4. Materials and Methods
4.4 Data collection
Os algoritmos computacionais dos modelos matemáticos de filas descritos neste Capítulo 3 para representarem os Call Centers, precisam ser verificados quanto às suas implementações computacionais e os resultados obtidos das medidas de desempenho por eles calculadas. Isso requer que eles sejam verificados e comparados entre si. As implementações computacionais foram realizadas no software Mathematica (2013) e executadas no ultrabook Samsung com processador Intel® Core™ I7, de 2,4 GHz e 8,00 GB de RAM.
Desse modo, o modelo de fila M/M/c+G com distribuição exponencial para a paciência (G~exponencial) foi aqui verificado, comparando os seus resultados com o modelo correspondente de fila M/M/c+M, que considera distribuição exponencial para a paciência com fórmulas fechadas e que já foi bastante explorado na literatura. Os resultados da Tabela 3.1 indicam que o algoritmo computacional do modelo M/M/c+G aqui implementado está consistente para este caso, por apresentar resultados idênticos ao modelo M/M/c+M, como seria esperado.
Outra verificação é que o modelo de fila M/M/c+G com distribuição Fatigue Life para a paciência (G~Fatigue Life), com um tempo médio de paciência relativamente alto (100) e com variância relativamente baixa (0,036), deve se comportar aproximadamente como um modelo sem abandono M/M/c, porque desta maneira teremos usuários muito pacientes que não abandonarão o sistema. A coincidência dos resultados da Tabela 3.2 indicam que o algoritmo computacional aqui implementado do modelo M/M/c+G, com distribuição Fatigue Life, para modelar o comportamento do abandono dos usuários, tem resultados consistentes com o modelo M/M/c, como seria esperado. Nesta verificação, por ilustração, utilizou-se para parâmetros de entrada (taxas de chegada, serviço e número de canais), no modelo M/M/c, valores extraídos de Jain (1991, p.532).
Considerando novamente o modelo de fila M/Mc+G com distribuição Fatigue Life para a paciência (G~Fatigue Life) mas, com tempo médio de paciência relativamente baixo (0,005) e com variância relativamente baixa (0,0001), caracterizando usuários altamente impacientes, este modelo deve ter um comportamento similar ao modelo M/M/c/c da Seção 3.2. Isso se justifica devido a pouca paciência dos usuários, que não ingressariam na fila sabendo que deveriam aguardar para serem atendidos. Os dados da Tabela 3.3 também indicam que a implementação do algoritmo computacional para o modelo M/M/c+G com distribuição Fatigue Life para o abandono é consistente com o modelo M/M/c/c para esse caso, como seria esperado. Os modelos analíticos de fila com distribuição de probabilidade genérica para os tempos de serviço e para os tempos de paciência foram comparados com o modelo analítico de fila M/M/c+M, que considera a distribuição Exponencial de probabilidade para os tempos de serviço e para os tempos de paciência. A Tabela 3.4 mostra os resultados da comparação do modelo analítico de fila M/M/c+M com o modelo analítico de fila M/Gc/1+G, com distribuição
tempos de paciência. Os resultados indicam que o modelo analítico de fila M/Gc/1+G é
consistente com o modelo analítico de fila M/M/c+M nas medidas de desempenho tempo médio de espera e probabilidade de esperar, apresentando diferenças significativas nas medidas de desempenho probabilidade de abandonar e intensidade de tráfego.
Ainda comparando os modelos analíticos de fila com distribuição de probabilidade genérica para os tempos de serviço e para os tempos de paciência, o modelo analítico de fila M/G/c+G, com distribuição de probabilidade Exponencial para representar os tempos de serviço e para os tempos de paciência foi comparado com o modelo analítico de fila M/M/c+M. Os resultados da Tabela 3.5 indicam que o modelo analítico de fila M/G/c+G é consistente com o modelo analítico de fila M/M/c+M nas medidas de desempenho probabilidade de abandonar e intensidade de tráfego. Em relação às medidas de desempenho tempo médio de espera e probabilidade de esperar, o modelo analítico de fila M/G/c+G revela diferenças significativas, principalmente com a medida tempo médio de espera.
Observa-se das comparações realizadas que os modelos analíticos de fila M/Gc/1+G e
M/G/c+G, com distribuições genéricas para os tempos de serviço e também para os tempos de paciência, foram os únicos que mostraram inconsistência em algumas medidas de desempenho. Uma justificativa para as diferenças apresentadas é que esses modelos analíticos de fila com distribuições genéricas são modelos aproximados, e não apresentam fórmulas fechadas para o cálculo das suas medidas de desempenho.
TABELA 3.1 - Verificação do modelo M/M/c+G~Exponencial com o modelo M/M/c + M M/M/c+G~Exponencial <=> M/M/c+M
Especificações M/M/c+G~Exponencial M/M/c+M Desvio absoluto
Taxa chegada 0.16667 0.16667 0 Taxa serviço 0.05 0.05 0 Taxa abandono 0,02 0,02 0 Número canais 5 5 0 Paciência média = 1/ --- --- --- Variância paciência --- --- --- Tempo médio espera 1,93506 1,93517 0,00011 Probabilidade esperar 0,274554 0,274567 0,000013 Prob. abandonar 0,0387011 0,03870 0,0000011 Intensidade tráfego 0,640867 0,640877 0,00001
Fonte:elaborado pelo autor
TABELA 3.2 - Verificação do modelo M/M/c+G~Fatigue Life (alta paciência média e baixa variância)
M/M/c+G~Fatigue Life <=> M/M/c
Especificações M/M/c+G~Fatigue Life M/M/c Desvio absoluto
Taxa chegada 0.16667 0.16667 0
Taxa serviço 0.05 0.05 0
Tx. abandono = 1/Pac.média 0,01 --- ---
Número canais 5 5 0
Pac. média =1/axa aband. 100 (alta) --- ---
Variância paciência 0,036 (baixa) --- --- Tempo médio espera 3,91368 3,92042 0,00674 Probabilidade esperar 0,326633 0,32668 (prob. formar fila) 0,000047
Prob. abandonar 0,00004162 --- --- Intensidade tráfego 0,666652 0,66668 0,000028
TABELA 3.3 - Verificação do modelo M/M/c+G~Fatigue Life (baixa paciência média e baixa variância)
M/M/c+G~Fatigue Life <=> M/M/c/c
Especificações M/M/c+G~Fatigue Life M/M/c/c Desvio absoluto
Taxa chegada 0.16667 0.16667 0
Taxa serviço 0.05 0.05 0
Tx. abandono = 1/Pac.média 200 --- ---
Número canais 5 5 0
Pac. média = 1/axa aband. 0,005 (baixa) --- ---
Variância paciência 0,0001 (baixa) --- --- Tempo médio espera 0,000002159 0 (não forma fila) 0,000002159 Probabilidade esperar 0,00005214 0 (prob. formar fila) 0,00005214 Prob. abandonar 0,139212 0,139212 (prob. de perda) 0
Intensidade tráfego 0,57387 0,57387 0 Fonte:elaborado pelo autor
TABELA 3.4 - Verificação do modelo M/Gc/1+G~Exponencial com o modelo M/M/c + M
M/Gc/1+G~Exponencial <=> M/M/c+M Especificações M/Gc/1+G~Exponenci al M/M/c+M Desvio absoluto Taxa chegada 0,16667 0,16667 0 Taxa serviço 0,05x5=0,25 0.05 0,20 Taxa abandono 0,02 0,02 0 Número canais 5 5 0 Paciência média = 1/ --- --- --- Variância paciência --- --- --- Tempo médio espera 1,92480 1,935170 0,01037 Probabilidade esperar 0,27583 0,274567 0,00126 Prob. abandonar 0,15616 0,038700 0,11746 Intensidade tráfego 0,52528 0,640877 0,11560
TABELA 3.5 - Verificação do modelo M/G/c+G~Exponencial com o modelo M/M/c + M M/G/c+G~Exponencial <=> M/M/c+M
Especificações M/G/c+G~Exponencial M/M/c+M Desvio absoluto
Taxa chegada 0,16667 0,16667 0 Taxa serviço 0,05 0.05 0 Taxa abandono 0,02 0,02 0 Número canais 5 5 0 Paciência média = 1/ --- --- --- Variância paciência --- --- --- Tempo médio espera 4,7943 1,935170 2,85913 Probabilidade esperar 0,7468 0,274567 0,47223 Prob. abandonar 0,0387 0,038700 0,00000 Intensidade tráfego 0,5626 0,640877 0,07828
QUADRO 3.1 - Principais modelos de filas
Características Erlang-C M/M/c Erlang-B M/M/c/K M/M/c + M Erlang-A M/M/c + G M/G/c + G
Processo de chegada
Processo de Poisson, com tempos entre chegadas distribuídos
exponencialmente
Processo de Poisson, com tempos entre chegadas distribuídos
exponencialmente
Processo de Poisson, com tempos entre chegadas distribuídos
exponencialmente
Processo de Poisson, com tempos entre chegadas distribuídos
exponencialmente
Processo de Poisson, com tempos entre chegadas distribuídos
exponencialmente Processo de serviço Tempos distribuídos de serviços
exponencialmente Tempos de serviços distribuídos exponencialmente Tempos de serviços distribuídos exponencialmente Tempos de serviços distribuídos exponencialmente
Tempos de serviços possuem distribuição geral
Canais de serviço
Possui c canais idênticos, operando em paralelo e independentes uns dos outros
Possui c canais idênticos, operando em paralelo e independentes uns dos outros
Possui c canais idênticos, operando em paralelo e independentes uns dos outros
Possui c canais idênticos, operando em paralelo e independentes uns dos outros
Possui c canais idênticos, operando em paralelo e independentes uns dos outros Capacidade do sistema Ilimitada Limitada em K usuários Ilimitada Ilimitada Ilimitada
População Homogênea com infinitos usuários Homogênea com infinitos usuários Homogênea com infinitos usuários Homogênea com infinitos usuários Homogênea com infinitos usuários
Disciplina atendimento FIFO FIFO FIFO FIFO FIFO
Abandono Não considera Não considera
Considera o abandono. O usuário ao chegar no sistema encontra um tempo de espera virtual (oferecido)
Considera o abandono. O usuário ao chegar no sistema encontra um tempo de espera virtual (oferecido)
Considera o abandono
Paciência dos usuários Infinita Infinita Tempo de paciência do usuário é distribuído exponencialmente
Tempo de paciência do usuário possui distribuição geral
Tempo de paciência do usuário possui distribuição geral
Bloqueio dos usuários Não considera
Os usuários são impedidos de entrar no sistema quando a fila atinge seu limite máximo
Não considera Não considera Não considera Referências GROSS e HARRIS, 1985 ARENALES et al, 2007 GROSS e HARRIS, 1985 ARENALES et al, 2007
DOMBACHER, 2010 PALM, 1957 MANDELBAUM e ZELTYN, 2005 BACCELLI e HEBUTERNE, 1981 ZELTYN, 2004 IRAVANI e BALCIOGLU, 2008