S.4 Fungerer de nye doktorgradene?
9.7 Dimensjonering: forskerrekrutter og doktorgradsprogram
I. ARIMA (1,1,1)
• Estimação
A Tabela 16 apresenta os valores dos parâmetros estimados para o modelo ARIMA (1,1,1), onde pode-se observar que o parâmetro auto-regressivo AR(1), não foi significativo (p-valor=0,169), portanto deverá ser excluído do modelo.
TABELA – 16 - Estimativas dos Parâmetros para o Modelo ARIMA (1,1,1)
Tipo Coeficiente p-valor
Constante -1656,1 0,001
AR(1) -0,154 0,169 MA(1) 0,692 0,000
• Diagnóstico
A Figura 16 apresenta os valores das autocorrelações dos resíduos do modelo ARIMA (1,1,1). Nela pode-se observar que os resíduos não são ruído branco, pois apresentam correlações significativas nos lag’s 12 e 31, indicando que há auto-correlação nos resíduos. Esta hipótese poderá ser conferida a partir do teste de Box-Pierce a seguir.
FIGURA – 16 - Função de Autocorrelação dos Resíduos do Modelo ARIMA(1,1,1).
A Tabela 17 mostra os valores da estatística de teste qui-quadrado para a autocorrelação dos resíduos do modelo ARIMA (1,1,1). Observa-se a partir desta tabela, que este modelo não se ajustou bem aos dados. Além deste modelo ter apresentado apenas 1 (um) dos seus 2 (dois) parâmetros não significativos, os resíduos são autocorrelacionados, ou seja, este modelo não é adequado para esta série.
TABELA – 17 - Teste de Ljung-Box para a Autocorrelação dos Resíduos do Modelo a ARIMA (1,1,1) Lag 12 24 36 48 χ2 (Estatística do Teste) 34,3 57,2 75,2 97,1 Graus de Liberdade 9 21 33 45 P-Valor <0,001 <0,001 <0,001 <0,001 II. ARIMA (0,1,1) • Estimação
A Tabela 18 apresenta os valores dos parâmetros estimados para o modelo ARIMA (0,1,1), onde observar-se que o parâmetro de médias móveis MA(1), foi altamente significativo (p-valor=0,000).
TABELA – 18 - Estimativas dos Parâmetros para o Modelo ARIMA (0,1,1)
Tipo Coeficiente p-valor
Constante -1428 0,001
MA(1) 0,749 <0,001
• Diagnóstico
A Figura 17 apresenta os valores das autocorrelações dos resíduos do modelo ARIMA (0,1,1). Nela pode-se observar que os resíduos não são ruído branco, pois apresentam correlações significativas também nos lag’s 12 e 31, indicando que há auto-correlação nos resíduos. Esta hipótese poderá ser conferida a partir do teste de Box-Pierce a seguir.
A Tabela 19 mostra os valores da estatística de teste qui-quadrado para a autocorrelação dos resíduos do modelo ARIMA (0,1,1). Este modelo, também chamado de IMA, integrado de médias móveis, apresenta um parâmetro de média móvel significativo, porém,como pode-se observar a partir da tabela, os resíduos deste modelo também são autocorrelacionados, o que compromete a adequação deste modelo para a série em estudo. Todos os lag’s foram altamente significativos, portanto rejeita-se a hipótese de nulidade de que os resíduos são ruído branco.
TABELA – 19 - Teste de Ljung-Box para a Autocorrelação dos Resíduos do Modelo a ARIMA (0,1,1)
Lag 12 24 36 48 χ2 (Estatística do Teste) 38,9 63,0 81,0 105,9 Graus de Liberdade 10 22 34 46 P-Valor <0,001 <0,001 <0,001 <0,001 III SARIMA (2,1,0)x(0,1,1)36
Antes da aplicação do modelo sazonal, foi necessário fazer uma transformação de Box-Cox na série. Como foi visto anteriormente, todos os modelos de Box e Jenkins testados, não apresentaram característica de ruído branco, ou seja, os resíduos destes modelos são alto-correlacionados. Portanto, para obter uma distribuição dos dados mais simétricas e próxima de uma normal, efetuou-se a transformação de Box-Cox.
Para confirmar que a série precisaria passar por uma transformação, dividiu-se a série em doze grupos e em seguida, calculou-se a média e o desvio padrão de cada grupo. Feito isto, plotou-se um gráfico com essas medidas.
A Figura 18 mostra os valores da média e do desvio padrão dos 12 grupos da série em estudo. Nela pode-se observar que o desvio padrão é proporcional a média, indicando que uma transformação de Box-Cox pode ser muito adequada.
FIGURA – 18 - Gráfico da Média x o Desvio Padrão da Série.
Os dados da série foram transformados usando λ =-0.5, ou seja, foi feita a transformação do inverso da raiz quadrada da série original. Isto é, utilizou-se a transformação t t 1 Z 5 , 0 ⇒ = − = ω λ
Os valores da série transformada estão na Tabela A.2. Depois dos dados transformados, a nova série foi multiplicado por 1000 (mil) para facilitar a modelagem e análise dos dados.
• Estimação
A Tabela 20 mostra os parâmetros estimados para o modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36. Nela pode-se observar que todos os parâmetros, exceto a constante,
foram altamente significativos para o modelo. Como somente a constante não foi significativa, será estimado um novo modelo retirando a constante do mesmo.
TABELA – 20 - Estimativas dos Parâmetros para o Modelo SARIMA (2; 1; 0)(0; 1; 1)36
Tipo Coeficiente p-valor
Constante -0,000162 0,441
AR(1) -0,9577 0,000
AR(2) -0,6718 0,000
• Diagnóstico
A Figura 19 apresenta os valores das autocorrelações dos resíduos do modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36. Nela pode-se observar que os resíduos são ruído
branco, pois não apresentam correlações significativas em nenhum lag, indicando que não há auto-correlação nos resíduos. Esta hipótese poderá ser conferida a partir do teste de Box-Pierce a seguir.
FIGURA – 19 - Função de Autocorrelação dos Resíduos do Modelo SARIMA(2; 1; 0)(0; 1; 1)36
A Tabela 21 mostra os valores da estatística de teste qui-quadrado para a autocorrelação dos resíduos do modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36. Nela verifica-se que os resíduos deste são Ruído Branco, pois o “p-valor” foi bem maior que o nível de significância (α = 0,05) em todos os lag’s. Logo, este modelo ´e apropriado para a série em estudo.
TABELA – 21 - Teste de Ljung-Box para a Autocorrelação dos Resíduos do Modelo a SARIMA (2,1,0)(0, 1,1)36
Lag 12 24 36 48
χ2
(Estatística do Teste) 7,3 19,2 26,1 36,2
Graus de Liberdade 8 20 32 44
A Tabela 22 mostra os valores das previsões com o modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36. Nela pode-se observar que em média este modelo apresenta um
erro de aproximadamente 5,0% em cada previsão. Comparado com os modelos anteriores, este foi o maior Erro Percentual Médio de Previsão, apesar de ter passado em todos os requisitos necessários para se fazer previsões.
TABELA – 22 - Valores Observados e Esperados do Modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36
Período (t) Mês/Ano Observados Previsão Erro Percentual
139 Jul/05 154405910 162709646 -5,38 140 Ago/05 170711332 169466185 0.73 141 Set/05 157741350 165919837 -5,18 142 Out/05 157799414 163279823 -3,47 143 Nov/05 157440578 166828878 -5,96 144 Dez/05 162271068 181457275 -11,82
Erro Percentual Médio -5,18
IV SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36 sem o termo constante do modelo
No modelo anterior, verificou-se que a constante não foi significativa. Portanto, optou-se por refazer o modelo com uma única diferença e excluir a constante. Ao retirar a constante, o novo modelo será mais parcimonioso, logo será melhor, pelo menos teoricamente.
• Estimação
A Tabela 23 mostra os parâmetros estimados para o modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36 sem o termo constante. Nela pode-se observar que todos os
parâmetros foram altamente significativos para o modelo.
TABELA – 23 - Estimativas dos Parãmetros para o Modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36 sem o termo constante
Tipo Coeficiente p-valor
AR(1) -0,9573 0,000 AR(2) -0,6719 0,000
• Diagnóstico
A Figura 20 apresenta os valores das autocorrelações dos resíduos do modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36 sem o termo constante. Nela pode-se observar que
os resíduos são ruído branco, pois não apresentam correlações significativas em nenhum lag, indicando que não há auto-correlação nos resíduos. Esta hipótese poderá ser conferida a partir do teste de Box-Pierce a seguir.
FIGURA – 20 - Função de Autocorrelação dos Resíduos do Modelo SARIMA(2,1,0)(0,1,1)36
sem o termo constante
A Tabela 24 mostra os valores da estatística de teste qui-quadrado para a autocorrelação dos resíduos do modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36 sem o termo
constante. Nela verifica-se que os resíduos deste são ruído branco, pois o “p-valor” foi bem maior que o nível de significância (α = 0,05) em todos os lag’s. Logo, este modelo é apropriado para a série em estudo.
TABELA – 24 - Teste de Ljung-Box para a Autocorrelação dos Resíduos do Modelo a SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36 sem o termo constante
Lag 12 24 36 48
χ2
(Estatística do Teste) 7,3 19,7 26,5 36,7
Graus de Liberdade 9 21 33 45
A Tabela 25 mostra os valores das previsões com o modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36 sem o termo constante. Nela pode-se observar que em média este
modelo apresenta um erro de aproximadamente 4,29% em cada previsão. Comparado com os modelos anteriores, este foi o segundo maior Erro Percentual Médio de Previsão, sendo que este modelo apresentou todos os requisitos necessários para fazer previsões.
TABELA – 25 - Valores Observados e Esperados do Modelo SARIMA (2,1, 0)(0,1, 1)36 sem o termo Constante
Período (t) Mês/Ano Observados Previsão Erro Percentual
139 Jul/05 154405910 161930000 -4,87 140 Ago/05 170711332 168563105 1,26 141 Set/05 157741350 164888549 -4,53 142 Out/05 157799414 161668623 -2,45 143 Nov/05 157440578 165017781 -4,81 144 Dez/05 162271068 179073350 -10,35
Erro Percentual Médio -4,29