Com o objetivo de verificar como está sendo trabalhado o conceito de figuras semelhantes e suas aplicações, procuramos analisar três livros didáticos de 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries do EF, sendo eles: “Tudo é Matemática” de Luiz Roberto Dante, 1ª edição, 2003, Editora Ática; “Matemática e Realidade” de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antonio Machado, 5ª edição, 2005, Atual Editora e “Educação Matemática” de Célia Carolino Pires, Eddna Curi e Ruy Pietropaolo, 1ª edição, 2002, Atual Editora.
2.2.1 Livro Tudo é Matemática – Dante
5ª série:
Encontramos no livro de 5ª série no capítulo de construções geométricas, a ampliação e redução de figuras no papel quadriculado de forma bem sutil, mostrando a ampliação da letra A e a redução da letra M e pedindo em seguida que os alunos ampliassem a redução da letra M (triplicando suas medidas) e reduzissem a ampliação da letra A (usando 2/3 de suas medidas).
6ª série:
No capítulo de construções geométricas e simetria é interessante destacarmos que no momento em que é trabalhada a simetria central (simetria em relação a um ponto), pede-se que o aluno construa o simétrico de três figuras (dois polígonos e uma figura aberta de três lados) em relação a um centro O. Neste caso, não é mencionado, mas temos uma homotetia inversa identidade. Veja uma das figuras com sua resolução:
7ª série:
No capítulo sobre proporcionalidade em geometria é explorado o conceito de proporcionalidade em quadriláteros. O conceito de ampliação e redução de uma figura é retomado, utilizando o papel quadriculado e nesses casos, levando o aluno a perceber que há proporcionalidade entre as medidas dos lados correspondentes e igualdade entre as medidas dos ângulos correspondentes, ou seja, inicia-se a idéia de figuras semelhantes, mas sem mencioná-las.
Neste mesmo capítulo, logo mais a frente, inicia-se o estudo de polígonos semelhantes. Na primeira atividade, dado dois hexágonos regulares, o aluno tem que responder se os seus lados correspondentes são proporcionais e se os ângulos correspondentes são congruentes, justificando sua resposta. Em seguida temos a seguinte definição:
“Quando dois polígonos têm todos os lados correspondentes proporcionais e todos os ângulos correspondentes congruentes, eles são chamados de polígonos semelhantes”.
A partir dessa definição são sugeridas várias atividades com polígonos regulares e não regulares para o aluno verificar se as figuras são semelhantes ou não e sempre pedindo para que as respostas sejam justificadas.
Exemplos de atividades propostas: 1) Verdadeira ou falsa?
Verifique se cada uma das frases abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
a) Todos os quadrados são semelhantes. b) Todos os retângulos são semelhantes.
2) Copie a figura abaixo em uma folha de papel quadriculado e depois desenhe outra, semelhante a ela, cujo lado maior tenha 6 cm.
Em outra atividade mostra-se como construir um polígono semelhante a um outro já dado, utilizando a idéia da homotetia, mas não é citado o seu nome.
3) Dado o pentágono ABCDE e o triângulo ABC, vamos construir um outro pentágono A`B`C`D`E` e um outro triângulo A`B`C`semelhantes a eles. De um ponto O (interior ou exterior ao polígono) traçamos semi-retas OA___ , OB___ , OC___ , OD___ e OE___ , no caso do pentágono, e semi-retas OA___ , OB___ e OC___ , no caso do triângulo de modo que, por exemplo, OA`= 1,5.OA; OB`= 1,5. OB; OC`= 1,5. OC; etc.
Depois dessa explicação, cita-se que os ângulos correspondentes são congruentes, as medidas dos lados correspondentes são proporcionais e a constante de proporcionalidade é 1,5. Em seguida pede-se que o aluno desenhe um quadrilátero em seu caderno e depois construa um quadrilátero semelhante.
Após o estudo de polígonos semelhantes, se faz o estudo de triângulos semelhantes, dizendo:
“Dois triângulos semelhantes têm: os lados correspondentes proporcionais e os ângulos correspondentes congruentes”.
E afirma-se que basta que aconteça uma das condições acima para que eles sejam semelhantes. Nas atividades, ou são dados os lados dos triângulos ou seus ângulos para a verificação da semelhança entre eles.
8ª série:
O estudo sobre semelhança é tratado no capítulo 3 e inicia-se com a comparação de alguns pares de ilustrações quanto à forma e tamanho, em seguida trabalha com o processo de ampliação e redução de figuras quaisquer através do papel quadriculado e explica o que é um pantógrafo sugerindo ao leitor que procure conhecer e ver como funciona um. Nesse momento é feita a seguinte afirmação:
“Quando reproduzimos, ampliamos ou reduzimos uma figura, de acordo com os processos anteriores, dizemos que as figuras obtidas são semelhantes à figura original”.
Em seguida encontramos uma comparação entre figuras congruentes e figuras semelhantes, mostrando o seguinte diagrama:
Congruentes Semelhantes
Duas figuras Não congruentes Não Semelhantes
Observamos que as figuras que aparecem nos exemplos e nas atividades até esse ponto são polígonos quaisquer e apenas o círculo como figura curva.
A noção de figuras semelhantes se torna mais precisa no momento que se analisa a congruência dos ângulos e a proporcionalidade entre as medidas dos lados de um polígono e é concluído que:
“Duas figuras são semelhantes quando os ângulos correspondentes têm a mesma medida e os lados correspondentes têm medidas proporcionais”.
Nas atividades propostas, as figuras que aparecem para verificar se são semelhantes, são as mesmas trabalhadas anteriormente, ou seja, não há uma preocupação em trabalhar com figuras com curvas, a não ser com o círculo.
As transformações isométricas: translação, rotação e reflexão também são discutidas, mas apenas para mostrar que além dessas transformações temos outro tipo de transformação, a homotetia. Segue-se a definição de homotetia:
“Chamaremos de homotetia com centro em O e razão K positiva toda transformação que leva o ponto P (distinto de O) a um único ponto P`da semi-reta
E em seguida as propriedades da homotetia são trabalhadas mostrando-se que em duas figuras homotéticas os ângulos correspondentes são congruentes, os segmentos correspondentes são paralelos e a razão entre suas medidas é sempre a mesma e igual à razão da homotetia.
O interessante é que se faz uma relação da homotetia com a ampliação e redução de figuras, ressaltando que além da utilização do papel quadriculado e do pantógrafo para tal construção, pode-se utilizar a ferramenta homotetia e logo após temos uma abordagem mais ampla sobre o conceito de semelhança:
“Sempre que existir uma homotetia ou um movimento rígido seguido de uma homotetia que leve uma figura F a uma figura F`, diremos que essas figuras, F e F`, são semelhantes”.
Um movimento rígido é um movimento que não deforma a figura original, ou seja, são os movimentos de translação, rotação e reflexão em torno de uma reta.
A semelhança é citada também como uma correspondência biunívoca entre figuras, F e F`, em que a razão entre a distância de dois pontos quaisquer de F` e a distância de seus correspondentes de F é sempre a mesma, ou seja, é constante, definindo-se assim, a razão de semelhança.
A condição para que dois polígonos sejam semelhantes, como vimos, foi mencionada no livro de 7ª série como uma definição e nesse momento é citado o seguinte teorema:
“Se dois polígonos são semelhantes, então: a) Os ângulos correspondentes são congruentes;
b) A razão entre as medidas dos lados correspondentes é constante e igual à razão de semelhança.
A recíproca também é verdadeira: se a e b ocorrem, então os polígonos são semelhantes”. Após esta definição mais exercícios são propostos para aplicação.
A partir do estudo de semelhança de polígonos, se faz o estudo da semelhança de triângulos, como caso particular.
“Dois triângulos são semelhantes quando satisfazem ao mesmo tempo às duas condições: os lados correspondentes têm medidas proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes”.
No estudo de triângulos semelhantes, há exercícios para verificação da semelhança entre dois triângulos como também a aplicação deste fato para encontrar algumas medidas ou ângulos dos triângulos.
A propriedade fundamental da semelhança de triângulos é demonstrada utilizando a idéia da homotetia. Vale ressaltar que o Teorema de Tales é abordado somente após o estudo da semelhança.
“Propriedade Fundamental: Se traçarmos um segmento paralelo a qualquer um dos lados de um triângulo e ficar determinado um outro triângulo, este será semelhante ao primeiro”.
Demonstração: Tomemos um ponto B` qualquer de AB___ e tracemos o segmento
____
` `C
B paralelo ao lado BC___ . O triângulo determinado será AB`C`, que é semelhante ao triângulo ABC.
Considere A como centro de homotetia de razão K (B____`C` paralelo a BC___ ), então:
k AC AC AB AB = = ___ ____ ___ ___ ` `
(i), onde B` é o transformado de B por homotetia e o mesmo ocorre com C`e C.
Consideremos agora B como centro de homotetia de razão K`, desta forma temos: ` ` ___ ____ ___ ____ k BC BD AB BB =
= (ii), onde B` é o homotético de A e D é o homotético de C.
Tomando a expressão (ii) e usando uma das propriedades das proporções, temos:
___ ___ ___ ___ ____ ___ ` BC BD BC AB BB AB − = − e portanto, ___ ____ ___ ___ ` BC DC AB AB = (iii)
Comparando (i) e (iii) temos: ___
___ ___ ____ ___ ___ ` ` BC DC AC AC AB AB = = (iv)
Observando a figura acima, vemos que B`C`CD é um paralelogramo (B____`C` paralelo a BC___ e B____`D paralelo a AC___ ), logo, substituindo este resultado em (iv) temos:
___ ____ ___ ____ ___ ___ ´ ´ ` ` BC C B AC AC AB AB =
= , que satisfaz uma das condições de semelhança de triângulos, ou seja, lados correspondentes proporcionais.
A
Aˆ = ˆ (comum); 1ˆ =2ˆ e 3ˆ = (ângulos correspondentes). Portanto, fica 4ˆ demonstrada a propriedade do teorema fundamental.
Após o teorema fundamental são discutidos os casos de semelhança de triângulos AA, LAL e LLL, em que são apenas exemplificados, ou seja, não são apresentados suas demonstrações e em seguida são propostas várias aplicações.
Exemplos de exercícios propostos no estudo de semelhança:
1) Você já tentou ampliar ou reduzir figuras? Desenhe uma figura qualquer em uma folha de papel sulfite e procure ampliá-la ou reduzi-la.
2) Desenhe em seu caderno vários pares de figuras semelhantes, variando a razão de proporcionalidade.
3) Desenhe em seu caderno duas figuras que tenham a mesma forma. Faça um ou mais movimentos em uma delas de maneira que seja possível determinar um ponto O e uma homotetia de centro O e fator K que leve uma figura à outra.
4) Construa em seu caderno um ∆ABC, sendo m(Aˆ) = 48º, AB = 4 cm e AC = 7 cm. Tome D como ponto médio de AB___ e trace DE___ //AC___ . Mostre que ∆ABC ~
∆DBE e determine a razão de semelhança.
5) Demonstre a afirmação: se ∆ABC é retângulo em A e
___
AH é altura, então ∆ABC, ∆HBA e ∆HAC são semelhantes.
Escolhemos estes exercícios para mostrar que o autor está preocupado em promover a passagem de validações empíricas para validações dedutivas, além de mostrar a importância de o aluno justificar suas respostas. Outro fato importante é a abordagem de atividades que envolvem as transformações isométricas e a homotetia, como é o caso da atividade 3.
2.2.2 Matemática e Realidade – Iezzi, Dolce e Machado
Analisamos a coleção Matemática e Realidade e constatamos que o estudo sobre semelhança só é abordado no livro de 8ª série. Inicia-se no capítulo 10 comparando formas e tamanhos e logo de início afirma que quando olhamos para duas cópias da mesma foto, mesmo com tamanhos diferentes, estamos diante de duas figuras semelhantes, a figura maior é uma ampliação da menor e a figura menor é uma redução da maior.
Em seguida temos os exercícios de aplicação, dos quais se destacam a verificação de figuras semelhantes, a ampliação de figuras usando o método da homotetia e a ampliação de figuras utilizando o papel quadriculado. É importante destacar que o conceito de homotetia não é comentado e explicado em nenhum momento antes do exercício em que é inserido e para a resolução deste são fornecidos apenas os passos de construção para a figura a ser ampliada.
No capítulo 11 é feito o estudo da semelhança de triângulos, estabelecendo o seguinte conceito:
“Dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos correspondentes congruentes e os lados homólogos proporcionais”. E ainda: “Quando dois triângulos são semelhantes, a razão entre dois lados correspondentes é chamada razão de semelhança”. É importante ressaltar que o autor usa o termo “lados homólogos”, pois um pouco antes, quando ele se refere aos lados correspondentes entre dois triângulos, a palavra “homólogos” é colocada entre parênteses, mostrando-se assim, que esses dois termos são equivalentes.
Após esta definição são apresentados os exercícios para aplicação e em seguida é demonstrado o teorema fundamental da semelhança de triângulos utilizando o teorema de Tales e novos exercícios de aplicação.
“Teorema Fundamental: Toda paralela a um lado de um triângulo, que intercepta os outros dois lados em pontos distintos, determina um novo triângulo semelhante ao primeiro”.
Demonstração: Considere o triângulo ABC, com DE___// BC___ .
Como DE___// BC___ , temos Dˆ = Bˆ e Eˆ = , então, os triângulos ADE e ABC têm Cˆ
os ângulos ordenadamente congruentes: Dˆ =Bˆ, Eˆ = e Cˆ Aˆ é comum (i).
Sendo DE___// BC___ e aplicando o teorema de Tales nas transversais AB e AC,
temos: ___ ____ ___ ___ AC AE AB AD = (ii). ___ ___
Sendo EF___ //AB___ e aplicando o teorema de Tales, temos: ___ ____ ___ ___ BC BF AC AE = .
Mas BF =___ DE___ , pois BDEF é um paralelogramo.
Substituindo BF___ por DE___ na última igualdade, vem: ___
____ ___ ___ BC DE AC AE = (iii).
Comparando (ii) e (iii), temos: ___
___ ___ ____ ___ ___ AB AD BC DE AC AE = = (iv).
Voltando aos triângulos ADE e ABC, concluímos que eles têm ângulos congruentes (por (i)) e lados proporcionais (por (iv)). Logo, eles são semelhantes.
O estudo dos casos de semelhança de triângulos (AA, LAL e LLL) inicia-se no capítulo 12 acompanhados de suas demonstrações e vários exercícios são propostos para a aplicação dos mesmos.
Exemplos de exercícios propostos no estudo de semelhança:
1) Os lados de um triângulo medem 7 cm, 5 cm e 4cm. Determine os lados de um triângulo semelhante, sabendo que a razão de semelhança do primeiro para o segundo é 1/3.
2) Mostre que, a razão de semelhança entre dois triângulos é K, então a razão entre seus perímetros também é K.
___ ___
4) Determine x e y.
Analisando as atividades, as únicas empíricas são as que pedem para ampliar uma figura dada usando o papel quadriculado (a redução não é pedida), ou seja, percebemos que não há uma preocupação em promover a passagem de validações empíricas para validações dedutivas. A única atividade que pede para demonstrar um resultado é a atividade 2, as demais enfatizam apenas a aplicação do conceito de semelhança e a justificativa dos resultados não é solicitada. É importante ressaltar também que não são abordadas as figuras curvas, apenas alguns polígonos e círculos e principalmente triângulos.
2.2.3 Educação Matemática – Pires, Curi e Pietropaolo
quadriculada, com o objetivo de mostrar ampliações, reduções e deformações de figuras e também algumas discussões para que duas figuras sejam semelhantes.
A idéia da ampliação e redução de figuras estende-se com o uso da homotetia através de um exemplo, mostrando os procedimentos de construção, mas sem mencioná-la. Em seguida é dada a definição para que dois polígonos sejam semelhantes:
“Dois polígonos são semelhantes quando as medidas dos lados correspondentes forem respectivamente proporcionais, e os ângulos correspondentes tiverem medidas iguais”.
O conceito de homotetia é dado a partir de dois polígonos semelhantes de razão de semelhança 2 e explica-se que além de serem semelhantes, têm os lados correspondentes paralelos e desta forma são chamados de figuras homotéticas, ou seja, correspondem-se por homotetia. Em seguida, afirma-se: “A homotetia é uma transformação geométrica que permite ampliar ou reduzir figuras”, e diz também: “Duas figuras homotéticas são sempre semelhantes”.
Das transformações isométricas a única citação foi no momento de mostrar que se um polígono ampliado por homotetia tivesse sofrido uma rotação, e os lados correspondentes deixassem de ser paralelos, dizemos que estes polígonos não serão mais homotéticos, mas permanecem semelhantes. Ressalta-se também que a congruência é um caso particular de semelhança. O estudo completo das transformações isométricas aparece no capítulo cinco deste mesmo livro, além de ser abordado no livro da 7ª série.
Nas atividades propostas destacam-se, por exemplo, a verificação da semelhança entre figuras, se são homotéticas entre si, situações-problema envolvendo ampliação e redução de figuras, determinação da razão de semelhança entre dois polígonos, dentre outras. Nota-se em algumas atividades o pedido da justificativa dos resultados.
Observamos neste módulo que as atividades propostas envolvem polígonos, círculos e figuras espaciais, não aparecendo nenhuma figura com curvas.
O estudo da semelhança volta no módulo 13 com a história do matemático grego Tales de Mileto em calcular a altura da pirâmide de Quéops sem medi-la, baseando-se
A propriedade fundamental da semelhança de triângulos não é explicitamente citada, mas mostra-se esta idéia em uma atividade, no momento que é traçada uma reta paralela a um dos lados de um triângulo perguntando se os dois triângulos que se formaram são semelhantes e por quê.
Logo após são discutidos os casos de semelhança de triângulos (AA, LAL e LLL), mas sem demonstrá-los seguidos de situações para aplicação. Em algumas destas situações são dados alguns triângulos e pede-se para identificar cada uma das transformações ocorridas de uma figura para outra, trabalhando assim com as transformações isométricas e a transformação homotética.
Exemplos de exercícios propostos no estudo de semelhança:
1) Desenhe no caderno um retângulo que seja semelhante ao da figura abaixo. Em seguida, desenhe dois retângulos que não sejam semelhantes.
2) Escolha uma marca de leite em pó vendida em supermercado. Analise as diversas embalagens em que esse produto é vendido e julgue se elas são ou não semelhantes. Lembre-se de justificar sua resposta.
3) Utilize seus instrumentos de medida e responda no caderno: os hexágonos abaixo são semelhantes? Justifique sua resposta.
4) Desenhe um triângulo qualquer, depois reduza-o à razão 1:0,5, utilizando como centro de homotetia:
a) um ponto situado no interior do triângulo; b) um dos vértices.
5) Os triângulos abaixo são semelhantes? Justifique sua resposta.
6) Considere os triângulos BIA e EMA da figura abaixo. O lado BI é paralelo ao lado EM. Mostre no caderno que esses triângulos são semelhantes.
Neste módulo são os triângulos que recebem um destaque maior, aparecendo poucos polígonos. Verificamos pelos exercícios que os autores têm uma grande preocupação em trabalhar com a ampliação e redução de figuras com o uso da homotetia, como é o caso do exercício 4 e além disso trabalham com situações-
pouca diversidade nas idéias a serem aplicadas e também uma abordagem rápida para os casos de semelhança dos triângulos.
Percebemos também que há uma preocupação em se trabalhar com atividades empíricas, mas a abordagem de atividades envolvendo validações dedutivas poderiam ter um destaque maior.
2.2.4 Confrontando as Idéias entre os Três Livros Didáticos
O estudo da semelhança nos livros Tudo é Matemática e Matemática e Realidade inicia-se com a observação de alguns objetos do cotidiano, enquanto o livro Educação Matemática questiona se as medidas das partes do corpo humano se mantêm proporcionais entre um representante jovem e um adulto, fazendo comparações entre objetos no decorrer do capítulo.
A ampliação ou redução de figuras utilizando a malha quadriculada é trabalhada nas três coleções e o livro do Dante se destaca pelo fato de ter mencionado o pantógrafo como um outro instrumento de ampliação ou redução de figuras, que muitos professores nunca ouviram falar.
Verificamos que tanto o livro Tudo é Matemática como o livro Educação Matemática abordam a homotetia de forma significativa, ou seja, mostrando sua aplicação em algumas situações de ampliação e redução de polígonos, explicitando suas propriedades e afirmando que figuras homotéticas são sempre semelhantes, mas é no livro Tudo é Matemática que encontramos sua definição mais formal. Já o livro Matemática e Realidade apresenta a homotetia muito superficialmente.
Para os PCNs (1998) as transformações que envolvem a ampliação e redução de figuras são um excelente ponto de partida para a construção das noções de semelhança. Porém, eles afirmam também que esse conceito é geralmente abordado apenas para os triângulos, tendo como única referência à definição: “dois triângulos são semelhantes quando e somente quando têm os três ângulos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes proporcionais”. Essa é uma crítica que os PCNs fazem aos livros didáticos e podemos constatar isso no livro Matemática e Realidade que define o conceito de figuras semelhanças apenas nos triângulos.
sobre o conceito de figuras semelhantes, abordando diferentes situações e originando todas as definições necessárias para o estudo em questão. Essas definições contemplam desde o uso do papel quadriculado para ampliação e redução de figuras, da relação entre os lados e ângulos correspondentes de uma figura, do uso da homotetia, as condições para que dois polígonos sejam semelhantes usando a idéia da razão constante entre os seus lados correspondentes, além da congruência dos ângulos correspondentes até chegar à definição da semelhança entre dois triângulos. Diante de tantas definições sobre semelhança, a única crítica a ser feita é que o autor não deixa claro no texto a relação que há entre essas definições, ou seja, a influência que uma exerce sobre a outra. Outro fato importante é que o livro Matemática e Realidade é o único que não faz nenhuma referência às transformações isométricas. A composição dessas transformações com a homotetia é encontrada tanto no livro Tudo é Matemática como no livro Educação Matemática, mas é neste último que há uma preocupação maior em abordar tal conceito nas atividades propostas.
Nesse momento, como estamos nos referindo às transformações isométricas, que