A capacidade de predizer o comportamento futuro de uma série particular de eventos, com conhecimento apenas do seu presente e do seu passado, é uma das formas de verificar se um modelo matemático definitivamente “entendeu” os dados observados. Neste contexto, “entender” significa remover as possíveis redundâncias nos dados e, consequentemente, descobrir regularidades estatísticas ou dinâmicas na série apresentada. Desta forma, comparar a simulação da série obtida com dados observados é provavelmente a forma mais usual de validar um modelo, isto é, saber se um dado modelo é válido ou não para fazer predições.
Para validar um modelo identificado, ou seja, dizer que ele está apto para ser utilizado, é importante testar a sua resposta (saída) para dados de entrada diferentes daqueles vistos durante a identificação. Estes novos dados podem ser obtidos por meio de novas medições, o que nem sempre é viável. Para contornar este obstáculo, o procedimento mais comum consiste em identificar o modelo apenas com uma parte dos dados, guardando a parte restante para ser usada para testar o desempenho do modelo.
2.8.1 Preditor de Um Passo
A predição de séries temporais é um problema de processamento de sinais em que se tem uma sequência de N amostras de uma determinada variável escalar, {x(n), x(n − 1), . . ., x(n − N + 1)}, uniformemente espaçadas no tempo, e cujo objetivo é obter uma estimativa
ˆx(n + 1), para o próximo elemento da série. Este procedimento é conhecido como predição um-passo-adiante (UPA), em que se estima somente o próximo valor da série temporal, sem realimentação do valor predito para a entrada do regressor, conforme ilustrado na Figura 4. Em outras palavras, o regressor de entrada contém somente observações exatas da série temporal.
Se for lembrado que os algoritmos de estimação de parâmetros normalmente mini- mizam a soma do quadrado dos resíduos, torna-se evidente que, graças a tais algoritmos, para um determinado conjunto de regressores, os erros de predição de um-passo-adiante serão sempre
x(n) z-1 z-1 z-1 x(n - p ) x(n - 1) x(n - 2) ...
Preditor
x(n + 1)^Figura 4 – Preditor sem realimentação.
os menores possíveis. Consequentemente, predições UPA não são um bom teste para validar modelos, uma vez que modelos ruins normalmente apresentam predições UPA boas.
Aguirre (2000) sugere outros métodos para validação de modelos com dinâmica caótica como, por exemplo, a análise do maior expoente de Lyapunov, pois, a simples predição UPA não é suficiente. Abarbanel et al. (1993) sugere o uso da predição recursiva como validação para sistemas não-lineares caóticos, pois, embora erros de predições UPA sejam frequentemente elevados, estes modelos podem reproduzir melhor o comportamento de um sistema. Desta forma, nem sempre uma boa predição UPA leva a uma boa reprodução da dinâmica do sistema.
2.8.2 Preditor de Múltiplos Passos
Quando se está interessado num horizonte de predição maior, um outro método para construção de preditores é comumente utilizado. Método este conhecido como predição h-passos-adiante (HPA) ou “predição com realimentação dos valores preditos”, Figura 5. A saída do modelo deve ser realimentada para o regressor de entrada. Neste caso, os componentes do regressor de entrada, previamente compostos apenas de valores exatos da série temporal, são gradativamente trocados por valores preditos. Um esquema ilustrativo para predição HPA, que também pode ser chamada de predição recursiva, é mostrado na Tabela 1.
x(n) z-1 z-1 z-1 x(n - p ) x(n - 1) x(n - 2) ...
Preditor
x(n + 1)^ z-1 ^Se o horizonte de predição tende ao infinito, em algum momento no tempo, a entrada do regressor começa a ser composta somente de valores previamente estimados da série temporal. Neste caso, a tarefa de predição HPA torna-se uma tarefa de modelagem dinâmica, em que o modelo atua como um sistema autônomo (HAYKIN; PRINCIPE, 1998). A predição HPA, ao contrário da predição UPA, é uma boa maneira de testar se o modelo consegue explicar as observações feitas.
Tabela 1 – Predição h-passos-adiante
Instante Regressor Saída
n x(n), x(n − 1),x(n − 2),...,x(n − (dE− 1)) bx(n + 1)
n+ 1 bx(n + 1), x(n), x(n − 1),...,x(n − (dE− 2)) bx(n + 2)
n+ 2 bx(n + 2), bx(n + 1), x(n), . . . , x(n − (dE− 3)) bx(n + 3)
... ... ...
Predição HPA e a modelagem dinâmica são mais complexas de se trabalhar do que a predição UPA e acredita-se que estas são tarefas em que as redes neurais desempenham uma importante função, em particular as arquiteturas neurais recorrentes (PRINCIPE; EULIANO; LEFEBVRE, 2000).
2.8.3 Preditor Direto
A predição direta é um método alternativo para a predição múltiplos-passos-adiante. Este método tem como objetivo aproximar uma função de mapeamento f (·) para cada valor a ser predito. Isto é, construir um modelo fh(·) para os próximos H valores futuros da série temporal
x(n + h) = fh(x(n)), h= 1, . . . , H, (2.22)
onde fh(·) é uma função linear ou não-linear.
Uma característica interessante deste método é o fato de não estar propenso ao acúmulo dos erros de predição, como acontece no preditor recursivo de múltiplos-passos- adiante. Na predição direta a saída do modelo não realimenta o regressor de entrada, assim os componentes do regressor de entrada são compostos apenas de valores exatos da série temporal. A deficiência deste método é que H diferentes modelos devem ser construídos, aumentando assim a complexidade computacional do problema de predição.
Os resultados de Zhang (1994) mostram que a predição direta é melhor que a predição recursiva múltiplos-passos-adiante. Tikka e Hollmén (2008) discutem várias estratégias
de predição, dando preferência para a predição direta. Já Sauer (1994) conclui que a predição recursiva de múltiplos-passos-adiante é melhor que a predição direta.
De toda forma, Taieb, Sorjamaa e Bontempi (2010) observam que os H modelos do método direto são construídos de forma independente, gerando uma independência condicional dos H preditores de bx(n + h). Isso evita que o método considere na construção do modelo as complexas dependências entre as variáveis da série temporal, consequentemente, gerando um possível erro de precisão da predição.
2.8.4 Preditor MIMO
Como uma possível forma de corrigir as deficiências de ambos os métodos mostrados anteriormente para a predição múltiplos-passos-adiante, Bontempi (2008) propõe um método de predição com múltiplas entradas e múltiplas saídas. As diversas saídas são destinadas uma para cada horizonte de predição requerido, como indicado na Figura 6. Desta forma, este método transforma o modelo de predição num modelo MIMO (Multiple-Input and Multiple-Output).
x(n) z-1 z-1 z-1 x(n - p ) x(n - 1) x(n - 2) ...
Preditor
x(n + h)^ x(n + 1)^ x(n + H)^Figura 6 – Preditor MIMO.
O método de predição MIMO consiste em construir um mapeamento f : Rp→ RH
pela seguinte equação
[x(n + H) ··· x(n + h) ··· x(n + 1)] = f [x(n) x(n − 1) ··· x(n − p + 1)], (2.23) onde f (·) é uma função linear ou não-linear, H é o horizonte de predição múltiplos-passos-adiante e p é a ordem do vetor de regressão.
Vale notar que neste caso a predição retorna não somente um escalar, mas sim um vetor de predição. Diferente do método direto, que necessita de um modelo para cada horizonte de predição, o método de predição MIMO permite fazer predições de múltiplos-passos-adiante utilizando apenas um modelo de predição.