Datagrunnlag og metoder - begrensninger og overføringsverdi

Por considerar o ensino da Geometria dedutiva um meio poderoso para adquirir rigor de raciocínio (Polya, 1977) e um auxílio importante na apreensão dos conceitos geométricos (Almouloud, 2003), propusemo-nos neste trabalho a investigar o ensino da Geometria dedutiva no 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental, de 1990 até hoje, mediante a análise dos livros didáticos do Estado de São Paulo.

Para realizar essa análise, valemo-nos de categorias que se assentam sobre estudos da Didática da Matemática, surgida no declínio da influência do Movimento da Matemática Moderna. Os períodos da Educação Matemática brasileira analisados são recentes: anterior e posterior à implantação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), em 1995.

Nossa pesquisa busca responder às seguintes questões:

- Em que medida os livros didáticos paulistas de 3º e 4º ciclos do Ensino

Fundamental acompanharam discussões da Didática da Matemática sobre o ensino da Geometria dedutiva nos períodos anterior e posterior à implantação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) para este nível de ensino, em 1995?

- O que distingue os livros didáticos paulistas de 3º e 4º ciclos do Ensino

Fundamental do período anterior daqueles do período posterior à implantação do PNLD (1995) quanto à incorporação dos resultados de pesquisas sobre o ensino-aprendizagem da Matemática, mais especificamente sobre o ensino da Geometria dedutiva?

Essa investigação insere-se num projeto mais amplo de pesquisa, desenvolvido no âmbito do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, denominado “Problemas envolvendo uma apreensão significativa da Geometria, via demonstração”, que é parte do projeto maior,

“Criação de núcleo-embrião de ensino-aprendizagem e pesquisa em Educação Matemática no Ensino Fundamental em escolas públicas de São Paulo”, ambos sob coordenação do Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud.

Os resultados de nossas pesquisas visam provocar nos professores reflexões sobre a importância do ensino da Geometria dedutiva no 3º _{e 4}º _ciclos

CAPÍTULO 4

O ENSINO-APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA DEDUTIVA - CATEGORIZAÇÃO DE ANÁLISE

Em nosso trabalho, realizamos uma pesquisa bibliográfica sobre o ensino- aprendizagem da Geometria dedutiva para o 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental no intuito de estabelecer categorias utilizadas na análise dos livros didáticos. As teorias pesquisadas para estabelecer essas categorias são estudos da Didática da Matemática. As nossas categorias, como resultado dessa pesquisa bibliográfica, estão descritas a seguir.

4.1 Categoria 1: Articulação entre G1–Geometria Spatio-gráfica e G2– Geometria Proto-axiomática em validações de propriedades geométricas

Utilizando o estudo da classificação das Geometrias proposta por Parsysz (2000), descrita em nossa fundamentação teórica, interessa-nos verificar nas coleções de livros didáticos como é feita a articulação entre G1-Geometria Spatio- gráfica e G2-Geometria Proto-axiomática em validações das propriedades geométricas. Em G1, as propriedades são validadas empiricamente. Identificamos quando e de que maneira ocorre a entrada em G2, quando aparecem as primeiras validações dedutivas de propriedades geométricas.

Para identificar elementos que influenciam a maneira pela qual ocorre essa entrada em G2, recorremos a teorias da Didática da Matemática, descritas a seguir.

Primeiramente relevamos a importância de considerar no ensino a explicação sobre os termos utilizados em Geometria Dedutiva, como postulado, teorema, demonstração, teorema-recíproco. Sobre a importância dessas explicações, recorremos a Chevallard (1991), que define noções paramatemáticas como idéias que se caracterizam como “ferramentas” auxiliares à atividade matemática, mas que normalmente não se constituem em objeto de um estudo específico. Ao contrário dos conceitos matemáticos, tais noções normalmente não são ensinadas de forma explícita e são ainda excluídas de uma avaliação direta.

Elas são concebidas como idéias possíveis de aprender no transcorrer da própria aprendizagem. Entretanto, são sempre necessárias tanto ao ensino como à aprendizagem da Matemática. O autor aponta como exemplo de noções paramatemáticas a noção de demonstração. Na prática da Matemática, é sempre necessário realizar uma demonstração. Normalmente, apresenta-se ou pede-se ao aluno a demonstração de um teorema, sem discutir o que é. A conseqüência disso é que os alunos não entendem o que estão fazendo, nem para quê.

Almouloud (2003) inclui em seu esquema para favorecer a construção de conceitos geométricos junto aos alunos a recomendação de que conheçam os estatutos das definições, dos postulados e dos teoremas, ferramentas utilizadas em uma demonstração.

É importante também considerar no ensino as explicações sobre os métodos indutivos e suas diferenças com a dedução, sobre sistemas lógicos ou dedutivos, sobre a forma axiomática da Geometria e suas evoluções, podendo, para isso, relacioná-los com o contexto histórico, descrito nos estudos preliminares deste trabalho.

Consideramos também, na entrada em G2-Geometria Proto-axiomática, a importância da apresentação para os alunos de esquemas de demonstração e de explicações sobre a lógica empregada em uma demonstração geométrica.

Fetissov (1997) sugere ações para demonstrar corretamente uma proposição geométrica. Antes de tudo, convém destacar no enunciado a afirmação que se vai demonstrar e recordar as definições relacionadas. Em seguida, destacar as condições indispensáveis à demonstração. A terminologia geralmente empregada no ensino da Geometria utiliza as denominações hipótese e tese para indicar, respectivamente, os dados e aquilo que se deve demonstrar. Após essa formulação, tem início a demonstração do teorema geométrico, para o que se utilizam os axiomas e os teoremas já provados e, paralelamente, as correlações essenciais fornecidas pelas condições do teorema. Com essa finalidade, Fetissov (1997) recomenda partir da proposição que se pretende demonstrar e indagar: de que resultado pode-se obter, como conseqüência, a proposição a ser demonstrada? Se for possível localizar esse resultado, sendo ele conseqüência de condições e teoremas anteriores, o problema está resolvido. Não sendo conseqüência direta, repete-se a pergunta, dessa vez com relação ao

novo resultado, e assim por diante. Esse método de raciocínio científico chama-se análise.

Fetissov (1997) ressalta a dificuldade de encontrar a seqüência correta de conclusões que demonstre um teorema e a importância da necessidade de treinamento para isso:

É claro que quando se busca a demonstração de um teorema nem sempre é fácil encontrar a seqüência de conclusões. Nem sempre se consegue acertar de imediato o caminho correto, havendo necessidade, às vezes, de abandonar uma estratégia escolhida e tentar outra... A habilidade na aplicação do método analítico, facilitando a descoberta, por meios próprios, dos caminhos de uma demonstração, exige bastante treinamento; assim, para desenvolvê-la, é preciso fazer muitos exercícios envolvendo demonstrações. (FETISSOV, 1997, p. 51-52) .

Fetissov (1997) também chama a atenção para o fato de que todo teorema pode ser demonstrado por dois métodos – o direto e o indireto – e explica:

Quando se estabelece a veracidade da proposição a ser demonstrada mediante uma ligação direta entre ela e as que foram demonstradas anteriormente, então se trata de uma demonstração direta. Quando se põe em dúvida a veracidade da proposição a ser demonstrada, supondo-a falsa, e se chega a alguma contradição com as condições constantes no enunciado ou alguma proposição já demonstrada anteriormente, então se trata de uma demonstração indireta, que são chamadas também de demonstrações por redução ao absurdo. Costuma-se recorrer a esse tipo de demonstração quando, ao procurar argumentos, se verifica que a demonstração direta é difícil ou, às vezes, impossível. (FETISSOV, 1997, p. 52).

O autor esclarece, também, que a necessidade das demonstrações é conseqüência de uma das leis fundamentais da lógica: o princípio da razão suficiente. Esse princípio exige que toda afirmação feita tenha fundamento, isto é, que venha acompanhada de argumentos suficientemente sólidos para confirmar sua veracidade. A demonstração de uma proposição geométrica objetiva estabelecer sua validade mediante dedução lógica, partindo de verdades já demonstradas ou conhecidas. O raciocínio dedutivo consiste na aplicação de certa lei geral a um caso particular determinado.

Para não cometer erros nas deduções, Fetissov recomenda conhecer alguns esquemas mediante os quais se representam as correlações entre conceitos quaisquer, inclusive os geométricos. O esquema de representar correlações entre conceitos, proposto pelo matemático Euler (1707 –1783), é exemplificado pela seguinte dedução:

1 – Em todo retângulo as diagonais são congruentes entre si; 2 – Todo quadrado é um retângulo;

3 – Dedução: em todo quadrado as diagonais são congruentes entre si. Segue a esquematização do autor para esse exemplo.

Chamemos de P o maior dos conjuntos considerados, no caso o dos quadriláteros cujas diagonais são congruentes entre si. Chamemos de M o conjunto intermediário, no caso o conjunto dos retângulos. Chamemos de S o menor dos conjuntos, no caso o conjunto dos quadrados. Isso posto, pode-se esquematizar o raciocínio da seguinte maneira:

1 – M está contido em P; 2 – S está contido em M;

3 – Conclusão S está contido em P.

Representando graficamente essas relações entre conjuntos, temos:

Figura 2

(Fonte: FETISSOV, 1997, p.31)

É óbvio que, nessas condições, o círculo S se acha totalmente contido no círculo P.

P M

Outra forma de raciocínio apresentada por Fetissov é a que leva a uma conclusão negativa, como a dedução seguinte:

1 – Todo quadrilátero cuja soma dos ângulos opostos não seja 180° não é inscritível numa circunferência;

2 – A soma dos ângulos opostos de um paralelogramo obliquângulo não é igual a 180°;

3 – Conclusão: Um paralelogramo obliquângulo não é inscritível numa circunferência.

Representando o conjunto dos quadriláteros inscritíveis uma circunferência por P, o conjunto dos quadriláteros cuja soma dos ângulos opostos é diferente de 180° por M e a classe dos paralelogramos obliquângu los por S, o raciocínio enquadra-se no seguinte esquema:

1 – Nenhum elemento de M pertence a P; 2 – S está contido em M;

3 – Conclusão: Nenhum elemento de S pertence a P.

Essa correlação também pode ser representada graficamente por meio dos círculos de Euler:

Figura 3

(Fonte: FETISSOV, 1997, p. 32)

Fetissov (1997) afirma que a grande maioria dos raciocínios dedutivos da Geometria se desenvolve segundo um dos esquemas aqui ilustrados e tal representação das correlações entre os conceitos geométricos favorece a possibilidade de bem entender a estrutura de qualquer raciocínio lógico e de descobrir erros em conclusões incorretas.

P

M

Outro elemento considerado na entrada em G2-Geometria Proto- axiomática é o questionamento da evidência da figura como meio de provar uma proposição geométrica.

Fetissov (1997) ressalta a importância de questionar a evidência da figura, sugerindo a apresentação de atividades para que os alunos percebam o engano em confiar nela. O autor cita como exemplo o trabalho de um aluno de sexta série que tinha como tarefa estudar o teorema do ângulo externo de um triângulo (um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer dos dois internos não adjacentes a ele), fato que o professor já havia ensinado em classe. E o aluno questionava, ao mostrar o desenho em seu livro de Geometria (fig 4): “ Para que uma demonstração tão longa e difícil, se, pelo desenho, se vê que o ângulo externo é obtuso e que os internos não adjacentes a eles são agudos? Sendo um ângulo obtuso sempre maior que um ângulo agudo, não há motivo para uma demonstração!”.

Figura 4

(Fonte: FETISSOV, 1997, p. 16)

O erro desse aluno foi basear-se em casos particulares, não atentando para possíveis propriedades diferentes da figura usada. O aluno pretendia demonstrar o teorema do ângulo externo de um triângulo considerando apenas triângulos acutângulos, nos quais, efetivamente, todos os ângulos externos são obtusos e, portanto, maiores que os internos. O teorema não se refere apenas ao triângulo desenhado no livro, mas a todo e qualquer triângulo. Supondo que o Ponto A se afaste do ponto C em linha reta, obteremos um triângulo ABC (fig. 5) em que o ângulo do vértice B também é obtuso. Se o ponto A se afastar muito do ponto C, então o triângulo resultante será tão comprido que não haverá como

B

A C D

E

perceber nenhuma diferença entre o ângulo interno B e o ângulo externo por meio de um transferidor.

Figura 5

(Fonte: FETISSOV, 1997, p.27)

A propósito desse exemplo, Fetissov ressalta o papel desempenhado pelo desenho na demonstração de um teorema geométrico:

Deve-se ter em mente que o desenho é apenas um meio auxiliar para a demonstração do teorema, que é apenas um exemplo, um caso particular de toda a classe das figuras geométricas, objeto da demonstração considerada. Por isso, é muito importante separar no desenho dado as propriedades gerais e permanentes daquelas particulares e casuais. (FETISSOV, 1997. p. 28).

Arsac (1987) também afirma que é necessário, como primeira etapa em direção à demonstração em Geometria, chegar a uma dúvida do apelo à figura como meio de prova, para depois buscar por meio da demonstração um caráter geral, não se limitando à incerteza trazida por algumas figuras particulares. E acrescenta:

O problema da evolução do rigor, sobretudo no domínio da Geometria, consiste em compreender como se pode ser levado a passar de provas baseadas na evidência da figura a demonstrações em que a figura é apenas o suporte, o que é, aliás, o problema proposto no ensino da geometria. (ARSAC, 1987. p. 27, tradução nossa).

Analisamos também como ocorre a articulação entre G1-Geometria Spatio- gráfica e G2-Geometria Proto-axiomática. Se a coleção deixa claro que estudar uma propriedade geométrica em G1-Geometria Spatio-gráfica, ou seja, validá-la empiricamente, é importante para levantar uma conjectura, mas que é sempre

A

B

C

necessário, em Matemática, uma demonstração para que aquela propriedade possa ser aceita como verdadeira e valha para qualquer caso em que sejam satisfeitas as sua hipóteses.

Essas reflexões forneceram elementos para elaborarmos a questão referente a nossa primeira categoria de análise:

- Nas validações geométricas das coleções dos livros analisados, como

ocorre a articulação entre G1-Geometria Spatio-gráfica e G2-Geometria Proto- axiomática?

4.2 Categoria 2: Análise dos exercícios para a apreensão das propriedades geométricas, seguindo uma Organização Praxeológica

Nossa primeira categoria - que analisa a articulação entre validações empíricas e dedutivas das propriedades geométricas estudadas nos livros - não considera as tarefas solicitadas aos alunos que levaram à apreensão das propriedades.

Porém, consideramos importante o envolvimento do aluno, porque é executando as tarefas que ele se torna um ser ativo em sua aprendizagem, tornando-a mais significativa. Então, pela categoria dois, analisamos cada tipo de exercícios propostos para a apreensão das propriedades geométricas e identificamos a Organização Praxeológica que explica a técnica e o discurso teórico-tecnológico associados.

A seguir, descrevemos os tipos de exercícios possíveis de aplicar no estudo das propriedades geométricas dos livros, as técnicas e os discursos teórico-tecnológicos que os explicam, formando assim uma Organização Praxeológica que será utilizada na análise dos livros didáticos.

Tipo de exercício 1:

- Medir com transferidor e observar o que ocorre... - Construir, medir e verificar o que ocorre...

- Recortar a figura e montar convenientemente... o que você observou? - Fazer dobras convenientes... você chegou a que conclusão?

Técnica: Observação experimental, empírica, de casos particulares das propriedades, às vezes requerendo instrumentos de medida, como transferidor, esquadros e régua e outras demandando recortes e dobraduras.

Discurso teórico-tecnológico: enfoque empírico, explicado a seguir.

Apesar de a demonstração formal ser a única forma de validação de um resultado matemático, na criação do conhecimento matemático propriedades e regularidades são observadas no estudo de casos particulares. Com base nesses casos, são formuladas conjecturas a respeito da validade do que foi observado. Sobre isso, Polya (1977) afirma que muitos fatos matemáticos foram primeiro encontrados por indução e demonstrados depois. E acrescenta:

A Matemática, apresentada com rigor, é uma ciência dedutiva sistemática, mas a Matemática em desenvolvimento é uma ciência indutiva experimental. (POLYA, 1977, p. 93).

Polya (1977) também aponta as limitações do enfoque empírico, alertando que apenas observar empiricamente não é suficiente. O autor ressalta o valor do rigor, com demonstrações, afirmando que, depois de trabalhar experimentalmente por algum tempo, é necessário mudar de ponto de vista, ser rigoroso. Ao descobrir um resultado plausível, experimental, provisório, é necessário tentar estabelecê-lo definitivamente por meio de uma demonstração rigorosa.

Tipo de exercício 2: Para a apreensão da propriedade geométrica só aparecem exercícios do tipo:

- Calcular os comprimentos .... - Determinar a medida do ângulo... - Qual é a largura...?

- Qual é a altura...?

- Quais triângulos são semelhantes?

Técnica: Aplicação das propriedades geométricas, cujos enunciados e demonstrações são apresentados ao aluno.

Salientamos que também há, nos outros enfoques, exercícios deste tipo para apreensão das propriedades, porém não se restringem a eles. Neste enfoque, há apenas esses exercícios de aplicação, após o enunciado ou a apresentação da demonstração da propriedade. A Matemática, neste enfoque, é apresentada como ciência acabada, com verdades imutáveis.

Discurso teórico-tecnológico: enfoque dedutivista, explicado a seguir.

Lakatos (1976) faz considerações importantes sobre as apresentações da Matemática. Inicialmente, ele apresenta a metodologia euclidiana, designada estilo dedutivista, que desenvolveu certo estilo obrigatório de apresentação, descrita a seguir:

Este estilo começa com uma lista laboriosamente feita de axiomas, lemas e/ou definições. Os axiomas e definições freqüentemente parecem artificiais e mistificadoramente complicados. Nunca se fica sabendo como essas complicações surgiram. A lista de axiomas e definições é seguida de teoremas cuidadosamente redigidos. Estes, por sua vez, estão carregados de pesadas condições; parece impossível que alguém jamais os tivesse suposto. O teorema é seguido da prova. [...] O estudante de matemática é obrigado, de acordo com o ritual euclidiano, a assistir a esse ato conjuratório sem fazer perguntas sobre o assunto ou sobre como o ato mágico é praticado... (LAKATOS, 1976, p. 185).

Segundo o mesmo autor, no estilo dedutivista, todas as proposições são verdadeiras e válidas todas as inferências. A Matemática é apresentada como uma série sempre crescente de verdades imutáveis e eternas. Possivelmente, não têm lugar contra-exemplos, refutações e críticas.

Tipo de exercício 3: - Mostre que... - Demonstre a propriedade... - Deduzir.... - Complete a demonstração... - Redija a demonstração....

Técnica: Descoberta da demonstração das propriedades geométricas, apresentando a Matemática como uma ciência em construção.

Discurso teórico-tecnológico: enfoque heurístico3, explicado a seguir.

Em oposição ao estilo dedutivista, Lakatos (1976) apresenta o enfoque heurístico como a outra forma de apresentação da Matemática. Enquanto, o estilo dedutivista rompe as definições geradas pela prova dos antepassados, apresenta- as no vazio, de modo artificial e autoritário, ocultando os contra-exemplos que

3

Embora o termo heurístico, explicado por Polya (1977), inclua verificação empírica por fazer parte do processo de descoberta, assumimos neste trabalho o termo como referente apenas à descoberta da demonstração.

levaram ao seu descobrimento, o estilo heurístico, ao contrário, acentua esses fatores e dá ênfase à situação problemática: acentua a “lógica” que deu nascimento ao novo conceito.

O autor critica a apresentação da Matemática no enfoque dedutivista, euclidiano, considerando-o autoritário. Ao contrário, o enfoque heurístico revela o aspecto falível da Matemática, de como os teoremas surgiram, dos conceitos gerados por provas, etc.

Na análise dos exercícios do enfoque heurístico, em que se solicitam demonstrações aos alunos, pode-se encontrar a recomendação de trabalho em grupos, de discussão com colegas e professor. Consideramos essa dimensão social motora nos processos de prova e, como justificação, baseamo-nos em Lakatos (1976) e Balacheff (1987).

Lakatos (1976) relata o trabalho de alunos de uma sala de aula, mediados por um professor, tentando provar a conjectura de Descartes-Euler4, cuja conjectura inicial é: V – A + F = 2, onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces de um poliedro.

Nos rodapés das páginas do livro, Lakatos faz analogia do trabalho dos estudantes com a verdadeira evolução histórica da conjectura de Descartes-Euler, descrevendo o esforço de ilustres matemáticos para prová-la. Citando alguns: Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857), Joseph Diaz Gergonne (1771 - 1859), Pierre Legendre (1752 - 1833) e Jules Henri Poincaré (1854 - 1912).

O autor afirma que, diante da contradição a uma conjectura, surge um conjunto de comportamentos possíveis, apresentados e analisados na obra. Em particular, a produção de um contra-exemplo não implica sempre a refutação de uma afirmação, mas pode aperfeiçoar a conjectura, rejeitar o contra-exemplo, reconhecer exceções, formular condições, retomar uma definição. O objetivo do estudo do autor é desafiar o formalismo matemático, é formular a questão de que a Matemática progride mediante incessante aperfeiçoamento de opiniões, por especulação e crítica, pela lógica das provas e refutações.

A obra de Lakatos (1978) nos faz refletir sobre como a interação social, disputas científicas entre matemáticos na busca de provas, possibilitam o desenvolvimento da Matemática.

4

Balacheff (1987) aponta também a interação social como motora nos processos de prova. A colocação em debate das decisões, a injunção de garantir sua validade ou de denunciar, permite transformar situações de decisão em uma

In document Demonstrasjonsprosjekt for implementering av EUs Vanndirektiv i Vansjø-Hobøl-vassdraget. Fase I (sider 79-84)