e suas medidas Ax tˆem dimens˜oes diferentes. Na tomografia m´edica, por exemplo, x poderia estar significando um coeficiente linear de atenua¸c˜ao e Ax uma medida de atenua¸c˜ao na energia. Na tomografia geof´ısica, por exemplo, x pode estar representando um mapa de vagarosidades que se quer inverter (tempo/distˆancia) e Ax ser uma medida de tempo. Lx usualmente ´e da mesma dimens˜ao que x. Deste modo, o funcional de regulariza¸c˜ao de Tykhonov 1.3 est´a articulando funcionais que medem grandezas de diferentes dimensionalidades. Neste contexto, ´e natural pensar-se a´ı numa constante Cd que cuide de tornar este funcional adimensional e compatibilize suas escalas, na
forma:
xλ = argminx∈Rnky − Axk2
2+ λ2kCdLxk22 (1.37)
Em algumas aplica¸c˜oes, esta constante funciona muito mais como equil´ıbrio na escala dos funcionais. Por exemplo, se as linhas de A e as linhas de L s˜ao razoavelmente equilibradas, mas o n´umero de equa¸c˜oes for razoavelmente distinto, ´e natural fazer algo equivalente a C2
d = N/M , de modo a equilibrar o n´umero de termos N na soma
kAxλ− bk2 com o n´umero de termos M no regularizador kLxλk2. Vide [29] e [26] para
diferentes escolhas de Cd que tornam o parˆametro de regulariza¸c˜ao adimensional, ao
mesmo tempo que propiciam um certo equil´ıbrio nas escalas dos funcionais envolvidos. Em [26], por exemplo, a constante Cd empregada foi
Cd= kAk2
kLk2
(1.38) , onde kAk2 designa a norma 2 de A.
Um fato ´obvio nesta quest˜ao de mudan¸ca de escala do regularizador ´e que as solu¸c˜oes xλ de 1.3 e ¯xλ¯ de 1.37 s˜ao as mesmas e s´o diferem por uma mudan¸ca de escala, ou seja:
¯
1.3 L-Curve 19 Contudo, as L-curves no formato 1.23 mudam e, o que ´e pior, um m´etodo tipo L-curve pode gerar solu¸c˜oes muito diferentes, apenas com uma mu- dan¸ca de escala no regularizador como 1.37.
Nossa premissa b´asica a´ı ´e que, com uma mudan¸ca de escala no regularizador, qual- quer m´etodo “decente” para encontrar um parˆametro ´otimo de regulariza¸c˜ao deveria independer razoavelmente da escala do problema no sentido de produzir a mesma solu- ¸c˜ao regularizada, a menos de problemas num´ericos por conta de escalas para Ax e Lx muito incompat´ıveis. Ou seja, se λLC ´e um ponto de ´otimo encontrado num m´etodo
tipo “decente”, e mudamos a escala do regularizador segundo 1.37 o novo parˆametro “decente” de ´otimo, a ser encontrado pelo mesmo m´etodo deveria seguir 1.39 e ser
¯
λLC = λLC/Cd ou, pelo menos, algo bem pr´oximo disto, em algum sentido. Mas isto
n˜ao ´e o que acontece com o m´etodo da L-curve na escala linlin. Vamos ilustrar isto de duas maneiras diferentes:
1. - `A luz do lema do λ ´otimo a priori
O lema em quest˜ao nos diz que o parˆametro λ = 1 ´e um parˆametro de regulariza- ¸c˜ao ´otimo a priori, no sentido de minimizar a distˆancia euclidiana da L − curve `a origem. Isto significa que o parˆametro ´otimo ser´a sempre ¯λ = 1, independen- temente de uma mudan¸ca de escala na regulariza¸c˜ao como em 1.37. Mas isto significa tamb´em que a solu¸c˜ao ´otima passa a depender de Cd, neste caso. Ou
seja, ao mudarmos a escala do regularizador do problema, segundo 1.37, a solu- ¸c˜ao ´otima encontrada deixar´a de ser x1para tornar-se ¯x1 = xCd. Da´ı a qualifica¸c˜ao
de “enganosa” dada ao lema mais acima, pois quem deveria mudar com a mu- dan¸ca de escala no regularizador, num m´etodo que procura um ponto ´otimo para a regulariza¸c˜ao de Tykonov, seria o valor do parˆametro de regulariza¸c˜ao ´otimo e n˜ao a solu¸c˜ao ´otima do problema regularizado.
2. Vendo o que acontece com solu¸c˜oes ‘´otimas”, num exemplo num´erico
Vamos considerar uma das imagens 128 × 128 usadas nos nossos experimentos num´ericos para ilustrar o que tipicamente acontece quando se muda a escala do regularizador na forma 1.37. Ou seja, vamos rodar o problema de recuperar uma imagem medida com a transformada de Radon A, e recuperada usando a re- gulariza¸c˜ao de Tykhonov com o operador de diferen¸cas L como regularizador e parˆametros de regulariza¸c˜ao obtidos como pontos de m´aximo para a curvatura de L-curves geradas com 6 diferentes valores para a constante Cd. Na figura 1.3
registramos o que acontece com as correspondentes solu¸c˜oes ´otimas, L-curves e suas curvaturas, bem como os parˆametros ´otimos resultantes desta mudan¸ca de
1.3 L-Curve 20 escala no regularizador, para Cd= 1, 2, 5, 10, 25, 100. Visando situar minima-
mente como se chega `a figura 1.3 precisamos definir alguma nota¸c˜ao adicional. Aproveitando a designa¸c˜ao ¯xλ¯ de 1.39 para a solu¸c˜ao do problema 1.37, destaca-
mos, correspondentemente, com uma barra superior, aos parˆametros da L-curve associados a uma nova escala CdL → L no regularizador. Deste modo:
¯ xλ¯ = x¯λCd ¯ ρλ¯ = kA¯x¯λ− bk = ρλC¯ d (1.40) ¯ ηλ¯ = kCdL¯x¯λk = Cdη¯λCd ¯ LC(¯λ) = [ρ¯λCd, ηλC¯ d] (1.41)
Reparametrizando ¯LC em 1.41 com ¯λ = λ/Cd), chegamos a:
¯ LC( λ
Cd
) = [ρλ, ηλCd] =: βCd(λ) (1.42)
(1.41)-(1.42) indicam como a L-curve est´a mudando em fun¸c˜ao de Cd. Al´em disto,
a reparametriza¸c˜ao 1.42 ´e natural, dada a rela¸c˜ao 1.39 e coloca ¯LC num formato adequado para nossos experimentos num´ericos. Definamos KCd(λ) como a cur-
vatura de βCd(λ) = [ρ(λ), Cd ηλ], e denotemos seu eventual ponto de m´aximo
por:
λx¯ = argmaxλKCd(λ) (1.43)
Caso este ponto de m´aximo exista, dado que a curvatura ´e um invariante geom´e- trico da curva e, portanto, invariante sob reparametriza¸c˜oes, 1.42, 1.43 e 1.39 nos autorizam a dizer que o ponto de ´otimo no m´etodo da L-curve ¯λLC e a solu¸c˜ao
´otima ¯xLC na nova escala Cd se calculam como:
¯ λLC = λ¯x Cd (1.44) ¯ xLC = ¯x¯λLC = xλ¯x (1.45)
Isto significa que basta calcular os pontos de m´aximo λx¯ da curvatura de βCd(λ)
para obter a solu¸c˜ao “´otima” do problema 1.37 na nova escala do regulariza- dor, como a reparametriza¸c˜ao 1.45 da solu¸c˜ao para o problema original 1.3. Nos seis quadros da figura 1.3 registramos as imagens recuperadas com o m´etodo da L-curve, para cada uma das 6 escalas escolhidas, utilizando o m´etodo acima in-
1.3 L-Curve 21 dicado. No t´ıtulo de cada quadro indicamos os valores dos parˆametros ¯λLC e ¯xLC
obtidos em cada caso. Nos trˆes quadros de baixo da figura registramos gr´aficos com as L-curves e os valores das curvaturas em fun¸c˜ao dos parˆametros λx¯originais
e ¯λLC = λx¯/Cd, para cada uma das escalas.
Figura 1.3 As seis figuras acima correspondem a recupera¸c˜oes feitas com parˆametro de regu- lariza¸c˜ao calculado pelo m´etodo L-curve linlin e dado por 1.44-1.45, para os problemas 1.37, com 6 valores diferentes para C = Cd. λC representa o parˆametro ´otimo, correspondente a
cada C e λβ = λCC ´e o parˆametro da solu¸c˜ao ´otima ¯xλC = xλβ correspondente. No quadro
abaixo, mais `a esquerda, est˜ao as L-curves correspondentes a cada uma das 6 escalas para a regulariza¸c˜ao. Nos dois quadros derradeiros est˜ao gr´aficos da curvatura nas vari´aveis trata- das. O da direita, usa uma vari´avel λ comum a todas as curvas e `as solu¸c˜oes ´otimas como reparametriza¸c˜oes da curva original xλ. Ao meio, cada curvatura est´a representada em sua
1.4 GCV 22