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Os primeiros estudos de mecânica da fratura utilizando as hipóteses lineares elásticas são válidos apenas quando uma deformação não-linear é confinada à região à volta da ponta da trinca. Para muitos materiais, no entanto, deformações plásticas não-lineares de maior alcance se desenvolvem antes da falha da estrutura, sendo, portanto, a metodologia anterior inadequada para seu estudo.

A mecânica da fratura elastoplástica se aplica a materiais que exibem deformações não lineares, como as plásticas. Dois parâmetros foram, historicamente, introduzidos e aceitos pela academia para reproduzirem as condições na ponta da trinca: a integral J e o CTOD (Crack-Tip-Opening Displacement). É possível estabelecer uma relação entre ambos, portanto caso uma região seja dominada por J, esta região será, também, dominada pelo CTOD. Os métodos de projeto utilizando o CTOD são baseados em correlações empíricas, tendo sido suplantados por procedimentos que são ancorados a princípios mais fundamentais, como a avaliação direta da integral J e a abordagem FAD (Anderson, 2005), descrita no item 3.4.2.

O trabalho precursor de Rice (1968) lançou a base para extensão da mecânica da fratura linear-elástica para a elastoplástica. O autor idealizou o material como não-linear elástico, simplificação reproduzida nos trabalhos posteriores produzidos no assunto, o que permite uma relação única entre tensão e deformação. O material não-linear elástico tem o comportamento idêntico ao material

elastoplástico em tração. No entanto, o primeiro se descarrega pelo mesmo caminho do carregamento, diferentemente do material elastoplástico. A comparação entre os comportamentos pode ser vista na Figura 3.8.

Figura 3.8 – Comparação do comportamento do material não-linear elástico com o material elastoplástico em tração. Adaptado de Anderson (2005).

No mesmo trabalho, Rice apresentou o conceito da integral de contorno J. Se um contorno com sentido anti-horário, como mostrado pela Figura 3.9, for considerado, a integral J é calculada pela Equação 3.13. O autor provou que a integral J será sempre nula para contornos fechados. Em seguida, mostrou que contornos escolhidos de forma arbitrária ao redor da ponta de uma trinca sempre levarão ao mesmo valor, isto é, J é independente do caminho de integração escolhido.

3.13

sendo:

 a densidade de energia de deformação  as componentes do vetor de tração

Figura 3.9 – Contorno ao redor de uma ponta de trinca utilizado para cálculo de

Hutchinson (1968) e Rice e Rosengren (1968) mostraram que, para um material não-linear elástico cujo comportamento em tração pode ser definido por uma lei de potência, as tensões na região à frente da trinca são proporcionais a

, sendo _{a distância medida da ponta da trinca e o coeficiente de encruamento.} Esta definição gera, assim como a mecânica da fratura linear-elástica, uma condição de singularidade onde as tensões tendem ao infinito à medida que _{. Esta} singularidade é conhecida como HRR, em homenagem aos autores supracitados.

Os autores mostraram, também, que a integral J define a amplitude da singularidade _{, descrevendo as condições na zona plástica. Para materiais} elástico-lineares, onde , as tensões dadas pela singularidade HRR são proporcionais a , como a singularidade elástica. Logo, a integral J define, também, as tensões nesta região, caso uma se forme ao redor da zona plástica, como exemplificado na Figura 3.7. Portanto, a integral J descreve completamente as condições na ponta da trinca, caso o material esteja submetido a deformações de pequena escala. Porém, como a análise que levou à singularidade HRR não levou em consideração o efeito do embotamento da trinca, nem levou em conta a presença de deformações de larga-escala, a singularidade não persiste até a ponta da trinca (Anderson, 2005). Esta região não pode ser caracterizada unicamente por nenhum dos parâmetros da mecânica da fratura apresentados aqui.

O parâmetro J pode ser visto, também, como uma indicação da resistência ao aumento de trinca do material, ou sua tenacidade. Usualmente, quando fazendo referência à propriedade do material, utiliza-se o índice à sua frente: JR. Materiais dúcteis geralmente não falham de maneira catastrófica para um valor

especificado de J aplicado. Ao contrário, estes materiais apresentam uma curva de resistência J-R crescente, onde JR aumenta com o crescimento da trinca. A Figura

ocorrem: (1) pequeno aumento aparente de JR devido ao embotamento da trinca, (2)

com o aumento de J aplicado, o material falha localmente e há a iniciação da trinca e (3) crescimento estável da trinca. A curva J-R é, para condições de deformações de pequena escala, uma propriedade do material, dependendo unicamente do crescimento da trinca (Anderson, 2005).

Figura 3.10 – Gráfico esquemático da resistência ao crescimento de trinca de um material dúctil. Adaptado de Anderson (2005).

Da mesma forma que J pode ser utilizado para traçar uma curva de resistência de um material, pode-se usá-lo para definir a condição da ponta de determinada trinca. O valor de J aplicado pode ser estimado em função do material, da geometria da estrutura, do tamanho da trinca e da carga externa imposta. Na Figura 3.11 são mostradas, de forma esquemática, as curvas de J aplicado, em tracejado, a uma estrutura para diferentes valores de carga imposta em função do comprimento de trinca a. Sobreposta, pode ser vista a curva J-R de um material, considerando a existência de uma trinca inicial .

Deste gráfico, é possível determinar as condições para estabilidade de uma estrutura. A curva de J aplicado para uma carga cruza com a curva J-R no ponto onde o comprimento de trinca é igual a . Sob estas condições, a estrutura sofrerá um crescimento de trinca estável de um comprimento inicial para o comprimento final . No exemplo da carga , a curva de J aplicado encontra a curva J-R no ponto onde . Além disso, a inclinação de ambas as curvas é

igual neste ponto. Neste caso, o crescimento de trinca até o valor de torna a estrutura instável.

Do exemplo acima, conclui-se que as condições estabilidade da estrutura é função não apenas do valor instantâneo de J, mas também das derivadas das curvas de carregamento e resistência (Anderson, 2005):

3.14 E 3.15

Já a condição para crescimento instável da trinca é (Anderson, 2005):

3.16

Figura 3.11 – Curvas de J aplicado a uma estrutura, em tracejado, sobrepostas à curva J-R, linha cheia, de um material – adaptado de Anderson (2005)

3.3. Presença de elementos tubulares para produção de petróleo em ambiente