento da cria¸c˜ao do mundo, colocou 64 discos de ouro puro, de forma que o disco maior ficasse sobre a placa de bronze e os outros decrescendo at´e chegar ao topo.
Os monges deveriam trabalhar com eficiˆencia noite e dia e, quando terminassem o traba- lho, o templo seria transformado em p´o e o mundo acabaria.
2
Um dos maiores matem´aticos da hist´oria, nasceu em 04 de abril de 1842 em Amiens, Fran¸ca, e morreu em 03 de outubro de 1891, em Paris.
Foi educado na ´Ecole Normale Sup´erieure. Trabalhou no Observat´orio de Paris e posteriormente foi professor de Matem´atica em escolas e universidades francesas.
Lucas ´e conhecido pelos seus estudos na famosa f´ormula matem´atica de Fibonacci, conhecida como Sequˆencia de Fibonacci.
Problema 4.6
Esta ´e uma quest˜ao do Profmat [8] (disciplina Matem´atica Discreta, MA 12, ano de 2012), mas pode ser aplicada no Ensino M´edio a partir do 1o
ano, bastando apenas que os alunos saibam sequˆencias, em particular progress˜ao aritim´etica.
Enunciado
Considere a sequˆencia an com n ≥ 1 definida como indicado abaixo:
a1 = 1
a2 = 2 + 3
a3 = 4 + 5 + 6
a4 = 7 + 8 + 9 + 10
...
(a) O termo a10 ´e a soma de 10 inteiros consecutivos. Qual ´e o menor e o qual ´e o maior
desses inteiros? (b) Calcule a10.
(c) Forne¸ca uma express˜ao geral para o termo an.
Resolu¸c˜ao
Chamaremos xna recorrˆencia formada pelos primeiros termos e yn a recorrˆencia formada
pelos ´ultimos termos. Come¸cando com xn, x1 = 1 x2 = 2 x3 = 4 x4 = 7 ... xn= xn−1+ n − 1 Resolvendo a recorrˆencia xn= xn−1+ n − 1 x2 = x1+ 1 x3 = x2+ 2 ... xn= xn−1+ n − 1 Somando as igualdades xn= x1+ 1 + 2 + 3 + . . . + n − 1 Logo
xn= 1 + (1 + n − 1)(n − 1) 2 xn= n2 − n + 2 2 Calculando agora para yn (´ultimos termos)
y1 = 1 y2 = 3 y3 = 6 y4 = 10 ... yn = yn−1+ n Resolvendo a recorrˆencia yn= yn−1+ n y2 = y1+ 2 y3 = y2+ 3 y4 = y3+ 4 ... yn = yn−1+ n
Somando as igualdades teremos:
yn= y1+ 2 + 3 + . . . + n Como y1 = 1 yn= 1 + 2 + 3 + . . . + n Logo yn= (1 + n)n 2 yn = n2 + n 2
Como xn ´e o primeiro termo, yn ´e o ´ultimo termo e eles formam uma P A de raz˜ao 1. O
valor de an= (xn+ yn).n 2 Substituindo xn e yn encontramos: an= n2 − n + 2 2 + n2 + n 2 .n 2 Simplificando an= n3 + n 2
Com xn, yn e an resolvemos tranquilamente as proposi¸c˜oes a, b e c.
(a) O termo a10 ´e a soma de 10 inteiros consecutivos. Qual ´e o menor e o qual ´e o maior
desses inteiros? x10= 102 − 10 + 2 2 = 46 e y10 = 102 + 10 2 = 55 (b) Calcule a10. a10 = 103 + 10 2 = 505
(c) Forne¸ca uma express˜ao geral para o termo an.
an= n
3
+ n 2
Problema 4.7
O problema a seguir que se encontra em [3], requer um aprofundamento no uso das sequˆencias podendo ser aplicados para os alunos do 2o
e 3o
anos do Ensino M´edio Enunciado
Uma planta ´e tal que cada uma de suas sementes produz, um ano ap´os ter sido plantada, 21 novas sementes e, a partir da´ı, 44 novas sementes a cada ano. Se plantarmos hoje uma semente e se, toda vez que uma semente for produzida ela for imediatamente plantada, quantas sementes ser˜ao produzidas daqui a n anos?
Resolu¸c˜ao
No ano n+2 s˜ao geradas 21 sementes para cada semente gerada no ano n+1 e 44 sementes para cada semente gerada nos anos anteriores. Logo, se xn denota o n´umero de sementes
geradas no ano n, temos:
xn+2 = 21xn+1+ 44(xn+ xn−1+ . . . + x1+ x0) (4.1)
Analogamente:
xn+1 = 21xn+ 44(xn−1+ xn−2+ . . . + x1+ x0) (4.2)
Fazendo (4.1) − (4.2), ficamos com:
xn+2 = 22xn+1+ 23xn;
ou seja,
xn+2− 22xn+1− 23xn = 0
A equa¸c˜ao caracter´ıstica r2
− 22r − 23 = 0 tem ra´ızes r1 = 23 e r2 = −1, assim a solu¸c˜ao
geral fica:
Observamos que:
a1 = 21
a2 = 44.1 + 21.21 = 485
Assim ficamos com o sistema: 23C1− C2 = 21 529C1+ C2 = 485 Resolvendo, encontramos C1 = 11 12 e C2 = 1
12. Assim a solu¸c˜ao da recorrˆencia ´e:
xn = 11 1223 n+ 1 12(−1) n
Problema 4.8
Este problema envolvendo sequˆencias e an´alise combinat´oria, foi extra´ıdo de [5], pode ser aplicado aos alunos do 2o
e 3o
anos do Ensino M´edio. Enunciado
Ao subir a escada de seu pr´edio, Jos´e `as vezes sobe dois degraus de uma vez e `as vezes sobe um de cada vez. Sabendo que a escada tem 8 degraus, de quantas maneiras diferentes Jos´e pode subir a escada? Generalize para o caso de uma escada com n degraus?
Resolu¸c˜ao
Chamaremos o total de possibilidades de ane iremos subdividir este em duas possibilida-
des. 1a
Possibilidade: Iniciando subindo 1 degrau. 2a
Possibilidade: Iniciando subindo 2 degraus.
Come¸caremos calculando as condi¸c˜oes iniciais. Vamos considerar a0 = 1 (supondo que se
n˜ao tiver nenhum degrau, Olavo ter´a a possibilidade de n˜ao se deslocar, pois este ja estar no topo da escada) e a1 = 1 (se tiver apenas 1 degrau ele s´o ter´a uma possibilidade de
subir este degrau). 1a
Possibilidade: Iniciando com 1 degrau.
Se ele come¸car subindo 1 degrau restar´a an−1 possibilidades para subir.
2a
Possibilidade: Iniciando subindo 2 degraus.
Se ele come¸car subindo 2 degraus restar´a an−2 possibilidades para subir.
Logo o total de possibilidades an ser´a:
an= an−1+ an−2
Esta ´e a recorrˆencia que define a Sequˆencia de Fibonacci. Sabendo disso, ´e muito simples calcular o 8o
a2 = a1+ a0 = 1 + 1 = 2 a3 = a2+ a1 = 2 + 1 = 3 a4 = a3+ a2 = 3 + 2 = 5 a5 = a4+ a3 = 5 + 3 = 8 a6 = a5+ a4 = 8 + 5 = 13 a7 = a6+ a5 = 13 + 8 = 21 a8 = a7+ a6 = 21 + 13 = 34
Para calcular as possibilidades para n degraus ´e s´o resolver a Sequˆencia de Fibonacci, resolu¸c˜ao que j´a foi feita anteriormente.
Logo: an = 1 √ 5 1 +√5 2 !n+1 − √1 5 1 −√5 2 !n+1
Problema 4.9
Este problema, que se encontra em [3], necessita que os alunos dominem an´alise combi- nat´oria, portanto pode ser aplicado aos alunos do 2o
e 3o
anos do Ensino M´edio. Enunciado
Quantas s˜ao as sequˆencias de n termos, todos pertencentes a {0, 1, 2}, que possuem n´umero ´ımpar de termos iguais a 0?
Resolu¸c˜ao
Inicialmente vamos calcular o total de sequˆencias. Esse c´alculo ´e bastante simples bas- tando observar que tratam-se de apenas 3 termos, assim o total de sequˆencias ´e 3n.
Vamos chamar de an as sequˆencias com n´umero ´ımpar de termos iguais a 0.
Logo teremos 3n – a
n as sequˆencias com n´umero par de termos iguais a 0.
Chamando an+1 o total de possibilidades que possuem n´umero ´ımpar de termos iguais a
zero.
Observemos que para o an, teremos duas possibilidades de continuarmos com n´umero
´ımpar de zeros, basta acrescentar o 1 ou o 2. Agora nos 3n- a
n termos, teremos apenas uma ´unica possibilidade de transform´a-la numa
sequˆencia com n´umero ´ımpar de zeros que ´e acrescentando um zero. Assim o an+1 ser´a a soma de 2an com 3n− an.
Logo an+1 = 2an+ 3n - an, ou seja,
an+1 = an+ 3n
Resolvendo a recorrˆencia an+1 = an+ 3n, onde a1 = 1,
a2 = a1+ 31
a4 = a3+ 33
...
an= an−1+ 3n−1
Somando as igualdades
an = a1+ 31+ 32+ 33+ 34+ . . . + 3n−1
como a1 = 1, ou seja a1 = 30, ent˜ao
an= 30+ 31+ 32+ 33+ 34+ . . . + 3n−1
Logo percebemos que an ´e a soma dos termos de uma PG.
Assim
an=
3n− 1
2
Problema 4.10
O problema a seguir foi retirado de uma videoaula do saudoso Professor Morgado [19]. Este aborda o princ´ıpio fundamental da contagem e pode ser aplicado aos alunos do 2o
e 3o
anos do Ensino M´edio. Enunciado
Havia uma bancada com 10 lˆampadas. Cada uma delas poderia est´a ligada ou desligada. De quantas maneiras podem est´a as lˆampadas, sendo que n˜ao pode haver lˆampadas ad- jacentes simultaneamente ligadas?
Resolu¸c˜ao
Este ´e um cl´assico problema que o uso do racioc´ınio recursivo torna um problema dito “complicado” em um problema simples. Para isto iremos generalizar para uma bancada com n lˆampadas, depois passaremos para as 10 lˆampadas.
Iremos dividir em duas situa¸c˜oes: 1a
Situa¸c˜ao: A primeira lˆampada ligada 2a
Situa¸c˜ao: A primeira lˆampada desligada O total an ser´a a soma das situa¸c˜oes acima.
Na situa¸c˜ao 1, como a primeira est´a ligada a segunda n˜ao pode est´a ligada, logo es- tar´a desligada, consequentemente sobrar˜ao an−2 solu¸c˜oes.
Na situa¸c˜ao 2 como a primeira est´a desligada a segunda pode est´a ligada ou desligada, logo teremos an−1 solu¸c˜oes.
Assim teremos:
Com esta ideia podemos calcular qualquer n´umero de lˆampadas sobre a bancada. a1 = 2 (ligada ou desligada)
a2 = 3 (ligada e desligada ; desligada e desligada, desligada e desligada)
Agora basta usar a equa¸c˜ao an = an−1+ an−2 e calcular o d´ecimo termo.
a3 = a2+ a1 2 + 3 = 5 a4 = a3+ a2 5 + 3 = 8 a5 = a4+ a3 8 + 5 = 13 a6 = a5+ a4 13 + 8 = 21 a7 = a6+ a5 21 + 13 = 34 a8 = a7+ a6 34 + 21 = 55 a9 = a8+ a7 55 + 34 = 89 a10= a9+ a8 89 + 55 = 144
Logo existem 144 possibilidades.
Observa¸c˜ao: A generaliza¸c˜ao deste problema ´e extremamente simples visto que esta re- corrˆencia an= an−1+ an−2 ´e a Sequˆencia de Fibonacci.
Problema 4.11
O problema a seguir envolve juros compostos,este foi retirado de uma avalia¸c˜ao de Ma- tem´atica Discreta (Profmat)[8] ano 2013, podendo ser aplicado aos alunos do 2o
e 3o
anos.
Enunciado
Paulo economizou durante muitos anos e tem, hoje, R$500.000, 00 aplicados em um in- vestimento que rende juros de 1% ao mˆes. A partir do pr´oximo mˆes, ele pretende fazer uma retirada mensal de R$1.000, 00.
a) Seja sno saldo que resta da aplica¸c˜ao, ap´os fazer a n-´esima retirada. Exprima sn+1em
termos de sn. Dˆe tamb´em a condi¸c˜ao inicial da recorrˆencia obtida.
b) Obtenha uma express˜ao para sn em fun¸c˜ao de n.
Resolu¸c˜ao
Temos que Sn+1 = 1, 01Sn− 1.000; com S1 = 500.000, 00
Vamos resolver a recorrˆencia Sn+1 = 1, 01Sn− 1.000
Iremos utilizar o caso especial para resolu¸c˜ao de recorrˆencias lineares de 1a
ordem. Fare- mos a substitui¸c˜ao Sn= yn+ k.
Substituindo Sn= yn+ k em Sn+1 = 1, 01Sn− 1.000 teremos
yn+1+ k = 1, 01yn+ 1, 01k − 1.000, logo
yn+1 = 1, 01yn+ 0, 01k − 1.000.
k= 100.000.
Resolvendo a homogˆenea yn+1= 1, 01yn iremos obter yn= 1, 01n−1y1.
Substituindo yn = 1, 01n−1y1 em Sn = yn+ 100.000 obtemos Sn = 1, 01n−1y1+ 100.000, como S1 = 500.000 teremos: 500.000 = 1, 011−1 y1+ 100000 Logo, y1 = 400.000 Assim: Sn = 1, 01n−1400000 + 100000
Problema 4.12
A seguir veremos um problema de juros compostos e fun¸c˜ao exponencial. Abordaremos, agora, um problema exposto em [7], de f´acil aplicabilidade aos alunos do 2o
e 3o
ano do Ensino M´edio.
Enunciado
Admita que h´a atualmente 1000 baleias numa certa zona e que se estima que em cada ano o aumento natural (decorrente de nascimentos e mortes naturais, n˜ao causadas pelo Homem) da popula¸c˜ao das baleias (nessa zona) ´e de 25%. Admita ainda que o Homem mata cerca de 100 baleias por ano.
Designando por an (n > 0) o n´umero de baleias que se prevˆe existirem (de acordo com as
hip´oteses assumidas) daqui a n anos (sendo a1 o n´umero de baleias atualmente existentes):
a) Escreva a condi¸c˜ao inicial e a equa¸c˜ao de recorrˆencia para an.
b) Encontre uma express˜ao expl´ıcita para o valor de an como fun¸c˜ao de n.
Resolu¸c˜ao
A condi¸c˜ao inicial ´e:
an+1= 1, 25an− 100, com a1 = 1000
Agora basta resolver a recorrˆencia an+1 = 1, 25an − 100. Para isso iremos utilizar a
substitui¸c˜ao an = yn+ k, visto que esta recorrˆencia se enquadra no caso especial do 3o
tipo de resolu¸c˜ao de recorrˆencias lineares de 1a
ordem.
Sustituindo an= yn+ k em an+1 = 1, 25an− 100 iremos obter:
yn+1+ k = 1, 25(yn+ k) − 100
yn+1 = 1, 25yn+ 0, 25k − 100
Como o objetivo ´e tornar esta recorrˆencia homogˆena, basta ent˜ao igualar 0, 25k − 100 a zero, obtendo ent˜ao k = 400.
y2 = 1, 25y1
y3 = 1, 25y2
y4 = 1, 25y3
...
yn = 1, 25yn−1
Multiplicando as igualdades teremos:
yn= 1, 25n−1y1
Substituindo agora yn = 1, 25n−1y1 e k=400 em an= yn+ k ficaremos com:
an= 1, 25n−1y1+ 400
Substituindo a1 = 1000, encontramos y1 = 600. Assim a express˜ao expl´ıcita para o valor
de an em fun¸c˜ao de n ´e:
an = 1, 25n−1600 + 400, com n > 0
Problema 4.13
Neste problema, de [7], ser´a aborado sequˆencias e fun¸c˜ao exponencial, podendo ser apli- cado aos alunos do 2o
e 3o
ano do Ensino M´edio. Enunciado
Suponha-se que a popula¸c˜ao de uma dada esp´ecie animal, numa determinada localidade, era de 200 num certo instante, que designaremos pelo instante inicial n = 0, e que no instante de tempo n = 1 (o instante em que foi realizada a contagem seguinte) a popula¸c˜ao, em causa, era formada por 220 animais. Suponha ainda que se verificou que o crescimento da popula¸c˜ao ocorrido entre o instante (de contagem) n − 1 e instante n ´e duas vezes o crescimento ocorrido entre os instantes n − 2 e n − 1 (podemos supor que os sucessivos instantes de contagem est˜ao igualmente espa¸cados ao longo do tempo). Qual o tamanho da popula¸c˜ao em causa, no instante 50?
Resolu¸c˜ao
Designando por pn o n´umero de elementos da popula¸c˜ao em causa no instante n (com
n >0), ´e imediato que pn satisfaz a seguinte rela¸c˜ao de recorrˆencia:
Condi¸c˜oes iniciais:
p0 = 200
p1 = 220
A equa¸c˜ao de recorrˆencia ´e:
pn− pn−1 = 2(pn−1− pn−2)
Simplificamos obtemos:
Trata-se de uma rela¸c˜ao de recorrˆencia linear, de 2a
ordem, com coeficientes constantes e equa¸c˜ao caracter´ıstica x2
− 3x + 2 = 0.
Resolvendo a equa¸c˜ao caracter´ıstica obt´em-se como ra´ızes: x= 2 e x = 1
Assim, quaisquer que sejam as constantes c1 e c2:
pn = c12n+ c21n = c12n+ c2, para n >0 (4.3)
Substituindo p0 = 200 e p1 = 220, ficamos com o sistema:
c1+ c2 = 200
2c1+ c2 = 220
Resolvendo o sistema obtemos c1 = 20 e c2 = 180.
Substituindo os valores de c1 e c2 na equa¸c˜ao (4.3) obtemos:
pn= 20.2n+ 180, para n > 0
Simplificando
pn = 5.2n+2+ 180, para n > 0
Finalizando ´e s´o encontrar o tamanho da popula¸c˜ao no instante 50, ou seja, p50.
p50= 5.252+ 180
Problema 4.14
Vejamos mais um problema retirado de [7], que envolve sequˆencias e fun¸c˜ao exponencial e que pode ser aplicado aos alunos do 2o
e 3o
anos do Ensino M´edio. Enunciado
Num certo local a popula¸c˜ao de uma determinada esp´ecie ´e contada no fim de cada ano, desde h´a 10 anos. Designando por pn+1 o n´umero de elementos da esp´ecie quando da
(n + 1)-´esima contagem, sabe-se que p0 = 200 (isto ´e, h´a 10 anos havia 200 elementos
da esp´ecie em quest˜ao) e p1 = 400, e verificou-se que no fim de cada ano o n´umero de
elementos da esp´ecie em quest˜ao era igual ao qu´adruplo do crescimento que essa popula¸c˜ao teve no ano anterior (ao que acabou de findar). A manter-se esta rela¸c˜ao no futuro, qual a popula¸c˜ao da esp´ecie daqui a 20 anos ?
Resolu¸c˜ao
Condi¸c˜oes iniciais:
p0 = 200 p1 = 400
Equa¸c˜ao de recorrˆencia ´e:
pn+2 = 4(pn+1− pn)
pn+2− 4pn+1+ 4pn= 0
Sua equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e:
t2
− 4t + 4 = 0 Calculando suas ra´ızes encontramos
t1 = 2 e t2 = 2
Logo sua solu¸c˜ao geral ´e
pn = c12n+ c2n2n, com c1, c2 ∈ R.
Substituindo p0 = 200, p1 = 400 na solu¸c˜ao geral ficaremos com o sistema
c1 = 200
2c1+ 2c2 = 400
Onde c1 = 200 e c2 = 0
Assim a solu¸c˜ao geral do problema com as suas constantes ´e pn = 200.2n ou p
n= 25.2n+3
E consequentemente a resposta espec´ıfica para daqui a 20 anos ´e o p20 que ´e
p20 = 25.223
Problema 4.15
Escolhemos como ´ultimo problema uma quest˜ao retirada de [3], envolve o princ´ıpio fun- damental da contagem podendo ser aplicada no 2o
e 3o
anos do Ensino M´edio. Enunciado
Quantas s˜ao as sequˆencias de 5 termos, pertencentes a {0, 1, 2} que n˜ao tˆem dois termos consecutivos iguais a 0? E com 6 termos?
Resolu¸c˜ao
Este problema, em particular, ser´a resolvido de 2 maneiras diferentes:
O objetivo ´e mostrar o quanto ´e mais simples e mais completa a resolu¸c˜ao utilizando as recorrˆencias.
1o Tipo: Princ´ıpio Fundamental da Contagem.
Para utilizar o princ´ıpio fundamental da contagem ser´a necess´ario dividir a resolu¸c˜ao em v´arias etapas.
1a
Etapa: Sem o uso do zero.
2a
Etapa: Usando 1 zero.
¯1 ¯2 ¯2 ¯2 ¯2 Como podemos permutar 5 vezes, teremos 80 possibilidades. 3a
Etapa: Usando 2 zeros. ¯1 ¯2 ¯1 ¯2 ¯2 teremos 8 possibilidades. ¯1 ¯2 ¯2 ¯1 ¯2 teremos 8 possibilidades. ¯1 ¯2 ¯2 ¯2 ¯1 teremos 8 possibilidades. ¯2 ¯1 ¯2 ¯1 ¯2 teremos 8 possibilidades. ¯2 ¯1 ¯2 ¯2 ¯1 teremos 8 possibilidades. ¯2 ¯2 ¯1 ¯2 ¯1 teremos 8 possibilidades. Logo encontramos 48 possibilidades. 4a
Etapa: Usando 3 n´umeros zero. ¯1 ¯2 ¯1 ¯2 ¯1 Teremos ent˜ao 4 possibilidades. Total:
32 + 80 + 48 + 4 = 164 possibilidades.
Para calcular o a6 teremos que refazer este processo, s´o que agora para 6 termos, o que
convenhamos, ser´a muito trabalhoso.
2o Tipo: Utilizando o racioc´ınio recursivo.
Vamos chamar an o total de possibilidades e subdividir este an em partes menores.
1a
Situa¸c˜ao: Come¸cando por 0.
Nesta situa¸c˜ao teremos 2 maneiras de iniciar podendo come¸car por: