Deionized water

Perdas significantes ocorrem na resistência dos enrolamentos. Elas são um dos fatores deter- minantes no tamanho de dispositivos magnéticos. Os enrolamentos quando submetidos a cor- rentes contínuas ou de baixa frequência são representados pelo circuito elétrico da Figura 3.5.

R_cc

i(t)

Figura 3.5: Circuito elétrico do enrolamento em corrente contínua

O parâmetro Rccda Figura 3.5 representa a resistência em corrente contínua do enrolamento

e pode ser expresso através da equação

Rcc= ρ

ℓmed

Ae

(3.2) em que Aeé a área da seção transversal do enrolamento, ℓmed é o comprimento do enrolamento

e ρ é a resistividade do material que compõe o enrolamento. Para o cobre recozido, material muito utilizado na fabricação de enrolamentos, a resistividade na temperatura ambiente é igual a 1,724 · 10−8Ω · m. Quando a temperatura é de 100◦C, o valor da resistividade aumenta para 2,3 · 10−8Ω · m (ERICKSON; MAKSIMOVI ´C, 2001).

Na operação em alta frequência os efeitos parasitas (efeito pelicular e de proximidade) de- vem ser considerados. Esta consideração se deve ao fato destes efeitos aumentarem o valor da resistência dos enrolamentos aumentando assim, as perdas. A esse valor de resistência, depen- dente da frequência, se dá o nome de resistência CA.

Nas situações em que os efeitos parasitas podem ser desprezados, o estudo das perdas nos enrolamentos não é difícil e se limita ao cálculo de perdas Joule nos condutores. Em geral, os enrolamentos são projetados de tal forma que não haja estes efeitos. A potência média dissipada

Capítulo 3. Transformadores 33

nos enrolamentos pode ser obtida através da expressão Pe= 1 T Z T 0 R[i(t)] 2_{dt (3.3)}

em que R é a resistência genérica (CA ou CC) do enrolamento, i(t) é a corrente que circula pelo condutor e T é o tempo de duração da corrente. Esta equação é válida tanto para a situação em que a corrente é variante no tempo, quanto para a situação em que ela é contínua. Quando a corrente é contínua (Icc), a equação 3.3 é expressa pela equação 3.4.

Pe= RccIcc2 (3.4)

Visto que o transformador irá operar numa frequência elevada, é necessário se fazer uma discussão acerca dos efeitos pelicular e de proximidade.

3.4.1.1 Efeito Pelicular

Quando um condutor homogêneo, de seção transversal não negligenciável, é percorrido por uma corrente elétrica constante, ou seja, corrente contínua (CC), a distribuição de corrente nesta seção é uniforme (ROBERT, 1999). O mesmo não se pode dizer quando a corrente que circula por este condutor for alternada. Nesta situação existe uma maior concentração de corrente numa região próxima à superfície do condutor. A esta situação, de maior concentração de corrente próxima à superfície do condutor, dá-se o nome de efeito pelicular (em inglês, skin effect).

Na Figura 3.6 pode ser visualizado o efeito pelicular em um condutor de seção circular. Neste caso, a densidade de corrente varia ao longo do raio, sendo máxima na superfície do condutor e mínima sobre o eixo. Nota-se, também, que existe uma maior concentração de corrente na região (δ) denominada espessura pelicular ou profundidade de penetração.

δ

δ

J(A/m²)

Figura 3.6: Distribuição de corrente em um condutor de seção circular

O efeito pelicular pode ser explicado qualitativamente a partir da Figura 3.7, da seguinte forma:

Capítulo 3. Transformadores 34

• A corrente alternada gera um campo magnético alternado (Figura 3.7(a));

• O campo magnético alternado induz correntes parasitas no condutor (Figura 3.7(b)); • As correntes induzidas anulam a corrente no centro do condutor e se somam próximo à

superfície. Superfície do condutor Campo induzido no interior do condutor Campo induzido no exterior do condutor Corrente no condutor

(a) Distribuição de campo no condutor

Correntes parasitas Corrente no

condutor

(b) Correntes parasitas geradas no condutor

Figura 3.7: Origem do efeito pelicular

A partir do exposto anteriormente, pode-se inferir que o efeito pelicular depende, entre ou- tros fatores, da frequência, da condutividade elétrica, das dimensões e da forma geométrica do condutor. Portanto, o efeito pelicular pode ser quantificado pela profundidade de penetração do campo, ou espessura pelicular, (δ) que é dada pela equação 3.5 (BASTOS, 2008; ERICKSON; MAKSIMOVI ´C, 2001; ROBERT; MATHYS; SCHAUWERS, 1999; FENG et al., 2006; BOSSCHE; VAL- CHEV, 2005) δ= s 2 ωµσ = s 2ρ ωµ (3.5) em que:

• ω é a frequência angular da corrente elétrica; • µé a permeabilidade magnética do material; • σ é a condutividade elétrica do material; • ρ é a resistividade elétrica do material.

Capítulo 3. Transformadores 35

Sendo ω = 2π f , a equação 3.5 resulta na equação 3.6. δ=

r _ρ

πµ f (3.6)

Para que o efeito pelicular seja negligenciado, adota-se, no caso de enrolamentos circulares, uma relação d/δ ≤ 2 na qual d representa o diâmetro da seção circular e δ, a espessura pelicular. No caso de enrolamentos planares, especificamente as PCIs, adota-se uma relação h/δ ≤ 2, na qual h representa a espessura da trilha condutora.

Usando-se a equação 3.6, pode-se determinar a frequência máxima que as trilhas de espes- suras de 35 µm ou 70 µm (valores padronizados) podem operar, sem que o efeito pelicular seja evidenciado. Desta forma, à temperatura de 100o_{C, uma PCI com espessura de cobre de 35 µm}

pode operar até 18 MHz, enquanto uma PCI com espessura de 70 µm pode operar até uma frequência de 4,5 MHz.

Até o momento, o condutor submetido ao efeito pelicular foi considerado isolado e fora da influência de outros campos magnéticos, exceto o seu. Esta suposição já não é válida quando um outro condutor está na vizinhança; outro efeito se faz presente, é o chamado efeito de proximidade.

3.4.1.2 Efeito de Proximidade

O efeito de proximidade pode ser explicado de forma similar ao efeito pelicular. No efeito pelicular a corrente que circula pelo condutor gera um campo magnético que por sua vez induz correntes parasitas no próprio condutor. No caso do efeito de proximidade, a diferença está na origem do campo magnético. Nesta situação, o campo é produzido a partir das correntes que circulam nos condutores vizinhos.

O efeito de proximidade num enrolamento planar com duas camadas pode ser visualizado na Figura 3.8.

J(A/m2₎

Figura 3.8: Efeito de proximidade

Capítulo 3. Transformadores 36

• O efeito de proximidade direto: Este é a influência mútua das respectivas densidades de corrente nos condutores vizinhos que transportam as correntes na mesma direção.

• O efeito de proximidade inverso: Este é, ao contrário da anterior, a influência mútua das respectivas densidades de corrente nos condutores vizinhos que transportam as correntes em direções opostas.

• O efeito de proximidade induzido: Ele caracteriza os fenômenos associados entre as cor- rentes no condutor e as correntes induzidas nas partes metálicas vizinhas.

A equação mais utilizada para modelar a resistência CA em virtude dos efeitos pelicular e de proximidade é a que foi proposta por Dowell (1966). A relação entre a resistência CA (Rca) e a

resistência CC (Rcc), chamada de fator de resistência FR, é definida pela equação 3.7 (FERREIRA,

1994;SIPPOLA, 2003;DIMITRAKAKIS; TATAKIS, 2009)

FR= Rca Rcc = y  M(y) +2 3 m 2_{−1
D (y)} _(3.7)

na qual y é a razão entre a espessura da trilha condutora h e a espessura pelicular δ (equação 3.8), mé a quantidade de camadas do enrolamento na seção e M(y) e D(y) são representadas, res- pectivamente, pelas equações 3.9 e 3.10.

y= h

δ (3.8)

M(y) = senh (2y) + sen(2y)

cosh (2y) − cos(2y) (3.9)

D(y) =senh (y) − sen(y)

cosh (y) + cos(y) (3.10)